かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

あまりのあるわり算で,九九のどの段を使えば能率的に求めることができるか

 もし、「21÷7の答えは、何のだんの九九を使ってもとめればよいですか」に「3のだん」と答えるのなら、「23÷6の答えは、何のだんの九九を使ってもとめればよいですか」には何と答えるのでしょうか。


 3年で学習するわり算の話です。48÷6=8のような,割り切れる場合のほか,13÷4=3あまり1のような,割り切れない場合も,この学年で学習します。
 わり算はかけ算と密接な関係があります。被除数・除数・商のいずれも整数で,簡単な場合には,商は九九を使用して求められます。48÷6については,6×8=48を用いて,商は8と言うことができます。13÷4を求めようとすると,13は九九の表に出現しませんが,4の段の答えのうち,13以下で最も大きい数である,12に着目すると,4×3=12により商は3,そして13-12=1であまりは1となります。
 これらについて,8×6=48や,3×4+1=13と,式に表してみると,「48÷6を求めるには,8の段を使っても求められる」「13÷4には3の段でもいい」といった主張が可能なように見えます。
 ここまでに関連して,最近出たhttps://twitter.com/sekibunnteisuu/status/1025284205918351361https://twitter.com/flute23432/status/1025400009435410433のツイート(前後も)を読み*1,自分なりに情報収集をしてみました。
 少し検索して見つかったのが,平成16年の学習指導案http://www1.iwate-ed.jp/db/db2/sid_data/es/sansu/e05sa034.pdfです。本時の問題は「色紙が23まいあります。1人に6まいずつ分けると、何人に分けられますか。また、何まいあまりますか。」です。
 とはいえこの授業で,何の段を使えばよいかといった問い方は,なされていません。そして「23÷6=3あまり5」をもとに,「23÷3=6あまり5」としたり,九九の3の段を参照して「3の段(を使えば求められる)」と言ったりするわけにも,いきません。3の段で,積が23以下で最も大きい数は,(3×6=)18ではなく,(3×7=)21だからです。
 最終ページには,「23÷6=3あまり5」に対するたしかめの式として,「6×3+5=23」が書かれていますが,これで6の段を使っているというよりは,1人に6まいずつ分けると,3人に分けられて5まいあまるのを,一つの式にした,と見ることもできます。これについては後述します。
 次に『小学校学習指導要領解説算数編』を読み直したところ、次期のhttp://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2018/05/07/1387017_4_3.pdf#page=74に「12÷3の計算が3の段の乗法九九を用いて能率的に求めることができる」が入っています。この記述は,現行と一つ前の解説には見当たりません*2
 この件,教科書に載せて授業で指導していきなさいというよりはむしろ,変わり方の「段数×4=周りの長さ」や,小数の乗法・除法における二重数直線などと同様に,授業事例や教科書が先行し,学習指導要領解説がそれに追随したものと思われます。
 あまりのあるわり算に関しては,「除数と商が1位数の場合」として「48÷6や13÷4など,乗法九九を1回用いて商を求めることができる計算である」が,次期・現行・一つ前の解説に共通して現れます。いずれも,何の段を用いるかの記載はありません。
 除数と商が1位数の場合に,「A÷Bの計算がBの段の乗法九九を用いて能率的に求めることができる」というのは,あまりのある(AがBで割り切れない)場合にもそのまま利用可能となります。それに対し,「A÷Bの商」の段の乗法九九を用いるのでは,わり算(または「A=B×商」という関係式)が入る分,能率的ではありませんし,その上,あまりのある場合には適用できなくなるケースがある,と言うこともできます。

補足1:「23÷6」のような式は何通りあるか

 「23÷6」と同じように,九九の「商」の段の使おうとすると,うまく行かない場合を,Rubyワンライナーで求めてみました。被除数をa,除数をb,商をq,あまりをrとし,bもqも2以上9以下とします。この場合,「うまく行かない場合」は,q≦r≦b-1という不等式で表せます。そしてa=bq+rの式により,b,q,rの値に応じたaの値が算出できます。
 実行コマンドは「ruby -e '2.upto(9){|b|2.upto(9){|q|q.upto(b-1){|r|a=b*q+r;puts "#{a}÷#{b}=#{q}あまり#{r}(NG:#{a}÷#{q}=#{b}あまり#{r})"}}}'」で,出力は以下の84通りとなりました。

