かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

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  1. このブログの作者,執筆方針,「かけ算の順序」への見解など
  2. 新しい『小学校学習指導要領解説算数編』関連
  3. 「×」の事例

整数の乗法で直積を取り上げるなら,面積ではなくアレイ

  • 鈴木将史(編著), 小学校算数科教育法, 建帛社 (2018).

小学校算数科教育法

小学校算数科教育法

 まえがきには,「2017(平成29)年3月に小学校の学習指導要領が改訂されたのに合わせ,従来の『小学校算数科の指導』を全面的に見直し,新たに『小学校算数科教育法』として刊行することとなった」と記されています。『小学校算数科の指導』はisbn:9784767920931で,本棚にありましたので開いて見ると,執筆者の一人に,今回の編著者の名前がありました。
 『小学校算数科教育法』で「乗法の意味」の解説をp.39から読むことができます(第3章 「A 数と計算」の指導 / 4. 整数の乗法と除法の指導)。「乗法の意味には次の3つの型がある」とし,① 1つ分の大きさのいくつ分(同数累加),② 何倍(倍写像型),③ 直積型を挙げています。直積型と立式(かけ算の順序関連)の文章が興味深かったので書き出します(pp.39-40)。

 ③ 直積型
 この型の乗法は,量と量の積(関係づけ)によって,新しい量を生み出す。例えば,長さと長さをかけて,長さとは全く別の面積という新しい量ができる(図番号は引用にあたり省略)。
 乗法の立式について,実際の指導では,乗法の演算の意味を深めるために,かけられる数とかける数の順に立式する。その主意は,問題に出てくる数の,何が1つ分の大きさで何がいくつ分であるかをしっかりと読み取らせることにある。この順の立式ができているかどうかで,数の読み取りができているかを判断することができるからである。ただし,③の直積型においては,そのかぎりではない。

 上記のいくつかについて,関連情報を見ておきます。まず「かけられる数とかける数の順に立式する」については,昨年公開の『小学校学習指導要領解説算数編』に取り入れられた「被乗数と乗数の順序」*1を噛み砕いたものであるとともに,これまでの教科書などの記載や学校現場での指導に基づくものと推測できます。「1つ分の大きさ」の表記も,『小学校学習指導要領解説算数編』の影響と思われます*2。算数の教科書では「1つ分の数」だなあと思いながら,『小学校算数科教育法』を読み直すと,p.39の図3-12には「1つぶんの数」と書かれていました。
 「この順の立式ができているかどうかで,数の読み取りができているかを判断することができるからである」で連想するのは,『小学校指導法』(isbn:9784472404221)の「第2学年や第3学年では、読み取った数を、「1つ分の数×いくつ分=全体の数」と表現できることが重要であり、逆に、この立式ができているかで、数の読み取りができているかを判断できる」(p.92)です。この本は,『小学校算数科教育法』巻末の参考文献に記載されていました。
 その一方で,直積型の説明には不満を感じました。整数の乗法という文脈で,直積を取り上げるのなら,面積ではなく,アレイについて言及すべきところです。『小学校学習指導要領解説算数編』では,「●」の文字を用いたアレイの配置と,かけ算の式とを結びつけています。そのほか掲示物の並びに対して「3×4,又は4×3と式で表すことができる」としている件が該当します*3
 そしてアレイの面積と異なる特徴として,かけられる数もかける数も,積も,同種の量と解釈できる*4点が挙げられます。この特徴を持つかけ算は,小学校算数に限った話ではなく,高校数学の,場合の数の積の法則(例えば「4通り×3通り=12通り」)も該当します。
 アレイは,(「解説」のつかない)小学校学習指導要領の算数に書かれている,「一つの数をほかの数の積としてみる」を学習するのに適していますし,3年に上がると,「10が2つで20」と「2を10倍すると20」を,図や,具体物による操作で表す際に有用となります。そして4年の長方形の面積について,単位正方形の個数をもとに「縦×横」または「横×縦」という式を導くのにも,活用されます。
 『小学校算数科の指導』で,整数の乗法の意味のところを見ると(pp.68-70),「何の いくつ分」と「何の 何倍」の2つだけであり,直積型については記載がありませんでした*5。該当箇所の著者も異なっています。
 解説書は学習事項のすべてを網羅できないことに留意しながら,精読していくしかないのでしょうか。このことに関連して,『小学校算数科教育法』では奇数と偶数,倍数と約数といった整数に関する解説が見当たりませんでした。倍数・約数の扱いやその応用について,『算数教育のための数学』(isbn:9784563012175)を手に入れ読み始めたところです。

