かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

1皿に5個ずつ入ったみかんの,9皿または4皿の個数

  • 齊藤一弥(編著): 平成29年版 小学校新学習指導要領の展開 算数編, 明治図書出版 (2017).

平成29年版 小学校新学習指導要領の展開 算数編

平成29年版 小学校新学習指導要領の展開 算数編

 みかんが皿に乗ったモノクロの絵が,p.139に出現します。前後の文章を書き出します。

 例えば,第2学年の乗法の指導場面を考える。乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。(一つ分の大きさ)が決まっていて,その(幾つ分)かに当たる大きさを求める場合に,
 (一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)
のように言葉の式のみを教えるのではなく,状況を表す具体的な図と関連付け,そう表すことのよさを感じられるようにしていくことが大切である。
 例えば,「1皿に5個ずつ入ったみかんの9皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。
(図省略)
 「5個のまとまり」の9皿分を加法で表現する場合,
 5+5+5+5+5+5+5+5+5
と表現することができるが,これは面倒である。また,各々の皿から1個ずつ数えると,1回の操作で9個数えることができ,全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから,
 9+9+9+9+9
という表現も可能ではある。しかし,5個のまとまりをそのまま書き表す5+5+5+5+5+5+5+5+5+5の方が自然である。そこで,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現としてかけ算を教え,「1皿に5個ずつ入ったみかんの9皿分の個数」を乗法を用いて表すのである。そうして,一つ分の大きさである5を先に書く場合5×9と表すことを学習するのである。

 読んで,小さな違和感を2つ,持ちました。まずは省略とした図で,「1皿に5個ずつ入ったみかん」の絵が非現実的なのです。3個を下段(皿のすぐ上),2個を上段(皿とはくっつかない)に配置してあるように見え*1,かつ,下段中央のみかんが,不自然に前面に出ているのです。
 もう一つは,第2学年の乗法の指導場面であれば,言葉の式は「1つ分の数×いくつ分=ぜんぶの数」のほうが適切ではないかという点です。教科書に採用されているのに加えて,「大きさ」という言葉を,かけ算の言葉の式に取り入れることには違和感があります。
 もう少し説明を加えます。「●●●と●●●」と書き(あるいは図示し),この●の総数を,かけ算の式で求めるとなると,一つ分の大きさを,「●●●」ととらえることができます。では,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)に基づき,「●●●×2=●●●●●●」という書き方を認めるのか…というと,そんな展開になる算数の授業例は,見たことも聞いたこともありません。式の簡潔さにも寄与しません。
 一つ分の大きさ,あるいは一つ分を,「●●●」と認識した上で,式に表す際には「1つ分の数」,ということで3に置き換えればよいのです。そして幾つ分あるかというと,2つ分ですので,「3×2」という式が立てられます。3cmのリボンが2つという場合も,一つ分の大きさは3cmですが,かけ算にする際の1つ分の数は,3です。
 次の話に進む前に,前提になるものを書いておきます。「各々のさらから1個ずつ数えると,1階の操作で9個数えることができ,全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから,9+9+9+9+9という表現も可能ではある。」は,「かけ算の順序論争」の文脈ではトランプ配りと呼ばれます。以下で整理を試みました。

 上記引用では,トランプ配りも「可能ではある」けれども,「5個のまとまりをそのまま書き表す」「方が自然である」ので,以降はトランプ配りを対象としない,という展開を見ることができます。この流れは,今年公開された『小学校学習指導要領解説算数編』にも記載があります。http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2017/07/25/1387017_4_2.pdf#page=39から読むことのできる内容を,取り出します。

 乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。
(図省略)
 例えば,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。
 「5個のまとまり」の4皿分を加法で表現する場合,5+5+5+5と表現することができる。また,各々の皿から1個ずつ数えると,1回の操作で4個数えることができ,全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから,4+4+4+4+4という表現も可能ではある。しかし,5個のまとまりをそのまま書き表す方が自然である。そこで,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を乗法を用いて表そうとして,一つ分の大きさである5を先に書く場合5×4と表す。このように乗法は,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現とも捉えることができる。言い換えると,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と捉えることができる。

 『小学校新学習指導要領の展開』では「(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)のように言葉の式のみを教えるのではなく」となっていた箇所は,『小学校学習指導要領解説算数編』の上記引用では,「(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と捉えることができる」となっています。「教える」も「捉える」も,教師が行います。『小学校学習指導要領解説算数編』では,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と教えよと言っているわけではない,ということです。
 2つの文章で使用されている数量を,比べてみます。『小学校新学習指導要領の展開』では,「1皿に5個ずつ入ったみかんの9皿分の個数」です。それに対し,『小学校学習指導要領解説算数編』は,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」です。
 それぞれの刊行年月から,作成の過程を次のように推測できます。『小学校学習指導要領解説算数編』の記述を見た,『小学校新学習指導要領の展開』の該当箇所の執筆者が,数を4皿分から9皿分に変更し,絵を作り直して「言葉の式のみを教えるのではなく」などをつけ加えたのです。執筆者は高橋丈夫氏で,この人物名に「 算数」を加えてGoogleで検索すると情報が出てくるほか,平成27年度からの東京書籍の算数教科書の編集者に名前が記載されています。
 4皿と9皿の違いで,授業が(あるいは教科書が)どう変わるかというと,以下の流れが想像できます。

  • 「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を,配る操作で数える場合,
    • 5個ずつ置いていくと,式は5+5+5+5。ちょっと字数が多い。
    • トランプ配りで4個ずつ置いていくと,式は4+4+4+4+4。「5+…」よりも字数が多い。
    • もっと簡単に表して,計算できるようになろう。「5×4=20」と書こう。それぞれの数は「1つ分の数」「いくつ分」「ぜんぶの数」だよ。
  • 「1皿に5個ずつ入ったみかんの9皿分の個数」を,配る操作で数える場合,
    • 5個ずつ置いていくと,式は5+5+5+5+5+5+5+5+5。ずいぶん字数が多い。
    • トランプ配りで9個ずつ置いていくと,式は9+9+9+9+9。「5+…」よりも字数が少ないけど,まだ多い。
    • もっと簡単に表して,計算できるようになろう。「5×9=45」と書こう。それぞれの数は「1つ分の数」「いくつ分」「ぜんぶの数」だよ。

 簡潔さの観点から言うと,「1皿に5個ずつ入ったみかんの9皿分の個数」について,5+5+5+5+5+5+5+5+5よりも9+9+9+9+9のほうが字数が短く,したがってそこに,トランプ配りの乗法への適用について,意義を見出すことになるのかな,とも思いました。
 なお,個人的な認識としては,『小学校学習指導要領解説算数編』にトランプ配り対応を記したのは,「かけ算の順序」に関する,ネットその他の批判への回答ととらえています。5+5+5+5+5+5+5+5+5か9+9+9+9+9か,5+5+5+5か4+4+4+4+4か,それともどちらでもよいのかは,もっと小さな数を使って,第1学年で学習するほうがよいでしょう。「するほうがよい」ではなく,実際になされていて,啓林館の1年の教科書には「子どもが 3人 います。みかんを 1人に 2こずつ あげます。みんなで なんこ いりますか。」とあります。トランプ配りについては,その配り方を認めた上で,「1個ずつ置くか,2個ずつ置くかという置き方ではなく,置いた結果に着目させる」*2とするのが明快です。『小学校学習指導要領解説算数編』の第1学年でも,2+2+2+2と4+4の対比がなされています。

*1:組体操の俵型3段ピラミッドで最上位の者がまだ乗っていない状態です。

*2:『活用力・思考力・表現力を育てる!365日の算数学習指導案 1・2年編』isbn:9784180808335 p.66

かけ算の「順序」について(2017.12)

