「数学の公式では円周の長さは2πrである。賢い子供なら、すでに公式を知っていて、それに従い「2×3.14×3」と書いてもおかしくない」（円の円周を，円周率を使った式で表す）から，話を始めます。小学5年の算数で，「半径3cmの円の円周の長さを求めなさい」という問題に対し，「2×3.14×3＝18.84 答え18.84cm」と，式と答えを書く子がいたとします。どうしてその式になるのと先生が尋ねたときに，l＝2πrだからと言う説明で，先生が，またはクラスの子どもたちが，納得してくれるのかは，分かりません。
なぜ2πrであるのか，言い換えると，なぜ2πrと表せるのかというと，中学1年で学習する，「文字を用いた式」を使うことになります。現行の『中学校学習指導要領解説数学編』では「文字を用いて数量の関係や法則などを式に表現するとき，乗法の記号×は，文字と文字の間や，数と文字の間では普通は省略し，除法の記号÷は，特に必要な場合のほかは*1，それを用いないで分数の形で表すことを学習する。」と書かれています。このルールにより，円周＝半径×2×円周率という言葉の式（小学校で期待される式）について，円周をl，半径をr，円周率をπの文字で表したとき，l＝2πr（中学校で期待される式）が得られるという次第です。なお，かけ算の式の小中連携に関しては，4a+3bの3例で事例を紹介しています。
「円周＝半径×2×円周率」を直接用いることなく，l＝2πr，または「円周＝2×円周率×半径」を得ることも可能です。対応表を作ります*2。2行で構成し，上の行は半径，下の行は円周です。具体的に半径1cm，2cm，…，の円を描いて，それぞれの周の長さを測定し，次の表を得たとします。
| 半径(cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 10 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 円周(cm) | 6.28 | 12.57 | 18.85 | 25.13 | … | 62.83 | … |
どの列も，円周÷半径が6.28に近い値となります。商一定ならば，これらの量は比例の関係にあることを意味し，この商が比例定数となって，円周＝6.28×半径となります。半径をx，円周をyとすれば，y＝6.28×xです。
もちろんこの6.28は，円周率の2倍のことです。ともあれ，関係を表す式としては「y＝6.28×x」にとどめておき，この6.28は中学校では2πと書くんだ，かけ算の記号も書かないんだとまで言えば，最終的に「y＝2πx」という等式に至ります。
小学校の算数の考え方で*3，2πrと同等の式を導けるわけですが，実際に小学校でこのような学習をしているわけではありません。学習に使用されているのは，「半径と円周」ではなく「直径と円周」の関係です。その場合でも2行の表にすれば，商一定なのが分かりますが，これは「円周の直径に対する割合（がどの円でも同じ値になること）」を意味し，「円周率」の導入へとつながるわけです。
また別の観点で，小学校ではなぜ「円周＝半径×2×円周率」であって「円周＝2×円周率×半径」は採用されないのかを，書いておきます。上に示した，2行の対応表について，上下どちらも単位がcmで，同種の量となっています。この場合，「もとにする量×割合＝比べる量」の関係式で表現できます*4。円周÷半径＝（円周率の2倍）であり，（円周率の2倍）が割合に対応します。半径を「もとにする量」，円周を「比べる量」にそれぞれ，対応づければ，「半径×（円周率の2倍）＝円周」になるという次第です。
それに対し，「円周＝2×円周率×半径」と書いてみたとき，「×半径」が何をするかけ算なのか，（比例の式を学習していない）小学生向けの解釈は思いつきません。
これは8×3を，表から見つけるで紹介した事例と，対比をなしています。図3は以下の通りでした。
| はんの数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 人数 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
この場合，「3×はんの数＝人数」という式が期待されます。3は，1つの班の人数を表します。5年の「乗法の意味の拡張」（子どもたちがこの用語を学習するかどうかはさておき）にもとづくと，「×はんの数」は，人数そのものをかけるのではなく，3人の班が1つだけなら3人，n班なら3人のn倍，と解釈することになります。
この「はんの数」と「人数」の関係では，「はんの数×3＝人数」と表現することに難点があります。2年では指導されておらず，4年の「伴って変わる二つの数量」が必要となります。2つの量が異なる種類の量であり，半径または直径と円周との対応表との相違点となっています。
*1:次期の解説では，「のほかは」は「を除き」に変更されています。
*2:現行の『中学校学習指導要領解説数学編』のPDFで「π」を検索すると，「例えば，比例に関して，半径がrで周の長さがlの円について，「半径を2倍，3倍，…にすると，周の長さはどのように変化するか」を考えるためには，具体的な数で計算して調べることをしなくても，l＝2πrという式の意味を読み取って簡単に説明すことができる。」が見つかります。次期の解説にも同趣旨の文があります。
*3:ただし「比例」は6年で学習します。円周率や円周は5年です。
*4:「もとにする量」「比べる量」の用語はhttp://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/05/page5_23.htmlによります。『小学校学習指導要領解説算数編』ではそれぞれ「基準にする大きさ」「割合に当たる大きさ」と書かれています。B×p＝Aと表した場合には，Bはbase，pはproportion，Aはamountの頭文字となります。