*1:http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2017/06/28/054525

*2:なのですがp.39の「(1つ分の大きさ)×(いくつ分)=(全体量)」という言葉の式には,残念に思っています。この書き方では,かけられる数と積が同じ種類の量になることを,表現できていません。それに対し『小学校学習指導要領解説算数編』では,「乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる」とあり,かけられる数と積が同じ種類の量になることを読み取ることができます。

*3:3本の串に4個ずつ団子が刺さっている場面の式が「4×3」のみであるのと対照的です。

*4:掲示物の並びについて「3段×4列=12枚」や「4枚/段×3段=12枚」と解釈することも---実際に授業でそのように単位を添えて書くかは別として---可能です。

*5:その一方で,「かける数とかけられる数が入れ替えた問題」(基準量が後に示された問題)の解説があるのに対し,『小学校算数科教育法』には見当たりません。

3人2れつで

 昨日公開の解説記事です。「①文章問題と絵をつなげる」の中に,1年生のたし算,2年生のかけ算のそれぞれで,3つずつの文章問題と3つずつの絵があり,線でむすぶという問題を紹介しています。
 かけ算の問題に,時間を取られました。図はこうなっています。

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 3つの文章問題のうち,真ん中の「女の子が3人2れつでならんでいます。ぜんぶで何人ですか。」だけが「女の子」ですので,まず,以下のようにむすびます。

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 次に,左の文章問題は「男の子が3人2れつでならんでいます。ぜんぶで何人ですか。」と書かれており,「男の子」を「女の子」に置き換えれば,真ん中の文章問題ものと一致します。「3人2れつ」という場面が同じになっているので,次のようにむすびます。

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 残ったのは,右の文章問題の「男の子が2人3れつでならんでいます。ぜんぶで何人ですか。」と,左の絵です。むすんだら,完成です。

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 ここまでは,「合うもの」を一つずつ見つけて,順にむすんでいきましたが,線をリセットして問題文を順に見ていくと,次のように考えることもできそうです。左の文章問題の「男の子が3人2れつでならんでいます。ぜんぶで何人ですか。」に最も合致した場面は,左の絵なのです。

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 ただしこのようにむすんでしまうと,残りの2つをどうすればいいか,困ることになります。というのも,真ん中の文章問題の「女の子が3人2れつでならんでいます。ぜんぶで何人ですか。」と,右の文章問題の「男の子が2人3れつでならんでいます。ぜんぶで何人ですか。」とでは,「3人2れつで」と「2人3れつで」という,異なる数量の関係になっているのに対し,残りの絵は「女の子」と「男の子」だけが違い,並び方(何人ずつ何列できているかという,数量の関係は同じ)に見えるのです。
 この問題に関しては,以下のようにむすぶのも,ありなのではないかと思います。

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 記事のはじめに書かれた箇条書きと照合しながら,「(2年生掛け算)」の出題に関して気になったのは,次の2点です。一つは,「3人2れつ」と「2人3れつ」という書き方(そして対比)が,「場面をイメージし把握する力」に寄与するのか,もう一つは,「女の子」と「男の子」とで,場面を区別するというのが,「問われている内容を理解する力」や「数の概念」と相容れないのではないかということです。
 場面のイメージの支援に,アレイは適切でないと,個人的には理解しています。公開されている出題の中で,絵を取り入れて「場面をイメージし把握する力」「問われている内容を理解する力」などを測る文章問題としては,東京都算数教育研究会の学力実態調査の「子どもが 3人 います。みかんを 1人に 4こずつ ふくろに 入れて くばります」の件(http://tosanken.main.jp/data/H25/happyou/20131018-7.pdf#page=6)があります。同じページの次の大問では,アレイの認識や,1つの場面からさまざまな(かけ算を含む)式を作ることを問うものとなっています。