8÷3=2あまり2(NG:8÷2=3あまり2)
10÷4=2あまり2(NG:10÷2=4あまり2)
11÷4=2あまり3(NG:11÷2=4あまり3)
15÷4=3あまり3(NG:15÷3=4あまり3)
12÷5=2あまり2(NG:12÷2=5あまり2)
13÷5=2あまり3(NG:13÷2=5あまり3)
14÷5=2あまり4(NG:14÷2=5あまり4)
18÷5=3あまり3(NG:18÷3=5あまり3)
19÷5=3あまり4(NG:19÷3=5あまり4)
24÷5=4あまり4(NG:24÷4=5あまり4)
14÷6=2あまり2(NG:14÷2=6あまり2)
15÷6=2あまり3(NG:15÷2=6あまり3)
16÷6=2あまり4(NG:16÷2=6あまり4)
17÷6=2あまり5(NG:17÷2=6あまり5)
21÷6=3あまり3(NG:21÷3=6あまり3)
22÷6=3あまり4(NG:22÷3=6あまり4)
23÷6=3あまり5(NG:23÷3=6あまり5)
28÷6=4あまり4(NG:28÷4=6あまり4)
29÷6=4あまり5(NG:29÷4=6あまり5)
35÷6=5あまり5(NG:35÷5=6あまり5)
16÷7=2あまり2(NG:16÷2=7あまり2)
17÷7=2あまり3(NG:17÷2=7あまり3)
18÷7=2あまり4(NG:18÷2=7あまり4)
19÷7=2あまり5(NG:19÷2=7あまり5)
20÷7=2あまり6(NG:20÷2=7あまり6)
24÷7=3あまり3(NG:24÷3=7あまり3)
25÷7=3あまり4(NG:25÷3=7あまり4)
26÷7=3あまり5(NG:26÷3=7あまり5)
27÷7=3あまり6(NG:27÷3=7あまり6)
32÷7=4あまり4(NG:32÷4=7あまり4)
33÷7=4あまり5(NG:33÷4=7あまり5)
34÷7=4あまり6(NG:34÷4=7あまり6)
40÷7=5あまり5(NG:40÷5=7あまり5)
41÷7=5あまり6(NG:41÷5=7あまり6)
48÷7=6あまり6(NG:48÷6=7あまり6)
18÷8=2あまり2(NG:18÷2=8あまり2)
19÷8=2あまり3(NG:19÷2=8あまり3)
20÷8=2あまり4(NG:20÷2=8あまり4)
21÷8=2あまり5(NG:21÷2=8あまり5)
22÷8=2あまり6(NG:22÷2=8あまり6)
23÷8=2あまり7(NG:23÷2=8あまり7)
27÷8=3あまり3(NG:27÷3=8あまり3)
28÷8=3あまり4(NG:28÷3=8あまり4)
29÷8=3あまり5(NG:29÷3=8あまり5)
30÷8=3あまり6(NG:30÷3=8あまり6)
31÷8=3あまり7(NG:31÷3=8あまり7)
36÷8=4あまり4(NG:36÷4=8あまり4)
37÷8=4あまり5(NG:37÷4=8あまり5)
38÷8=4あまり6(NG:38÷4=8あまり6)
39÷8=4あまり7(NG:39÷4=8あまり7)
45÷8=5あまり5(NG:45÷5=8あまり5)
46÷8=5あまり6(NG:46÷5=8あまり6)
47÷8=5あまり7(NG:47÷5=8あまり7)
54÷8=6あまり6(NG:54÷6=8あまり6)
55÷8=6あまり7(NG:55÷6=8あまり7)
63÷8=7あまり7(NG:63÷7=8あまり7)
20÷9=2あまり2(NG:20÷2=9あまり2)
21÷9=2あまり3(NG:21÷2=9あまり3)
22÷9=2あまり4(NG:22÷2=9あまり4)
23÷9=2あまり5(NG:23÷2=9あまり5)
24÷9=2あまり6(NG:24÷2=9あまり6)
25÷9=2あまり7(NG:25÷2=9あまり7)
26÷9=2あまり8(NG:26÷2=9あまり8)
30÷9=3あまり3(NG:30÷3=9あまり3)
31÷9=3あまり4(NG:31÷3=9あまり4)
32÷9=3あまり5(NG:32÷3=9あまり5)
33÷9=3あまり6(NG:33÷3=9あまり6)
34÷9=3あまり7(NG:34÷3=9あまり7)
35÷9=3あまり8(NG:35÷3=9あまり8)
40÷9=4あまり4(NG:40÷4=9あまり4)
41÷9=4あまり5(NG:41÷4=9あまり5)
42÷9=4あまり6(NG:42÷4=9あまり6)
43÷9=4あまり7(NG:43÷4=9あまり7)
44÷9=4あまり8(NG:44÷4=9あまり8)
50÷9=5あまり5(NG:50÷5=9あまり5)
51÷9=5あまり6(NG:51÷5=9あまり6)
52÷9=5あまり7(NG:52÷5=9あまり7)
53÷9=5あまり8(NG:53÷5=9あまり8)
60÷9=6あまり6(NG:60÷6=9あまり6)
61÷9=6あまり7(NG:61÷6=9あまり7)
62÷9=6あまり8(NG:62÷6=9あまり8)
70÷9=7あまり7(NG:70÷7=9あまり7)
71÷9=7あまり8(NG:71÷7=9あまり8)
80÷9=8あまり8(NG:80÷8=9あまり8)

