かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

「被乗数と乗数の順序」について

 「被乗数と乗数の順序」を,算数教育(ネットの風評ではなく)の流れの中で理解するには,現行(2008年公開)およびこれから(2017年公開)の『小学校学習指導要領解説算数編』のあいだ,2011年に出版された『新しい学びを拓く算数科授業の理論と実践』を読んでおきたいところです。


 『小学校学習指導要領解説算数編』(平成29年6月)のPDFファイル*1を見ると,p.114に3回,「被乗数と乗数の順序」が出現します。段落は次のとおりです。

 ここで述べた被乗数と乗数の順序は,「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大きさを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方,乗法の計算の結果を求める場合には,交換法則を必要に応じて活用し,被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。*2

 式を読み取る指導に際しては,例えば,3×5の式から,「プリンが3個ずつ入ったパックが5パックあります。プリンは全部で何個ありますか。」という問題をつくることができる。このとき,上で述べた被乗数と乗数の順序が,この場面の表現において本質的な役割を果たしていることに注意が必要である。「プリンが5個ずつ入ったパックが3パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」という場面との対置によって,被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童に気付かせたい。

 Googleで"被乗数と乗数の順序"を検索したところ,2014年に,別々の3つのところで,使われているのが確認できました。

その2. 《被乗数と乗数の順序
次に見ておきたいのは,かけ算の式を「かけられる数×かける数」で表すか,「かける数×かけられる数」で表すかです.
この場合,かけ算の答えと同じ種類の量になるほうを「かけられる数(被乗数)」,他方を「かける数(乗数)」とします.なお,面積を含む「量の積」や,アレイの計数は,対象外となります.
メールで「3コマ×5人=15コマ」と書いて送れば,「3(コマ)」がかけられる数,「5(人)」がかける数です.あるレシートに「17個 X 単105」と打たれていれば,「17(個)」はかける数,「単105」は単価が105円とみなし,これがかけられる数となります.
これに由来する順序を,《被乗数と乗数の順序》と呼ぶことにします.

Description 日本語: かけ算の順序に関して、,乗数と被乗数の順序が加算減算と異なることの説明

(3)被乗数4×乗数3=被乗数3×乗数4
これが、文科省の理解であった。
 被乗数と乗数の区別について、×の左を被乗数、右を乗数とするのは、明治時代に西洋から教わったときの西洋の主流の理解がそうだったからであり、現在の西洋の主流は逆になっても、日本では教わったときの順序を守っているわけである。
 つまり、数字4と3の順序は入れ替わっても、被乗数と乗数の順序は入れ替わらないのである。

 2014年の上記の3件は,依拠するものが異なっています。最初と最後のブログ記事は,それぞれ本文中に書かれています。2番目のgifですが,状況としてはwikipedia:かけ算の順序問題に追加するための画像を試作し,日の目を見なかったと思われます。
 もう少し補足すると,英文的演算では「2×」が左に来ることについては,古くから指摘があり,1968年のhttp://ci.nii.ac.jp/naid/110003849391の文献のほか,『算数・数学教育つれづれ草』*3p.46に書かれている,「5円の品3個の代金の立式は,3×5ではダメなのか」の論争が,昭和40年(1965年)ごろに湧き起こったこととも関連します。
 ここまで『小学校学習指導要領解説算数編』を含め,ネットで読める情報ばかりでした。ですが,2011年に出版された中にも,「被乗数と乗数の順序」を明記しているものがありました。

 出現するのはp.113です。

 乗法の数学的定義についても,集合の要素の数という観点からの定義と,順序という観点からの定義がある。
 算数科では,整数の乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かにあたる当たる大きさを求めるという場面で導入される。整数の世界では,その値を求めるためには,同数累加を行うことになる。つまり,乗法は同数累加の簡潔な表現として用いられることになる。この定義では,3×4=3+3+3+3,4×3=4+4+4となる。つまり,被乗数と乗数の順序に意味がある。また,交換法則(a×b=b×a)やa×(b+1)=a×b+aが成り立つことにも気づかせたい。例えば3×5の場合,3を5個足す代わりに,3を4個足したもの(3×4)に3を1個加えればよい。つまり,3×5=3×4+3となる。この性質を活用して1位数同士の乗法を考えていく(乗法九九の構成)。なお,平成20年改訂の学習指導要領においては,これらの乗法九九の構成の延長として,被乗数や乗数が12程度までの乗法を扱うこととなっている。

 ここの「被乗数と乗数の順序に意味がある」について,2種類の解釈ができます。一つは,「3×4=3+3+3+3であり,4×3=4+4+4なのだ」と,被乗数と乗数の順序に,意味が定められている,というものです。
 もう一つの解釈では,「に意味がある」を「は重要だ」と置き換えます.英語でぴったりの単語があり,自動詞のmatterです。http://books.google.co.jp/books?id=2NX4I6mekq8C&pg=PA3より読める授業で,先生が"Eddie says that order does matter"と言うシーンがあります*4
 「意味」はともあれ,上記の「算数科では」から始まる段落は,新しい学習指導要領および解説の記述にも適合します。時系列としては,2008年に現行の『小学校学習指導要領解説算数編』が公開・発行され,それをもとに『新しい学びを拓く算数科授業の理論と実践』で解説がなされ,「意味がある」が「本質的な役割を果たしている」や「約束が必要である」に置き換えられて,2017年6月,新しい学習指導要領に基づく『小学校学習指導要領解説算数編』に記載された,という流れを見ることができます。
 なお,上記引用を含む第6章第1節の執筆者は清水紀宏氏です。福岡教育大学教授で,日本文教出版平成27年度版『小学算数』の著作者にも,名前が載っています。
 「順序」の言葉は出現しませんが,次の本も見ておきます。

「小学算術」の研究

「小学算術」の研究

 著者の高木佐加枝は,昭和10年からの「緑表紙教科書」の編纂に携わった人です.「緑表紙教科書」では,九九の学習をそれまでの乗数先唱(3×4=12は「しさんじゅうに」)から被乗数先唱(3×4=12は「さんしじゅうに」)に改めました。その根拠が,『「小学算術」の研究』pp.246-247に記されていました。

a. 各段の九九を被乗数を一定にして纏めることにすると,この一定な数を冒頭に呼ぶ方が都合がよい。筆算の掛算では,乗数先唱を本体とするが,これは後に指導することで,九九構成の最初においては,被乗数先唱で九九を覚えさせることが,児童心理に叶っている。
b. 国語は,「5円の色紙を8枚」「3を4倍する」というように,被乗数を先にする言い方である.
c. 式に表す場合も 5円×8 というように,被乗数を先に書くのを常とするから,被乗数先唱の方が都合がよい。

 最後の項目の「5円×8」も興味深いところです。「5円×8枚」ではありませんし,積は40円です。とはいえ今の算数では,式に単位を付けず,「5円の切手を8まい買いました。ぜんぶでいくらですか」という文章題には,式は5×8=40,答えは40円と書くことが期待されます。

*1:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387014.htm

*2:第1文は,結城浩プログラマの数学』でかかれた図(http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20150128/1422391025)を使うと,「別世界の問題へ変換する」に関するもので,第2文は「別世界で解く」です。交換法則が立式の段階で適用できないのは,それぞれのステップで使えるものが異なるからと言えます。

*3:isbn:9784491026183

*4:ただし乗法の交換法則の学習ということもあり,"the answer is the same no matter which number goes first."や"I don't think it matters what order the numbers are in."のように,否定語を含む文の中にも出現します。私訳はhttp://d.hatena.ne.jp/takehikom/20150822/1440184614をご覧ください。