 刊行物やWebの情報より知ることのできる,かけ算の「順序」について,整理します。
 「順序」「順番」「order」という語句の出現に着目するとともに,本文の取得・閲覧が比較的容易で,かつ参考文献に書くことが可能な情報源を,積極的に取り入れました。氏名は存命の方・物故者を問わず敬称略としました。
 最新情報や現在進行中の議論については,Twitterハッシュタグ「#掛算」つきのツイートがおすすめです。https://twitter.com/hashtag/%E6%8E%9B%E7%AE%97?src=hashより読めます。

1. かけ算の「順序」は3種類

 小学校の算数に見られる,かけ算の指導や出題において,「順序」や「順番」には,大きく分けて3つのとらえ方があります。《計算の順序》《被乗数と乗数の順序》《順序論争》です。
 最初に見ておきたいのは,結合法則や交換法則といった,かけ算の式の《計算の順序》です。例えば7×25×4=(7×25)×4=175×4=700として求めるのでは,暗算にせよ筆算にせよ,間違えやすいものです。そこで7×25×4=7×(25×4)=7×100=700とすれば,7を含むかけ算は,筆算が不要になり,楽して答えが得られます。
 (a×b)×c=a×(b×c)は,結合法則を表した式です。交換法則はa×b=b×aです。
 2番目となる検討の要素は,かけ算の式を「かけられる数×かける数」で表すか,「かける数×かけられる数」で表すかです。これに由来する順序を,《被乗数と乗数の順序》と呼ぶことにします。
 この場合,かけ算の答えと同じ種類の量になるほうを「かけられる数(被乗数)」,他方を「かける数(乗数)」とします。なお,面積を含む「量の積」のほか,アレイや直積でモデル化されるような場面は,対象外となります。
 メールで「3コマ×5人=15コマ」と書いて送れば,「3(コマ)」がかけられる数,「5(人)」がかける数です。あるレシートに「17個 X 単105」と打たれていれば,「17(個)」はかける数,「単105」は単価が105円とみなし,これがかけられる数となります。
 3番目は,算数の出題において,1種類のかけ算の式のみを正解とすることの是非です。
 「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という問題で,式に「5×3=15」を書いたら,不正解のバツ印がつけられる件です。《順序論争》と呼びましょう。
 この論争で批判する人々は,a×b(上のりんごの文章題なら,3×5=15)が正しい式であることは了解しており,その上で,b×a(同じく,5×3=15)も正解にすべきだと主張している,という点も,注意したいところです。

 ここまで,《計算の順序》《被乗数と乗数の順序》《順序論争》とラベリングしたものの,これらの3つは,ずいぶんと絡み合っています。
 一例を挙げると,《順序論争》でa×bもb×aも正解とせよとする根拠として最もポピュラーなのは,a×bもb×aも答えが等しいというものです。その根拠として,乗法の交換法則が持ち出されることが多く,したがって,《計算の順序》が関わってきます。
 それに対し,a×b=b×aは計算の性質であり,a×bとb×aは異なるとする立場もあります。以下の文献では,「4つずつキャンディを持っている3人の子どもたち」と「3つずつキャンディを持っている4人の子どもたち」の比較をとおして,総数は同じでも状況が異なることを例示しています。

  • Anghileri, J. and Johnson, D. C.: Arithmetic Operations on Whole Numbers: Multiplication and Division. In Post, T.R. (Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8, Longman Higher Education, Allyn and Bacon, pp.146-189 (1988). asin:0205110762

 《順序論争》については,1972年の朝日新聞の記事,そして同年の遠山啓による科学朝日がよく知られていますが,1960年代にも論争があったと指摘をするのは佐藤俊太郎です(『算数・数学教育つれづれ草』p.46)。

算数・数学教育つれづれ草

算数・数学教育つれづれ草

 昭和40年(1965年)ごろ,「5円の品3個の代金の立式は,3×5ではダメなのか」の論争が大阪や神戸から湧き起こった。それは海外で教育を受けた子どもが日本に帰国して授業に臨むと,上記問題の正答は,5×3のみで,3×5はダメという指導に遭遇した。そこで,帰国した子どもの親から担任教師に対する反発が起こり,問題化していった。

 上記は,《被乗数と乗数の順序》と《順序論争》を結びつけた文章となっています。それと,この解説では,昭和44年の『小学校指導書 算数編』以降,平成20年の『小学校学習指導要領解説 算数編』まで,5×3と3×5の両方を正答としています。

 《計算の順序》《被乗数と乗数の順序》《順序論争》のすべてが入った記述は,森毅「次元を異にする3種の乗法」で読むことができます。『数の現象学』(ちくま学芸文庫)pp.66-67より,引用します。

数の現象学 (ちくま学芸文庫)

数の現象学 (ちくま学芸文庫)

 小学校の先生が,次の問題を出した.
「子供が6人います.ミカンを4個ずつあげるには,いくついるでしょう」
 これに,
    6×4=24   答え 24個
と書いた子が,式は×に答は○にされた.
 それに親が抗議した.6×4も,4×6も,交換法則で同じというのは,いまは習わないまでも,そのうちに習う真理じゃないか.それに,1人に1個ずつ配れば,6人に配るのに6個いる,だから6×4でもエエじゃないか,この式の方も○にせえ.
(略)
 じつは,少しも「掛け算の意味」を教えていなかったところが学校側の問題なのだが,親の方もいくらかヘンなところはある.この,4×6とか6×4とかいった順序は,日本とヨーロッパでは違う.日本は「4の6倍」式に4×6と書くが,ヨーロッパでは「6倍の4」式に6×4と書く.これは左側通行か右側通行かみたいなもので,言語習慣から来ている.ただし,日本式の方が合理的というのが世界の相場だが,一方ではヨーロッパ式の方がすでに流通してしまっている.まあ,これはヤクソクには違いない.足すを+と書き,掛けるを×と書くようなのもヤクソクで,これを勝手に変えたら混乱してしまう.

 なお,「日本とヨーロッパでは違う」に限れば,中島健三が以下の文献で同様のことを示しています。

 「かけられる数×かける数」は日本のほか,韓国や台湾でも採用されており,それに基づく《順序論争》の事例も見ることができます。


 「中天新聞」とは台湾のメディアで,この動画は2013年11月16日の報道です。問題文は「一打鉛筆有12枝,毎枝賣8元,一共幾元要如何計算? ①8×12②12×8③8+12④12+8。」という4択で,日本語に訳すと「鉛筆1ダースは12本である.鉛筆が1本8元のとき,全部で何元になるかを,どの式で求めればよいか」です。動画の途中では,老師(先生)がホワイトボードを使って解説しており,「被乘數」「單位」をかけ算の記号の左に,「乘數」「數量」を右に書いています。
 タイの算数教育に関わった人は,以下の文献で「自然な語順が日本語式であるにもかかわらず、教科書は英語式の順番に従っている」と指摘しています。ちなみにこの報告書の中に「かけ算の順序」という表記が出現します。

 ところで,「交換法則はそのうちに習う真理」を別の観点でみるなら,「交換法則を学習しないうちは,a×bを正解としb×aを不正解とするような採点や指導があってもいいのではないか」という問題意識となります。
 その考えにほぼ沿った文章もあります。守屋誠司『小学校指導法 算数』のpp.91-92です。

小学校指導法 算数 (教科指導法シリーズ)

小学校指導法 算数 (教科指導法シリーズ)

乗法の場面、「1ふくろにミカンが3こずつ入っています。5ふくろでは、ミカンは何こでしょう。」は、3×5と立式される。立式は、「1つ分の数×いくつ分=全体の数」とまとめられ、それぞれ被乗数、乗数という。(略)乗法では、数の位置ではなく、数が意味する内容に注目して、どの数が1つ分の数であるか、いくつ分はどの数かをしっかりと読み取ることが大切である。第2学年や第3学年では、読み取った数を、「1つ分の数×いくつ分=全体の数」と表現できることが重要であり、逆に、この立式ができているかで、数の読み取りができているかを判断できる。しかし、高学年になり、乗法では交換法則が成り立つことや外国での立式を知り、数の意味をしっかり理解できていれば、必ずしも第2学年で学んだ順序で立式することを強制しなくてもよい。