 箇条書きのうち「四則計算の適応能力」にも,違和感を覚えました。直後の「計算能力」と区別するのなら,四則(たし算・ひき算・かけ算・わり算)の入った複雑な式でも計算して正しい答えを求められる能力,ということでしょうか(そうすると計算能力は,単一の演算を早く正確に行える能力と,対応づけられます)。
 「計算能力」で検索すると,「計算能力検定」というのがあるのを知りました(小学生向けには,http://www.kisoryoku.or.jp/keisan/keisan_level1-6/)。いらすとやの絵が,効果的に使われていました。

算数授業研究最新刊に見る,かけ算の順序,包含除・等分除,トランプ配り

  • 森本隆史: 等分除のイメージをもたせる難しさ, 算数授業研究, 東洋館出版社, Vol.117, pp.16-17 (2018).

算数授業研究 Vol.117 文章題の指導

算数授業研究 Vol.117 文章題の指導

 「◆」から始まる3つの小見出し(の文章)のうち,最初の「◆等分除の方がイメージを持ちにくい理由」は,個人的に収集してきた情報とおおむね,合致していました。書かれているのをいくつか抜き出すと,「等分除の方がイメージを持ちにくい」「包含除の方が操作がしやすい」「(包含除は)累減を使って,答えを出せばよい」「等分除は包含除と比べて操作がはっきりしない」のところです。またp.16右カラムでは,「4×□=24」と「□×4=24」を対比させ,前者は包含除で,「「4の段」の九九のまま問題場面をイメージすることができる」のに対し,後者は等分除で「「4の段」の意味とはならない」としています。
 個人的に収集してきた情報は,わり算,包含除・等分除,トランプ配り (2016.05) - わさっきになります。等分除操作の多様性については,そこで[山名2002]と書いた,http://ci.nii.ac.jp/naid/110001898376の文献が関連します。
 「◆等分除の文章題からの導入」は,以下を黒板に書くことから始まります。

あめが□こあります。4人であめを分けます。1人何こもらえるでしょうか。

 子どもたちの考えを箇条書きにして箱で囲み,p.17に移って,授業風景のモノクロ写真のあと,□を12にした場合,20にした場合で,教師そして子どもたちによる,「かけ算の順序」への対応が見られます。書き出します。

 この場面で実際に袋の中にいくつのあめが入っているのかを伝えずに4人の子どもにあめを1つずつ配っていった。袋の中にはあめが12こ入っていたので,1人3こずつのあめを手にした。ここで「かけ算で書くとどんな式になるの?」と問いかけると,「4×3」という式が出てきた。ここではあえて何も言わないようにした。
 今度は袋に20このあめを入れて同じように4人に配って見せた。どんなかけ算になるのかを問うと「4×5」という式が出てきた。「4×5って,何がいくつ分あるの?」と問いかけたところで,「あれ? おかしい」というつぶやきが聞こえ始める。「4×5だったら5人で分けることになるよ。だから,4×5じゃなくて5×4だと思う」「だったら,さっきのも4×3じゃなくて3×4だよ」ここで,式の書き方や記号の書き順など,わり算について教えていった。

 □に具体的な数を入れ,場面と式とを対応づけると,こうなります。

  • 「あめが12こあります。4人であめを分けます。1人何こもらえるでしょうか。」について,かけ算の式では4×3=12と表した。
  • 「あめが20こあります。4人であめを分けます。1人何こもらえるでしょうか。」について,かけ算の式を4×5=20と表したところで,「何がいくつ分あるの?」の発問に対して,おかしいと気づき,5×4=20がよいと変わった。
  • 先ほどの「あめが12こあります。4人であめを分けます。1人何こもらえるでしょうか。」についても,かけ算の式を3×4に変えた。