 被除数で並べ替えてみると,「23÷」から始まるものは,「23÷6=3あまり5」「23÷8=2あまり7」「23÷9=2あまり5」の3通りがあります*3。「18÷」と「24÷」までについて,それぞれ3通りの式が得られます。

補足2:あまりのある包含除・等分除とかけ算の順序

 平成16年の学習指導案におけるたしかめの式「6×3+5=23」について,かけ算の順序と関連する話があるので,以下で整理しておきます。
 「6×3+5=23」の式については,3要素2段階の場面*4と見なして立てたというほか,「(除数)×(商)+(あまり)=(被除数)」に当てはめて、たしかめをしたと考えることもできます。なお,(解説のつかない)学習指導要領に書かれている関係式は,http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syo/san.htm#4gakunenより見ることができ,「(被除数)=(除数)×(商)+(余り)」となっています。
 ともあれ包含除の場合,それら2通りの考え方で,式が一致します。
 それに対し,「色紙が23枚あります。6人に同じ数ずつ分けると,何人に分けられますか。また,何まいあまりますか」という,あまりのある等分除を考えてみると,わり算の式は23÷6=3あまり5で変わらないのですが,たしかめの式は,6×3+5=23だけでなく,3要素2段階の場面とすると,3×6+5=23も認めてよいのではとなります。
 包含除だから1通りで等分除になると2通りになるのは,「(除数)×(商)+(あまり)=(被除数)」を採用していることも,影響しています。代わりに「(商)×(除数)+(あまり)=(被除数)」を採用すれば,(あまりのある)等分除に対応する,かけ算・たし算の式が1通りで,包含除のほうが2通りとなります。
 「(除数)×(商)+(あまり)=(被除数)」あるいは「(被除数)=(除数)×(商)+(余り)」あるいはa=bq+rでも,「(被除数)=(商)×(除数)+(余り)」あるいは「(商)×(除数)+(あまり)=(被除数)」あるいはa=bq+rでも,よいのではないかとすると,包含除・等分除を問わず,2通りの式が得られます。

*1:歴史的にはhttps://twitter.com/vecchio_ciao/status/466752273163362304https://twitter.com/genkuroki/status/819064167361458177も重要と思われます。

*2:「能率的」という語に関しては,現行および次期の(解説のつかない)小学校学習指導要領の算数で,各学年の目標および内容のあと,「指導内容の作成と内容の取扱い」の中に,出現します。解説のPDFファイルで機械的に検索すると,次期のほうが「能率的」の出現回数が多くなっています。

*3:「23÷7=3あまり2」については,3×7=21と23-21=2でも,うまく行くため,除外されます。

*4:http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/03/page3_05.html