 とはいえ最後の文が,著者の伝えたかったことであると読むのは不自然です。その一つ前,「第2学年や」から始まる文を,メインの主張と見るべきでしょう。
 これは教員を目指す学生向けに書かれた本です。「子どもが7人います。1人に4個ずつアメをくばります。アメはみんなで何こいりますか」という問題に対して,小学校2年生の子が7×4=28と式を立てたら,どのような対応をしたらよいか,という課題も載っています。
 また別の本を見ます。1979年に刊行された本の,統計教育の解説の中に,批判的な記載がありました。

 東京工業大学教授の森村英典が,p.283にて以下の通り記しています。

小学校では,例えば乗算における被乗数と乗数の区別や順序をやかましく指導することすらあると聞く。交換法則を九九を通して教えたあとではその種の厳密さは有害とさえ思われるのであるが,とにかくそのような指導に馴れている教師・生徒の双方にとって,例えば,ヒストグラムを作るにも,階級幅を“適当に”定めるごとに異なった結果になり,そのいずれがよいとは断定しかねるという性格は全く数学らしからぬものと映るものも無理はない。

 2011年刊行の『かけ算には順序があるのか』の影響を受けてか,その後,数学者らが解説記事や著書の挿話などを通じて,批判を記しています。一松信,松本幸夫,黒木玄,志村五郎,野崎昭弘,小林道正,大栗博司,長岡亮介の著作を読んできました。出典や抜粋などは,以下よりご覧ください。

 《順序論争》で批判的,すなわちりんごの問題に5×3を正解とする人々のなかで,結合法則を考慮する人を,ほとんど見かけません。
 なのですが,教科書で計算の順序,かけ算の順序というと,結合法則の説明に使われています。その場合,「かけ算では,じゅんじょをかえてかけても,答えは同じになります。」(学校図書),「多くの数をかけるときには,計算するじゅんじょをかえても,答えは同じです。」(啓林館),「3つの数をかけるときは,計算するじゅんじょをかえてかけても,答えは同じになります。」(日本文教出版)といった表現になります。交換法則のまとめ方では,どうやら「じゅんじょ」は出現しません。
 乗法の結合法則は,「計算のきまり」の一つとなります。同様の他のきまりには,加法の結合法則や,乗除先行があります。乗除先行は,例えば3+2×3を求めるときに活用します。この場合,2×3を先に計算し,3+2×3=3+6=9としないといけません。3+2を先に計算して,3+2×3=5×3=15と書いたら,バツにされます。
 乗法の結合法則はかけ算ばかりのとき,乗除先行は加減と乗除が混在しているとき,と適用の場面は異なりますが,因数や項の入れ替えや展開をすることなく,どこから計算すればよいかのヒントを与えるという点で共通しています。
 交換法則と結合法則について,2つの文献を紹介します。一つは1904年に刊行された高木貞治『新式算術講義』です。

新式算術講義 (ちくま学芸文庫)

新式算術講義 (ちくま学芸文庫)

 そこでは,自然数を対象とする加法の諸性質を確認したあと,a×1=aとa×b=a+a+a+…+aにより乗法を定義し,「加法に対する分配の法則」「組み合はせの法則」「交換の法則」を証明しています。現在では順に「分配法則」「結合法則」「交換法則」と呼ばれている性質です。後二者では以下のとおり,どちらにも「順序」という言葉を使用して,説明しています。

a,b,nなる三個の数に順次乗法を施こすとき因数の順序は積に影響することなきこと加法の場合に於けると同趣なり,之を組み合はせの法則といふ.此法則はnが1なる場合にも成立すべきこと明なり.
交換の法則も亦乗法に適用すべし.a,bなる二数の積は因数の順序に関係せず,(略)

 これと同時期に刊行された本で,かけ算の定義のあと,交換法則を先に取り上げているものもあります。

 そこでは,"The sum of b numbers each of which is a is called the product of a by b"として積を定義し,表記には「a×b」「a・b」「ab」を載せています。ただし,現在の視点で見ると,aが被乗数,bが乗数ですが,multiplicand/multiplierといった,二者を区別する用語はこの本に見当たりません。
 乗法の諸性質は,交換法則,結合法則,分配法則の順で,加法の性質を用いて別々に示しています。「多くの数をかけるとき」の話に,orderの語を見つけることができました(p.8)。

The commutative, associative, and distributive laws for sums of any number of terms and products of any number of factors follow immediately from I-V. Thus the product of the factors a, b, c, d, taken in any two orders, is the same, since the one order can be transformed into the other by successive interchanges of consecutive letters.
(私訳:任意個の項の和と任意個の因数の積に関して,交換,結合,分配の法則はI-Vから直接導かれる。ゆえにa,b,c,dという4つの因数の積はどのような順序をとっても答えは同じになる。なぜなら一つの順序は,隣り合う文字の交換を繰り返すことで,他の順序に変換できるからである。)

 「隣り合う文字の交換を繰り返すことで,他の順序に変換できる」について,例えばabcd=bacd=bcad=bcda=cbda=cdba=dcbaを考えることができます。それぞれの等号が成立するのは,乗法の交換法則と結合法則によります。
 「面積を含む「量の積」のほか,アレイや直積でモデル化されるような場面は,対象外となります」と書きましたが,対象外としたモデルも,学術的に検討がなされています。メインブログで取り上げたことのある,文献およびブログ記事を列挙します。

 小原の文献では,〈乗数と被乗数が区別される文脈〉と〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉の存在が前提となっています。かけ算の導入時に学習するタイプの場面について,GreerとVergnaudの文献には,ともに,asymmetryという単語が出現します。

2. 現行および次期の学習指導要領から見た「順序」

 教科書検定や教育課程の基準となる,学習指導要領で,「順序」はどうなっているのかを見ておきます。
 現行の解説(平成20年6月)は,以下のページに小学校各科目のPDFファイルへのリンクがあります。

 「算数(1)」「算数(2)」をダウンロードして開き,検索したところ,「大小や順序」「順序数」「順序よく」といった,本記事の内容に関係ない言葉も多い中,当たらずとも遠からずな記述として,次の2点が見つかります。一つは,第2学年では加法の交換法則・結合法則を挙げる中での「幾つかの数をまとめたり,順序を変えて計算したりする場合がある」という文です。もう一つは,第4学年にある「計算の順序についてのきまり」です。
 したがって,《計算の順序》については一応の配慮がなされていると見ることができます。
 《被乗数と乗数の順序》《順序論争》については言及がありませんが,ざっと読むと,2年の導入でも,3年の除法と乗法と関係でも,高学年の小数や分数を含むかけ算でも,「かけられる数×かける数」で統一されていることが見てとれます。
 ただし,図形の面積や,アレイなど直積については,a×bとb×aが併記されているところがあります。また,第6学年に入っている,いわゆる順列・組み合わせについては,この解説にはかけ算の式がなく,かわりに「指導に当たっては,結果として何通りの場合があるかを明らかにすることよりも,整理して考える過程に重点をおき」とありまして,かけ算の対象外と思っておくのがよさそうです。
 学習指導要領をもとにした《順序論争》については,wikipedia:かけ算の順序問題で次のように記載しました。最後の文献[15]は,上で取り上げた『小学校指導法 算数』のことです。

学習指導要領は「教育課程の標準」「各教科で教える内容」を定めたものであり、例示として片方の順序を示しているところはあっても、その片方の順序でのみ式を書くことを要請する文は存在せず、他方の順序を不正解とすることもない。学習指導要領・学習指導要領解説に基づき教材や授業、テストとして具体化されていく中で、特定の順序が選択される。そのとき、逆の順序に書かれた式を正解とするか不正解とするかは様々である[15]。