 トランプ配りでは,“1回に配る数×配る回数”によって,“1人分の個数×人数”とは,かけられる数・かける数が逆になる,という話は,「◆「見たこと」からわり算の問題文をつくる」の終わりのほうにも見られます。「24このあめを4人の1つずつ順番に配り,1人6こずつのあめがもらえる場面」について,「かけ算の式を書かせると,4×6=24となった」は,“1回に配る数×配る回数”と,「しかし,6×4でないとおかしいという意見が出て」は“1人分の個数×人数”と,それぞれ対応します。
 “1回に配る数×配る回数”を含む算数授業の例としては,2011年,New Education Expoの公開授業(http://blogos.com/article/8517/)があります。「4×1個を3回やるってことだから,ア。」という,生徒の反応のところです。この公開授業をされたのは,筑波大学附属小学校中博史先生でした。


 今回見てきたページから,1つ前の見開きは,「かけ算の計算について考える文章題」となっています。しかしざっと目を通したところ,小数をかける文章題だとか意味だとかで,5年の内容です。
 「かけ算の順序」は,そこからさらに2つめくって,p.10に載っていました。「あめが7こずつはいったふくろが5ふくろあります。」に対し,子どもたちは「7×5」が大多数,「5×7」が数名という反応です。両方の式と図を一人一人に書かせるとともに,板書(の写真)から7×5が,その場面に合った式としています。

数検10級に見る,かけ算の順序

 ぶらり入った書店で,「実用数学技能検定(数検)」の特集をしていました。級のうち,6級から11級までが小学校の1学年ずつに対応し,「算数検定」となっています。小学校2年の「10級」の書籍のうち3冊を手に取り,レジへ持って行きました。
 購入した理由はというと,そのいくつかに「かけ算の順序」を問う文章題*1を見かけたからです。
 『文章題入門帳』ではp.34です。上半分の「れんしゅう 2」には「子どもが 6人 います。1人に 画用紙を 3まいずつ くばります。画用紙は 何まい いりますか。」,下半分の「れんしゅう 3」には「たまごの パックが 5つ あります。どの パックにも たまごが 6こずつ 入って います。たまごは 何こ ありますか。」とあります。緑色のガイドに注意しながら,穴埋めで解答します。正解となる式はそれぞれ「3×6=18」「6×5=30」です。
 『文章題入門帳』のp.38には「はこに ジュースが 50本 入って います。この ジュースを 9人の 子どもに 4本ずつ くばりました。」とし,(1)と(2)の小問に分けて,ここでも穴埋めです。(1)では「□本ずつ □人に くばるので,」とし,順に4と9が入り,順序をひっくり返すことが想定されます。
 『要点整理』では,p.80の最初の2問が該当します。「(1) 子どもが 5人 います。1人に 色紙を 7まいずつ くばります。色紙は ぜんぶで 何まい いりますか。」と「(2) 長いすが 6つ あります。どの いすにも 4人ずつ すわって います。ぜんぶで 何人 すわって いますか。」です。
 ここまで挙げた文章題では,いずれも,「ずつ」の付く数がかけられる数となっていますが,「ずつ」がない場合,例えば最初に記した文章題を「1人に 画用紙を 3まい くばります」に変更すると,1人だけに3枚配るという解釈もでき,曖昧さを避けるためと読み取ることができます。それぞれの本に,「ずつ」のない,かけ算の文章題を見つけることもできました。
 『過去問題集』に収録された全6回の問題文を見ましたが,「かけ算の順序」を問う文章題は,含まれていませんでした。

単元テストのかけ算「ひっかけ問題」とその対策

日々のクラスが豊かになる「味噌汁・ご飯」授業 算数科編

日々のクラスが豊かになる「味噌汁・ご飯」授業 算数科編

 「味噌汁・ご飯」授業は,「手軽で」「飽きない」「栄養価のある」授業と読み替えられ,pp.11-12で細分化されています。なお,https://www.facebook.com/miso.gohan/によると,「味噌汁・ご飯」授業研究会は今年3月までで,2月には解散セミナーが催されたとのことです。
 単元の授業準備の段階で,単元終了時に児童らに解かせる「単元テスト(業者テスト)」を分析しておき授業に取り入れようという趣旨が,pp.56-57に見られます。例えばp.57では,低学力児(100点満点で30点以下)でも「味噌汁・ご飯」授業を通じて60点,70点,80点取れるとし,単元テスト分析の必要性について次のように記しています。

