「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という問題文で，式に表す前に図にするとしたら，例えば，次のようにすることが期待されます．
これを「囲い込みありのアレイ図」と呼びます．これに基づくと，“一つ分の大きさ”は3，“いくつ分”は5なので，式は3×5＝15となります．
それに対し，3×5＝15だけでなく，5×3＝15も正解とすべきだとする根拠として，次の図を挙げる人々がいます*1．
こちらは，「囲い込みなしのアレイ図」と呼ぶことにします．
さて今までは，問題文から図をつくるという流れを見てきましたが，ここで逆方向，すなわち図から問題文に戻せるのかというのを，検証してみたいと思います．
「囲い込みありのアレイ図」を起点にして，さらに同じ個数だけりんごを乗せる問題を作るとなると，もとの問題文になってくれます．
しかし，「囲い込みなしのアレイ図」からだと，もとの問題文のほかに，「さらが 3まい あります。1さらに りんごが 5こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」と，“一つ分の大きさ”と“いくつ分”を交換した問題文も，表せることになります．
以上のことは，“ならば”を使って次のように書くことができます．
- 問題文 ならば 囲い込みありのアレイ図
- 囲い込みありのアレイ図 ならば 問題文
- 問題文 ならば 囲い込みなしのアレイ図
- （「囲い込みなしのアレイ図 ならば 問題文」は言えない）
この関係は，式変形で安易に2乗してはいけない話を連想します．の計算で，
とおいて，両辺を2乗すると，
となります．ここから
を得て，
なんて答案に書くと，間違いです．
これは，両辺を2乗するところに問題があります．ならば
は，命題としては真だけれども，その逆，
ならば
と言うわけにはいかないわけです．
なお，“”は，現在読んでいる『フィンランド教育の批判的検討―学力の国際比較に異議あり!』のpp.60-63に入っている話を使わせていただきました．
（最終更新日時：Mon Jun 18 06:02:57 2012ごろ）