 小学校では2020年より実施となる,新しい学習指導要領が今年3月に公示されました。そして6月21日に,以下より総則および各教科の解説のPDFファイルがダウンロードできるようになりました。

 ここでも,算数は(1)と(2)に分かれています。各リンクのURLには年月日が含まれており,頻繁に改訂されています。本記事執筆時点では,算数のPDFのURLには「2017/07/25」が含まれており,以下「2017/07/25版」と書きます。
 最初に公開されたバージョンでは,算数(1)は全体像を記した第1章・第2章のほか,各学年の解説にあたる第3章の第1学年と第2学年の記載もありました。第2学年,「乗法が用いられる場合とその意味」の解説は,以下の通りでした。

(ア)乗法が用いられる場合とその意味
 乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。
 例えば,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。
(図:省略)
 「5個のまとまり」の4皿分を加法で表現する場合,5+5+5+5と表現することができる。また,各々の皿から1個ずつ数えると,1回の操作で4個数えることができ,全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから,4+4+4+4+4という表現も可能ではある。しかし,5個のまとまりをそのまま書き表す方が自然である。そこで,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を表す場合,一つ分の大きさである5を先に書き5×4と記す。このように乗法は,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現とも捉えることができる。言い換えると,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と捉えることができる。
 また乗法は,幾つ分といったのを何倍とみて,一つ分の大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるという意味も,併せて指導する。このときも,一つ分に当たる大きさを先に,倍を表す数を後に記す。例えば,「2mのテープの3倍の長さ」を表す場合,2×3と記すことにする。
 なお,「4×100mリレー」と表すように英語圏などでは順序が日本と逆になっている場合があることに注意して,外国籍の児童の指導に当たるようにする。
 ここで述べた被乗数と乗数の順序は,「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大きさを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方,乗法の計算の結果を求める場合には,交換法則を必要に応じて活用し,被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。
 乗法による表現は,単に表現として簡潔性があるばかりでなく,我が国で古くから伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって,その結果を容易に求めることができるという特徴がある。

 このうち「「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を表す場合,一つ分の大きさである5を先に書き5×4と記す」は,現行の解説にない,踏み込んだ記述であり,《被乗数と乗数の順序》についての見解を示したようにも読めます。ツイッターなどで見かける言葉で言い直すと,「順序強制」です。
 ただし,「5個のまとまり」から始まる段落とその次について,2017/07/25版では以下の通り,記載が変わっています。

 「5個のまとまり」の4皿分を加法で表現する場合,5+5+5+5と表現することができる。また,各々の皿から1個ずつ数えると,1回の操作で4個数えることができ,全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから,4+4+4+4+4という表現も可能ではある。しかし,5個のまとまりをそのまま書き表す方が自然である。そこで,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を乗法を用いて表そうとして,一つ分の大きさである5を先に書く場合5×4と表す。このように乗法は,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現とも捉えることができる。言い換えると,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と捉えることができる。
 また乗法は,幾つ分といったことを何倍とみて,一つ分の大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるという意味も,併せて指導する。このときも,一つ分に当たる大きさを先に,倍を表す数を後に表す場合,「2mのテープの3倍の長さ」であれば2×3と表す。

 「一つ分の大きさである5を先に書く場合5×4と表す」と「一つ分に当たる大きさを先に,倍を表す数を後に表す場合」により,この(バージョンの)解説では,「かけられる数×かける数」はかけ算の式の一つの書き方であり,他の書き方を拒絶するものではない,と解釈することができます。この改訂には,7月10日に東京新聞で,同月13日に中日新聞で掲載された「掛け算の順序論争再燃」が背景にあると思われます。以下のリンクで前文のみ読めます。

 これについて,東京新聞の記事の複製を得ることができました。「5×3、3×5のどちらの順序が正しいとも言えない」や「三つの角が違う二等辺三角形がある」は算数・数学の表記として不適切なのに加えて,批判の立場にある人々が実名である一方で肯定派の氏名が見当たらないのは,残念に思いました。
 とはいえ『小学校学習指導要領解説算数編』の記述の変更は,この掲載が直接の原因であったとは考えにくいです。記事になるより前,記者からの取材に応じる中で,「順序固定強制」を示唆する文章を変えておくべきではないか,と推測しています。
 他は基本的に変わっていません。「4×100mリレー」を含む段落は,2017/07/25版では以下のようになっていますが,《被乗数と乗数の順序》に関連する話で,趣旨の変更には見えません。

 なお、海外在住経験の長い児童などへの指導に当たっては,「4×100mリレー」のように,表す順序を日本と逆にする言語圏があることに留意する。

 さらに続く以下の段落は,立式と交換法則との切り離しが意図された記述となっており,《被乗数と乗数の順序》および《順序論争》に関連します。

 ここで述べた被乗数と乗数の順序は,「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大きさを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方,乗法の計算の結果を求める場合には,交換法則を必要に応じて活用し,被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。

 図にしてみました。「4皿に3個ずつみかんが乗っている」も,『小学校学習指導要領解説算数編』の第2学年のところに記載されています。

 なお,式と法則との関わりについては,先に挙げたAnghileri & Johnson (1988)より類似した見解を読むことができます。交換法則として,a×b=b×aや3×4=4×3の式を挙げたのち,それは数の性質であって,3×4が4×3と等しいのは事実だが,日常生活においてそれらが同じであるというわけではないことを注意しています。『小学校学習指導要領解説算数編』の記述は,その文献を根拠にしたというわけではなく,「a×bとb×a,答えは同じでも意味は違うことがある」は,国内外における算数教育の知見として確立しているものと考えられます。
 「被乗数と乗数の順序」という語句そのものが,盛り込まれたのは,今年の『小学校学習指導要領解説算数編』の大きな特徴となっています。次のような記載もあります。

 式を読み取る指導に際しては,例えば,3×5の式から,「プリンが3個ずつ入ったパックが5パックあります。プリンは全部で何個ありますか。」という問題をつくることができる。このとき,上で述べた被乗数と乗数の順序が,この場面の表現において本質的な役割を果たしていることに注意が必要である。「プリンが5個ずつ入ったパックが3パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」という場面との対置によって,被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童に気付かせたい。

 2011年に出版された中に,「被乗数と乗数の順序」を明記しているものがありました。中原忠男(編著)『新しい学びを拓く算数科授業の理論と実践』です。

 出現するのはp.113です。執筆者は清水紀宏で,日本文教出版平成27年度版『小学算数』の著作者に名前が載っています。

 乗法の数学的定義についても,集合の要素の数という観点からの定義と,順序という観点からの定義がある。
 算数科では,整数の乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かにあたる当たる大きさを求めるという場面で導入される。整数の世界では,その値を求めるためには,同数累加を行うことになる。つまり,乗法は同数累加の簡潔な表現として用いられることになる。この定義では,3×4=3+3+3+3,4×3=4+4+4となる。つまり,被乗数と乗数の順序に意味がある。また,交換法則(a×b=b×a)やa×(b+1)=a×b+aが成り立つことにも気づかせたい。例えば3×5の場合,3を5個足す代わりに,3を4個足したもの(3×4)に3を1個加えればよい。つまり,3×5=3×4+3となる。この性質を活用して1位数同士の乗法を考えていく(乗法九九の構成)。なお,平成20年改訂の学習指導要領においては,これらの乗法九九の構成の延長として,被乗数や乗数が12程度までの乗法を扱うこととなっている。

 「算数科では」から始まる段落は,新しい学習指導要領および解説の記述にも適合します。時系列としては,2008年(平成20年)に現行の『小学校学習指導要領解説算数編』が公開され,それをもとに『新しい学びを拓く算数科授業の理論と実践』で解説が入り,「意味がある」が「本質的な役割を果たしている」や「約束が必要である」に置き換えられて,2017年6月,新しい学習指導要領に基づく『小学校学習指導要領解説算数編』に記載された,という流れを見ることができます。
 ここの「被乗数と乗数の順序に意味がある」について,2種類の解釈ができます。一つは,「3×4=3+3+3+3であり,4×3=4+4+4なのだ」と,被乗数と乗数の順序に,意味が定められている,というものです。
 もう一つの解釈では,「に意味がある」を「は重要だ」と置き換えます。英語でぴったりの単語があり,自動詞のmatterです。授業事例が英文になっています。