 そのためには,事前の「単元テスト」が大きな役割を占めていることになる。このことなくして,このような「事実」を作り上げることはできない。業者テストは,テストの平均を80点や85点に揃えるために,必ず子供たちが間違う問題(私たちは「ひっかけ問題」と呼ぶ)を入れている。そこにまんまとひっかかるのである。
 ここを私たちがマークしなければ,テストの平均を上げることはできない。
 では,具体的にどうするのか。p.58,p.59を参考にしてほしい。

 次のページでは,2年生,東京書籍「かけ算(2) 九九をつくろう」の単元テストを例に,その分析を行っています。単元テストの表面の最後,[6]が「ひっかけ問題」であるとし,その問題文と,対策を述べています(p.59)。

 長いすが8つあります。1つの長いすに7人ずつすわります。みんなで何人すわれますか。

 この問題は,かけ算の基本的な考え方である「1つ分の数×いくつ文=ぜんぶの数」のうち,「いくつ分」に当たる「8つ」が先に,「1つ分の数」に当たる「7人」が後にきている。従って,算数の苦手なこの多くが,正解の「7×8」ではなく,「8×7」と,立式してしまうことが考えられる。その対策として,

  • 教科書p.48で出てくる前に,かけ算すべての段において,先生問題として,問題文で「いくつ分」が「1つ分の数」より先に出てくる問題を解かせる。
  • 「1つ分」の多岐にわたる表現を,模造紙にまとめて掲示する。

という手立てを考え,実際に指導することができた。
 このおかげで,本学級30名の本単元テストの平均点は,50点満点で,思考46.2点(92.4%),技能48.5点(97%),知識46.3点(92.6%)と,3領域とも90%を超えることができたのである。

 上記のほか,p.101には「子どもが8人います。あめを1人に3こずつくばると,ぜんぶでなんこいりますか。」で8×3と立式する子が出てしまう点を指摘した上で,その対策として「図で表す」ことを提案しています。「1はこに,5こ入っているりんごが,3はこあります。ぜんぶでなんこでしょうか。」という文章題も,「りんごのはこが,3はこあります。1はこ5こ入りです。ぜんぶでなんこでしょうか。」という文章題も,1個りんごを●で表し,5こずつ並べて長方形で囲めば,同じ図になるということです。

円周率に「比の値」

 いくつかの辞書で,円周率の説明に「比の値」を使用しています。次期学習指導要領では,「比の値」は小学6年の算数で学習する用語の一つとなっています。


 数日前のツイートで,比の値が意味不明というのを見かけました。探し直すと,容易に見つかりました。

 「比の値」のパターンマッチを試みるとすると,辞書による定義です。オンラインで読める2つの辞書で,「円周率」の説明に,この語を使用しています。

  • Weblio辞書三省堂 大辞林):「円周の直径に対する比の値。記号 π (パイ)で表す。その値は 3.141592… で超越数であることがリンデマンによって証明された。 」
  • コトバンク(ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典):「平面上の円の円周と直径との比の値。すべての円で等しい。3.14のほか 22/7という数値がよく用いられる。(以下略)」