  • Chapin, S. H., O'Connor, C. and Anderson, N. C.: Classroom Discussions―Using Math Talk to Help Students Learn, Grades K-6, Second Edition, Math Solutions (2009). isbn:1935099019

 その本のp.4には,先生が"Eddie says that order does matter"と言うシーンがあります。ただし乗法の交換法則の学習ということもあり,"the answer is the same no matter which number goes first."や"I don't think it matters what order the numbers are in."のように,否定語を含む文の中にも出現します。
 http://books.google.co.jp/books?id=2NX4I6mekq8C&pg=PA3より,授業の状況をかいつまんで説明します。かけられる数・かける数の順序を変えても同じ答えになるのはなぜかを討論していく中で,2つの意見が出ました。Eddieの意見は,2×5は「5つの袋にリンゴが2つずつ」,5×2は「5つの袋にリンゴが2つずつ」を表し,順序に意味があるという主張になります。それに対しTiffanyは,それら2つの場面は別だけれど,答え(リンゴの総数)は同じであり,順序は重要ではないと主張します。
 授業の背景として,乗法の交換法則について,児童らが理解を深めることを目的としていることのみならず,子どもたちのコミュニケーション(単に答えを出すだけでなく,考えを言ったり書いたりすること)を,NCTM(米国数学教師協議会)が教師らに要請している点が挙げられます。
 授業としては,2×5=5×2や,a×b=b×aといった関係式よりも,「2×5=5×2であるのはなぜか(説明できるか)」を重視しているものと読めます。その説明の手段として,2×5と5×2とで意味(場面)が異なることを活用しています。
 この授業から「かけ算の交換法則を学習したら,a×bでもb×aでもいいのだ」を引き出すわけにもいきません。実際,「どちらでもいい」と主張するTiffanyに対し,先生は"And Tiffany, are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?"(それでティファニーさん,2つの数式はそれぞれ,別の場面を表すのに使えないっていうの?)という質問を入れて確認しています。原文ではcan'tが斜体字になっています。「a×bでもb×aでもいい」は,先生の持つねらいでも,クラスで共有したい内容でもないことが伺えます。
 「2つの数式はそれぞれ,別の場面を表すのに使えない」について,文献を離れて検討してみます。
 「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 2こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という問題を考えます。算数のこれまでの知見に基づくなら,正解となる式は2×5=10です。
 ここで,式に「5×2=15」と書くのも正解とすることにしましょう。すると,以下の2つの命題を認めることになります。

  • 5枚の皿に2個ずつりんごがあるときの総数は,2×5で表される
  • 5枚の皿に2個ずつりんごがあるときの総数は,5×2で表される

 次に,「どの さらにも りんごが 5こずつ のって います。そのような さらが 2まい あります。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という問題を考えます。そうすると,次の2つの命題を真とすることになります。

  • 5個ずつ2枚の皿にりんごがあるときの総数は,5×2で表される
  • 5個ずつ2枚の皿にりんごがあるときの総数は,2×5で表される

 ここで「5×2」の式を含む命題に着目し,りんごや皿を取り払って整理すると,次の2つが得られます。

  • 5×2という式は,「5つずつが2つ」を表す
  • 5×2という式は,「2つずつが5つ」を表す

 さらに5や2といった具体的な値も,文字に置き換えて記述できますが,比較・検討にあたってはこの2つの命題で十分です。ここから言えるのは,《順序論争》の批判に賛成するなら,5×2という式が,「5つずつが2つ」と「2つずつが5つ」の両方の意味になってしまうことを,受け入れないといけないということです。
 それに対し私は,小学校の算数において,認める(真の)命題と認めない(偽の)命題は次のとおりとする立場に賛同します。

  • 「5×2という式は,「5つずつが2つ」を表す」は,認める
  • 「5×2という式は,「2つずつが5つ」を表す」は,認めない
  • 「2×5という式は,「2つずつが5つ」を表す」は,認める
  • 「2×5という式は,「5つずつが2つ」を表す」は,認めない

 これらは,次期の『小学校学習指導要領解説算数編』に記載された,「(略)という場面との対置によって,被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童に気付かせたい」「乗法による表現は(略)表現として簡潔性がある」と適合します。
 「対置」について,「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 2こずつ のって います」と「どの さらにも りんごが 5こずつ のって います。そのような さらが 2まい あります」のように,かけ算で表すための2つの数の出現順序は「5」「2」だけれど,期待される式は異なるという形で,東京書籍の算数教科書に先例があります。https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/text/shou/sansu/files/web_s_sansu_gakuryoku1.pdfより読めるのは,「えんぴつを 1人に 2本ずつ,5人に くばります」と「えんぴつを 2人に 5本ずつ くばります」です。

 上で,「数の意味をしっかり理解できていれば、必ずしも第2学年で学んだ順序で立式することを強制しなくてもよい」と引用した文と,関わりのある記述が,新しい『小学校学習指導要領解説算数編』に入っています。段数×4=周りの長さではその具体的な記述と,平成16年検定済み教科書,そして比較的最近の算数指導例を取り上げました。
 「段数×4=周りの長さ」という,言葉を含む式では,かけられる数の「段数」と,かけ算の答えとなる「周りの長さ」は,異なる種類(次元,単位)の数量となります。そういった数量でも式に表す活動が,今後,「C変化と関係」という領域のもと,取り入れられるわけです。

『小学校新学習指導要領の展開』に見る,L字型アレイの5つの式

  • 齊藤一弥(編著): 平成29年版 小学校新学習指導要領の展開 算数編, 明治図書出版 (2017).

平成29年版 小学校新学習指導要領の展開 算数編

平成29年版 小学校新学習指導要領の展開 算数編

 第2学年の乗法の解説は,pp.49-52より読むことができます。はじめの段落には,「一つ分の大きさ×幾つ分」という言葉の式も見られます。
 読者を試しているように思えたのは,p.49に書かれた,●の数の求め方です。以下の並びが,枠で囲まれています。

●●●   
●●●   
●●●●●●
●●●●●●

 これに対して,同じページの最下段では,5人が異なる式を立てて,いずれも「18」を得ています。原文では,これも枠で囲まれ,5人の求め方は横並びとなっていますが,以下では箇条書きにしました。

  • Aさん 3×6=18
  • Bさん 6×3=18
  • Cさん 2×9=18
  • Dさん 4×3=12 2×3=6 12+6=18
  • Eさん 6×4=24 3×2=6 24-6=18

 順に見ていきます。まず,AさんとBさんの式は,かけられる数とかける数を反対にしただけにも見えますが,どちらも「一つ分の大きさ×幾つ分」に基づいています。Aさんは,●●●の並びを一つ分とし,それが6つあると判断したわけです。それに対しBさんは,2行3列の●の並びを一つ分と見ており,それが3つある,と読み取れます。またCさんについては,●を縦に2個並べたものが,一つ分となっています。
 Dさんは,左3列と右3列に分けて求め,最後にたし算をしています。左3列の●は4×3,右3列の●は2×3より求めています。
 Eさんは,ひき算です。右上の空白部分にも,同様に●があると考えると,4行6列の●の並びとなります.そこから,実際にはない,2行3列分の●を取り除くわけです。ここまで「a行b列」という書き方をしてきましたが,長方形の面積の公式では,行数のaは縦の長さ,列数のbは横の長さへと,発展していきます。
 となると式は,「4×6=24 2×3=6 24-6=18」とすべきではないか,はじめの2つのかけ算は,行数×列数で書くべきでないかと,考えることもできます。ですがEさんのかけ算の式は,行数×列数,もしくは「長いほうの数×短いほうの数」となっています。
 しかしアレイの総数を求める際には,a×bと書いてもb×aと書いてもよい,行数×列数でも列数×行数でも,縦×横でも横×縦でもよいと,クラスで共有しておけば,Eさんのような式が出ても受け入れられ,「『4×6=24』『2×3=6』にしないといけないじゃないの?」と質問する子どもはいないだろうと想像できます。
 DさんとEさんの間に,解答者を差し挟んで,「4×6=24 2×3=6 24-6=18」という式にすることを,この本で採用しなかったのは,一つは紙面の都合であり,もう一つは「4×6=24 2×3=6 24-6=18」と「6×4=24 3×2=6 24-6=18」とを並べることの必要性が乏しいためと考えられます。AさんとBさんの式の比較には,意味があるということでもあります。