 「比の値」ではありませんが,wikipedia:円周率では「円周率(えんしゅうりつ)は、円の周長の直径に対する比率として定義される数学定数である」,goo辞書では「円周の、直径に対する比」と書かれています。
 次に,「比の値」とは何なのかを辞書から知るには,「比」を見ます.Weblio辞書には「a,bを同種の量とするとき,aがbの何倍かあるいは何分のいくつかに当たるか,という関係をaのbに対する比といい,a:bと書く。a/bをこの比の値という。」とあります。
 比の値については,メインブログで記事にしていました。比の順序問題 - わさっきです。そこで書かれた「比と比の値について,2:3=2/3(中略)とすることの批判を,Web上で見かけました」というのは,http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/2104より読むことができます。
 円周率と,比の値への批判を組み合わせると,こうなります。円周との直径との比が一定になるのはいいとして,この比の値は,「円周÷直径」でなくても,「直径÷円周」でもいいのではないか,と。
 とはいえ円周率の定義として「直径÷円周」を認めている文章を,見たことはありません。πを扱った数学の論文や読み物のほか,プログラミングの数学定数にも影響を及ぼします。
 ところで,算数において「どちらで割ってもよいが,一般にはこうする」というのは,比よりも前に学びます。「単位量当たりの大きさ」で,5年の学習事項です。現行では「混み具合」そして「人口密度」があり,学習指導要領の移行措置により2019年度からは,5年生も「速さ」を学習します。
 「混み具合」を(比較できるよう)一つの数とするには,「単位面積あたりの人数(人数÷面積)」のほか,「1人あたりの面積(面積÷人数)」でも求められます。単位面積あたりの人数が大きいというのは,1人あたりの面積が小さいことに相当し,「より混んでいる」となるわけです。その上で,人口密度については「単位面積あたりの人数」が採用されます。
 「速さ」も同様です。「単位時間あたりに移動する距離(距離÷時間)」のほか,「単位距離の移動に要する時間(時間÷距離)」も考えることができ,実際にわり算は行わなくとも,100メートル走などにおいて「タイムが短い」のが「速い」のは,「単位距離の移動に要する時間」だからです。単位時間あたりに移動する距離が大きいことと,単位距離の移動に要する時間が小さいことと,「より速い」がいずれも等価であるのを確認したのち,実用的な速さの式としては「距離÷時間」が用いられます。
 単位量当たりの大きさは「異種の二つの量の割合」です。それに対し円周率や,同じ大きさのコップで3杯と5杯の2種類の液体を混ぜ合わせて液体を作るといったシチュエーションは,同種の二つの量の割合(この語は学習指導要領に出てきませんが)です。どちらで割っても,その場限りで意味のある数値は得られますが,円周率は「どちらでもいい」というわけにいかず,「円周の直径に対する比の値」や「直径が円周の何倍になるかというわりあい」*1が採用されてきたというわけです。
 これからの算数での,「比の値」の扱いを知るには,次期の学習指導要領です。「解説」のつかない,小学校学習指導要領を読むには,次の2つの方法があります。本記事執筆時点で,PDFファイルのURLは「2018/05/07」を含んでおり,ゴールデンウィーク明けに大幅な刷新がなされました。

 いずれにも,第6学年の〔用語・記号〕に「比の値」が入っています。線対称・点対称などとともに,小学校で学習するというわけです。
 「比の値」とは何であるかは,『小学校学習指導要領解説算数編』によると以下のとおりです。a/bをa:bの比の値とすると,アプリオリに与えるのではなく,倍や割合などがその素地になっている点にも,注意をしたいところです。

 二つの数量の大きさを比較しその割合を表す場合に,どちらか一方を基準量とすることなく,簡単な整数などの組を用いて表す方法が比である。第5学年までに,倍や割合に関する指導,分数の指導,比例関係に関する指導などの中で,比の素地を指導してきている。第6学年では,これらの上に,a:bという比の表し方を指導する。比の相等(等しい比)及びそれらの意味を明らかにし,比について理解できるようにする。これに関連し,\frac{a}{b}をa:bの比の値ということや,比の値を用いると比の相等(等しい比)を確かめることができることを理解できるようにする。このようなことから,数量の関係を比で表したり,等しい比をつくったりすることができるようにする。

 比の値は,中学1年で比例式を扱うときにも使われます。『中学校学習指導要領解説数学編』には「2種類の液体A,Bを3:5の重さの比で混ぜる。B 150gに対して,Aを何g混ぜればよいか」を求める際に,Aをxグラム混ぜるとして,比例式3:5=x:150を立て,比の値を用いて\frac{3}{5}\frac{x}{150}とすれば一元一次方程式になり,xが求められるとしています。

*1:isbn:4095018054, p.83。