 「みかんが皿に乗った絵」の件は,別記事にしました(1皿に5個ずつ入ったみかんの,9皿または4皿の個数)。

立方体を斜めに切ると~『お母さんは勉強を教えないで』より

お母さんは勉強を教えないで PHP文庫

お母さんは勉強を教えないで PHP文庫

 文庫本はAmazonマーケットプレイスで1円から購入可能となっていましたが,Kindle版を購入して読み終えました。高校で国語教師を務めながら塾では数学を担当してきた経緯や,塾での英語指導の一端*1を,あとがきにて読むこととなりました。
 本文のわりとはじめのほう,数学の問題の一つで,立ち止まりました。

 高校生または中一の生徒に三次元の数学を教えていると、立体をイメージできない生徒がかならず出てくる。ある女子高生に、
「まずこれやってみて。小四の問題よ。立方体の斜線の切り口はどんな形でしょう? 頭で立体を想像してね」(図4)

f:id:takehikoMultiply:20171206042758j:plain
 問題は,「立方体アイウエ-カキクケの4点アキクエを結んでできる図形の名称を答えなさい」と書くことができます。
 図4のあとに,著者と生徒とのやりとりがあります。

「平行四辺形です」
 高校生でもこう答える人がいる。答えは長方形。図を見てだまされるようではだめだ。三次元空間の立体を頭でイメージできる能力が必要となる。(略)

 この問答を目にして,真っ先に思い浮かんだのは,「正方形は長方形」です。小学2年の,図形の弁別では,長方形はどれですかという問題に正方形を選ぶと,不正解になるという話です。正方形は長方形・まとめ (2014.11+) - わさっきで整理しています。当ブログで今年,「弁別」の語を取り入れた,書籍紹介の記事には,4×3の式になる問題,3×4の式になる問題があります。
 今回の図形では,「長方形は平行四辺形」に読み替えます。実際,アキクエは平行四辺形です。辺アキと辺エク,辺アエと辺キクはそれぞれ長さが等しいからです。向かい合った2組の辺の長さが等しい四角形が,平行四辺形であることは,小学校でも学習します。
 だからといって「平行四辺形」を正解とせず,「図を見てだまされるようではだめだ」と切り捨てているのは,興味深いところです*2。なお長方形である場合に,平行四辺形と言わないことについては,「一般の図形の集合から,条件が付加されて特殊な図形の集合が作られたとき,その特殊な図形の集合に名づけられた名称が,その図形の名称となるということである。例えば,長方形も正方形も平行四辺形の条件はもつが,平行四辺形とよばず,付加された条件でできた集合の名称を用いるのである。」(『算数教育指導用語辞典 第四版』p.45)という解説が知られています。
 四角形アキクエについて,向かい合った2組の辺の長さが等しく,したがって平行四辺形の要件を満たすことが分かったら,次に確認しておきたいのは,この四角形のどの角も,直角であることです。平行四辺形では1つの角が直角と示せれば,残りの角も直角と言えるので,図4の最も手前に見える角,∠キクエが直角となることを確かめます。
 直感的には直角であり,実際に立方体を用意して切断する(『お母さんは勉強を教えないで』では「キッチンで大根を切ってきて見せるしかない」とあります)のも,一つの手段ですが,なぜ直角なのかを言う(演繹的に推論する)には,中学1年で学ぶ空間図形の概念,その中でも「空間における直線と平面との位置関係」を,必要とします。
 現行の『中学校学習指導要領解説数学編』より,該当箇所を抜き出します。

 空間における直線と平面との位置関係には,直線が平面に含まれる場合,直線と平面とが交わる場合,直線と平面とが平行である場合がある。直線と平面とが交わる場合の中で,特に直線が平面に垂直な場合については,直線が平面に対してどの方向にも傾いていないこと,すなわち,直線が平面との交点を通るその平面上のすべての直線と垂直であることをいう必要がある。
 しかし「平面が交わる2直線によって決定される」ことを基にすれば,直線が2直線の交点において,その2直線に垂直であれば,その2直線によって決まる平面に垂直であることが分かる。つまり,直線が平面と垂直であるかどうかを調べるときには,平面上の交わる2直線に垂直であることを調べればよい。

 これを使うと,次のように説明できます。

  • 直線キクと,正方形ウクケエを含む平面(Pとする)との位置関係について,(イキクウが正方形であることより)キク⊥ウク,(カキクケが正方形であることより)キク⊥ケクである。「直線が2直線の交点において,その2直線に垂直であれば,その2直線によって決まる平面に垂直である」より,キク⊥Pである。
  • キク⊥Pであることと,「直線が平面との交点を通るその平面上のすべての直線と垂直である」より,キク⊥クエである。
  • したがって,∠キクエは直角であり,アキクエは長方形である。

 「直線が2直線の交点において,その2直線に垂直であれば,その2直線によって決まる平面に垂直である」の証明は,直線と平面の垂直・三垂線の定理より読むことができます.ただし,証明の中で「Hを通るα上の任意の直線n」のような「任意の」の使い方は,中学の論証の範囲を超えています.「図に示すような,Hを通るα上の直線n」に置き換えることで,h⊥nの証明は中学2年の範囲内となります。とはいうものの,「直線が2直線の交点において,その2直線に垂直であれば,その2直線によって決まる平面に垂直である」を中学1年で学ぶ段階では,「位置関係から分かること」や「角度を測れば,直角なのが分かる(帰納的な考え)」に限定されます。
 立方体の切り方を工夫すれば,長方形でない平行四辺形ができることについては,立方体の切断問題より見ることができます。立方体を{(x,y,z)|0≦x≦4, 0≦y≦4, 0≦z≦4}としたとき,(3,0,0),(4,4,0),(2,4,4),(1,0,4)の4点を結んでできる図形です。

*1:英語の指導法そのものは,本文でも書かれていたのですが,数学の問題例や,「空はどうして青いの?」「朝日や夕日はどうして赤いの?」に相当するような,英語の出題が,本文を読んでいて皆無だったのでした。

*2:岸本裕史『どの子も伸びる算数力』isbn:4093874603より読むことのできる,「小さな子が6人いました。どの子も三輪車に乗ってきています。車輪の数は,みんなでいくつあるでしょう」と尋ね,「6×3=18」の式を書いた子どもに「ひっかかったわね。落とし穴にはまったわ」とおどける件と,関連づけることもできます。

乗除の素地指導,何人に同じ数ずつ

算数教育の論争に学ぶ (授業への挑戦)

算数教育の論争に学ぶ (授業への挑戦)

 あるところで,この本のことを知り,Amazonマーケットプレイスで購入しました。目次を見ると,順九九か総九九か(第二話,第三話),乗法の意味指導(第五話)の中に「論争」の語が見られます。
 順九九とは,九九において2×3は学習するが,3×2は(2×3で求められるので)学習しない,という学び方です。同書p.34には「被乗数が乗数より小さいか,または被乗数と乗数が等しい」とあります。総九九は,被乗数が乗数よりも大きい場合も含めて学習する,いまの九九です。
 乗法の意味指導に関して,第五話のタイトルは「水道方式との「対話と論争」」となっています。筑波大学附属小学校所属という著者の立場は,累加と拡張です。一方,水道方式では内包量×外延量に基づいており,「4こ/さら×3さら」という式もp.88に見かけます。
 全体を読んだ限り,アレイに対応するような,2年で学べる〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉は出現しません。最も近いのは,p.96ですが,「右ノ方ノボタンノカズハ,左ノ方ノナンバイデスカ」という問題文とともに,5行1列のボタンと,5行6列のボタンが左右に並んでいるもので,一つ分の大きさが明確化されています。長方形の面積に関しては,
「求積公式」という語句がp.93ほかに見られます。
 一つ分の大きさまたは内包量は,常に乗算記号の左にあり,逆の場合は検討されていません。九九の話があるものの,『かけ算には順序があるのか』の参考文献には見当たりません。
 先頭から読み直していくと,「何人にいくつずつ」の文章題が,枠で囲まれていました(p.22)。
f:id:takehikoMultiply:20171205061211j:plain
 大問1を打ち出しておきます。

[1] こどもが 4にん います。
(1) ひとりに,びすけっとを 2こずつくばります。みんなで なんこ いるでしょう。
(2) ひとりに 3こずつ くばると,みんなで なんこ いるでしょう。

 1年生の算数の問題です。かけ算をすることなく,(1)は2+2+2+2=8で,(2)は3+3+3+3=12で,それぞれ求められます。(2)には図がないものの,(1)の2をすべて3に置き換えて計算する*1か,別途ノートなどで図にすれば,「12こ」なのが分かるわけです。
 著者は,1年でこの種の問題に取り組ませることに否定的です。枠の上には,以下のように書かれています。

 一方,乗除の方はどうか。
 乗除の正式な取り扱いは,乗法が2年で,除法が3年である。
 けれども,乗除の素地指導として,下記のような内容が1年生の教科書等で取り扱われているのはどうしたことか。これは,明らかに先ほどの学習指導要領の(3)に呼応する内容である。

 「学習指導要領の(3)」については,前のページに書かれていました。昭和52年度版を「現行の指導要領」とし,1年の数と計算の(3)は「具体的な事物について,まとめて数えたり等分したり,それを整理して表すことができるようにする。」となっています。
 枠のすぐ下から,2ページ先のページまで,著者はこの種の問題や,乗除の素地指導を,1年で扱うことに対し,強く否定しています。「現に,私は1年生を担当する度に,この内容を削除してきている」(p.24)とまであります。戻って,pp.22-23では「乗除の素地指導」が削除の傾向であること,また「素地」「素地指導」がはっきりした概念を規定できないことを述べています。
 現行(平成20年公示)と次期(平成29年公示)の小学校指導要領を見ると,それらの語はありませんが,学習指導要領解説のPDF版を検索すると,低学年のところで「素地」をよく見かけます。http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387014.htmよりダウンロードできる算数(2)では,「まとめて数えたり等分したりすること」の項目の最後の文に,「このように数をみることは,数についての感覚を豊かにし,乗法や除法を考える際の素地となり,自ら計算の仕方を考えていくことにつながっていく。」として,出現しています。
 かけ算を学習するより前の学年で,その素地となる学習をするというのは,米国Core Standard(http://www.corestandards.org/Math/Content/2/OA/)の"Work with equal groups of objects to gain foundations for multiplication."も該当します。このうち"foundation"が「素地」に対応します。日本と違うのは,学年(米国ではこの学習が2年,乗除は3年)のほか,素地指導の段階でアレイも扱っている点です。
 個人的には,1年で2+2+2+2=8や3+3+3+3=12などとして式を立て答えを求める学習に賛成です。1+3+5+3+1=13のような,数が同じでないようなたし算も,学んでいいと考えています。計算結果を,ブロックを使ったりノートに描いたりした数とを比較することも,大事なところです。そして3+3+3+…は式が長くなって分かりにくいし間違えやすいけれども,2年でかけ算を習ったら,もっと簡単に書けるし,答えもすぐに求められる,といった形で,さらなる学習が期待できます。
 かけ算の順序との関連についても,簡単に記しておきます。上記の大問1の(1)を解こうとするとき,「4にん」が先に,「2こずつ」が後に出現していますが,期待される式は,たし算なら4+4=8ではなく2+2+2+2=8*2,かけ算も4×2=8ではなく2×4=8です。この種の文章題を,1年で使用しているのは,現在の教科書では啓林館のみです。『算数教育の論争に学ぶ』では教科書会社が明示されていませんが,1980年代からあったことには驚きを覚えました。2x3? 3x2? どっちでもいい?~配る問題,かけ算の順序~の改訂をする際には,この本のことも書いていかないといけません。

*1:和は10を超えますが,「3+3=6 6+3=9 9+3=12」または「3+3=6 3+3=6 6+6=12」のいずれの計算の仕方も,1年の範囲内です。

*2:関連:isbn:9784180808335 p.66

アンチはじき

 教材研究は,学校教師でなくても行えます。目の前の,教科書や書籍の一節だけを読んで,不満を言ったり賞賛したりするのは,研究(あるいは検討)ではありません。関連情報を把握するとともに,自分の周りで今後どうなるかについて,思いを致したいところです。

 親視点のブログ記事です。「掛算の順序」の語も出てきて,算数教育に対するスタンスをうかがい知ることができます。
 ただ,2つの記事を読んだだけでも,算数を通してどんな出題がなされ,子どもたちが何を学んでいるかの認識には弱みがあるなと感じました。
 前者の記事で,「20km離れたところまで1時間に4kmずつの割合の速さで歩いていくと、何時間で着くかな?」に対し,小3の子どもでも暗算で「5時間」と答える事例を引いているところについて,対象とする数が「20」「4」と簡単すぎるため,当てずっぽうで(「割合」「速さ」の意味を理解しないまま)わり算をしたという可能性も否定できません*1
 後者の記事で,チャレンジタッチの画面例をもとに,「単位量あたり」を肯定的に捉えていますが,用語はさておきこの概念は小学校5年で学習します。また画面例には「きょり÷時間(秒)=1秒間に走ったきょり」という,言葉の式や,いわゆる二重数直線も出現していますが,これらは「いまの算数」のトレンドとも言えるもので,現行および次期の『小学校学習指導要領解説算数編』にも頻出しています。「はじき」に目を奪われ,これらの可否検討がなされていなかったのは,残念なところです。
 なお,次の学習指導要領に基づく小学校算数では,「速さ」を5年で学習します*2。『解説』の第6学年に書かれた,「ぼくは,5年生の時に学習した速さに関する式で,(長さ)=(速さ)×(時間)が比例するかどうかを調べました。〈略〉(長さ)と(速さ)が比例しているとも,(長さ)と(時間)が比例しているとも考えられます。」についても,何らかの形でこれから,教科書や授業に反映されることになります。
 上記ブログを離れ,「速さ」や「量」を伴う出題の例に,視点を移します。算数の「速さ」の学習を通じて,数量を適切に認識し,正解が導き出せるようになってほしいと期待されている問題の一つは,おそらく以下のものであると,個人的には認識しています。
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 東京都算数教育研究会(都算研)が平成27年度に実施した学力実態調査で,6年生の6万人以上が解答しています。原文と解説はhttp://tosanken.main.jp/data/H28/gakuryokuzittaityousa/h27jittaityousa_kousatu_6nen.pdf#page=2より読めます。
 2つの小問のうち,(1)は「はじき」で求められます。しかし,「道のりのちがいは、何kmになりますか。」と問う(2)は,「はじき」だけでは困難と言っていいでしょう。
 B列車の速さについて,「はじき」を適用して,時速140kmを得るまではいいのですが,その次に,2つの列車の「速さのちがい」または「1時間後の道のりのちがい」を求めればよいと気づくのは,「はじき」の範囲外なわけです。
 解説では,「時速を出して、その差を5倍」のほか,「5時間後に進んだ道のりの差」を求め方として挙げています。いきなり,5時間後に進んだ道のりは出せず,1時間後の道のりを算出するのが,自然な流れですので,解説では,「どちらの方法も」と,2つの求め方を統合した上で,「単位量当たり」というキーワードを提示しています。
 正答率は(1)で91%,(2)で77%です。「調査人員 64,398人」のうち,四捨五入を考慮して76.5%としても,正答者数は49,000人を超える計算になります。これだけの子どもが,速さの応用題に対して正解を得られるというのは,学校の算数を通じて,「速さといえば,はじき」「速さ=距離/時間」にとどまらない見方ができている,ということにならないでしょうか。
 解答にあたり式は不要とし,「時速」や「km」も印字済みで数を答えに書くだけの問題となっているのは,解答者数の多さに配慮したと考えられます。とはいえこの調査の外から,出題や分析を読む者にとっては,複数の解き方(strategies)を想起しながらそれらを比較できるようにも,なっておきたいものです。


 上で紹介した学力実態調査で,正解率が最低だったのは,大問5の「縦50cm、横60cm、高さ20cmの直方体の水槽があります。この水槽いっぱいに水を入れると、水は何L入るでしょうか。」です。これも式は不要で「L」は印字済みですが,「60」と書いた正答の割合は,48%です。過去問でさらに低かった出題には,「スーパーの買い物かごにぴったり入るものの体積」を,「380立方cm」「3800立方cm」「38000立方cm」から選ぶというのがあり(http://tosanken.main.jp/data/H21/H21jittaityousa.pdf#page=13),3択ですが正答率は14%です。
 自分が小学生だったときに,これらの問題を出されたら,リットルの換算は解けただろうけど,量の感覚*3を伴う買い物かごの問題は,間違えていただろうなとも思います。

もう一つ追記:僕らの名前を覚えてほしい「はじき」を知らない子供達さ - 小包中納言物語 - AS Loves Insects -では,ご自身の考えの「速さ=距離/時間」と,ツイートにある「a秒でbmなら、c秒でdm」とを対比させていますが,それらのとらえ方には先例があります。http://books.google.co.jp/books?id=Vyl42R9JV1oC&pg=PA189より読める中に,Schwartzをthree-place relation,Vergnaudをfour-place relationと対応づけています。それぞれ,「速さ=距離/時間」,「a秒でbmなら、c秒でdm」(の一つの文字を1にすること)が関連します。

(最終更新:2017-12-04 朝)

*1:当てずっぽうではなく,きちんと数量を認識しながら,答えを求められるかを問うなら,「22km離れたところまで1時間に4kmの速さで歩くと,何時間で着くかな?」とするのが一案です。22は4で割り切れませんが,あまりの2kmを,時速4kmで歩くと考えれば,30分と分かり,「答え 5時間30分」が得られます。

*2:適用は2020年度からですが,http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387780.htmより読むことのできる移行措置によると,2019年度にも,「速さ」を5年で学習し,かわりに「分数×整数」は学習しない(2020年度の6年生で学ぶ)ものとなっています。

*3:買い物かごの縦・横・高さは問題文に書かれておらず,日常生活をもとにおおよそのサイズを設定し,概算することが想定されています。概算を含む出題例は,メインブログのhttp://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140529/1401313148で紹介してきました。

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「5+4」とは,+5と+4

  • 齋田雅彦: 教え方のコツがわかる! “なぜ"に答える 小学校6年分の算数, ナツメ社 (2017).

教え方のコツがわかる! “なぜ

教え方のコツがわかる! “なぜ"に答える 小学校6年分の算数

 奥付によると,著者は「齋田算数理科教室」塾長とのこと。http://sansu-rika.com/が見つかりました。算数と理科に加えて「工作」があること,飲食自由・ノート非推奨で撮影推奨といった授業ルール,そして小4~小6は中学受験をしない子の方が多いなど,小学生向けの「塾」の既成概念を破っているように感じました。
 本の内容ですが,「3+2×4は、どうして20にならないの?」の項目(pp.36-38)に違和感を覚えました。この質問への答え(理由)については,p.36に赤字で,「かけ算やわり算の方が、たし算やひき算よりも強いので、先に計算しないといけない」とあり,42ページでは,「バラ売りの桃を3個と、2個パックの桃を4パック」を使って,3+2×4=5×4=20と計算することのおかしさを解説しています。これらは納得できます。
 違和感というのはp.37です。最初の段落を書き出します。

「5+4」とは、より正しく言うと、+5と+4のことを示しています。そして、+5と+4につながりはありません。同じように、「5-4」は、正しくは+5と-4のことを示しています。つまり、+5と-4につながりはありません。それぞれを入れ替えると、こうなります。

  +5+4  +5-4
  +4+5  -4+5

 原文では,本文中,入れ替えを行う式のいずれも,「+5」は緑で,「-4」は赤で,丸囲みされています。すぐ下には,男の子らしき顔の絵と,「中学生になってから習う項という考え方です。」と発言する,吹き出しがついています。
 中学以降に学んだことと,合いません。正負の数を意識するなら,「5+4」は「(+5)+(+4)」と書きます。この「(+5)」や「(+4)」が,項です。
 そして,5と4の前につけた+記号は,符号なのに対して,真ん中の+は,加法(たし算)を表す記号です。プログラミング*1ではそれぞれ,単項演算子・2項演算子として区別されます。
 このように表記することで,負の数を含めた交換法則により,(+5)+(+4)=(+4)+(+5)が成立します。交換して計算を行うまでの流れは,5+4=(+5)+(+4)=(+4)+(+5)=4+5=9と表せます。
 ひき算は,5-4=(+5)+(-4)=(-4)+(+5)=-4+5=1となります。最後の-4+5=1については,計算ではなく,例えば「数直線で-4のところから正の向きに5だけ進むと1に着く」ことにより求められます。
 かけ算とわり算からなる式についても同様です。同書のp.38では,12÷3÷4について「+12÷3÷4=+12÷4÷3」という式変形を行っていますが,かけ算(そして逆数と,乗法の単位元である1)を用いて,12÷3÷4=1×12×\frac13×\frac14と表すことにします。
 そうすると,乗法の交換法則より1×12×\frac13×\frac14=1×12×\frac14×\frac13が成立し,この右辺は12÷4÷3のことです。1×\frac13×12×\frac14や1×\frac14×\frac13×12といった式も得られ,それぞれ1÷3×12÷4,1÷4÷3÷12に対応づけられます。
 上記で「1×」が出現するのは,+5は「プラス5」という数を表すことにも,「5を加える」というオペレータとしても使用できるのに対し,「×12」はオペレータ(12をかける,または,12倍する)に限定されるためです。+数または-数を,常にオペレータと見なすなら,加法の単位元0を入れて,0+(+5)+(+4)や0+(-4)+(+5)と書くことにすれば,統一的に扱えます。


 「「0」も3の倍数に入るって本当?」(pp.49-50)のところで「「0」も、立派な3の倍数なんです。」「なるほど~。「0」も3の倍数に入るんだね。」と吹き出しにした直後,p.51では6と8の公倍数を求めるにあたり,6の倍数と8の倍数を小さい数から書き出すとなると,0が出現しないのには,しばらく唖然としました。ゼロ除算に関する,「正しくは、次のようになります。」(p.220)の2番目の式として書かれた,「5÷0=∞(無限大)」(同)のところもです。

*1:同書のp.221は「ちなみに、コンピュータプログラミングの世界でも、「0 Devide」(0でわるという意味)は、プログラムが異常終了してしまうので禁止されています。」で締めくくられています。えっと,「禁止」ではなく,ランタイムエラーとするなど,いまのプログラミング環境ではそれなりに対処がなされています。