かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

かけ算の構造その1:かけられる数とかける数に着目すると

例えば「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」に対して「5×3=15」としたら,「5個ずつ3皿」や「5枚×3で15枚になる」といった読み取り方を,挙げることができるのです。

順序の強制か,意味の理解か

 図にしてみました。
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 ただし表にすることは,主眼ではありません.二重数直線や,「1:3=5:15」といった比(比例式)に置き換えても,同じように表現することができます。それから,問題文に「1」があるから,表に1を書いた,というわけでもありません。「3人に5個ずつ」や「6人のグループがちょうど5つできました」といった,「1」が明示されていない場面でも,「1人に5個」「1つのグループは6人」と書くことができ,1が内在しているのです。
 この図を通して見ることのできる「かけ算の構造」は,次のとおりです。かけられる数と,かけ算の答えは,同じ種類の数量(ここではりんごの個数)です。かける数について,(正解となる式の)「5」は,「さらが 5まい」の意味を離れ,「皿の数が1枚から5枚になること」を意味し,「5つ分(5倍,×5)」になる,というわけです。
 単位を添えて書くと,明確になります。正解の「3×5=15と書いたら…」については,「3こ×5=15こ」です。「5×3=15と書いたら…(その1)」は「5こ×3=15こ」,「5×3=15と書いたら…(その2)」は「5まい×3=15まい」と表すことができまして,いずれも,左上の画像(問題として書かれた場面)に合っていないというわけです。
 「さらが 5まい」が,「5つ分(5倍,×5)」になるのは,この文脈では,皿の枚数とりんごの個数が比例関係にあるためです。皿の数が2倍,3倍,…になれば,それに応じて,りんごの数も2倍,3倍,…になる,という関係です。比例関係や倍概念を学習していない段階であっても,図にすることで,「5枚の皿に3個ずつ」と「3枚の皿に5個ずつ」が描き分けられますし,「かける数が1ふえると,かけ算の答えはかけられる数だけふえます」というのは,2年のかけ算の単元を通じて学習します。
 ここまでについて,出典を書いておきます。「さらが 5まい あります」から始まる画像と不正解への批判は,2010年11月にまとめられたかけ算の5×3と3×5って違うの? - Togetterより見ることができます。「5×3=15と書いたら…(その1)」と「5×3=15と書いたら…(その2)」は,かけ算の順序論争について(日本語版) - わさっきのB-3とB-4にそれぞれ対応し,そこでのA-4については別記事で取り上げます。かける数が,与えられた場面では「5まい」のように単位を伴う(純粋な数ではなく,具体的な量を表す)のに,かけ算にすると「5倍」に読み替えられることについては,Vergnaudが1983年と1988年,異なる編著の書籍に「Multiplicative Structures」という章題(日本語に訳せば「かけ算の構造」です)で書いた,構造の一つ*1のほか,中島健三『算数・数学教育と数学的な考え方』に出現する「かけ算の本質(構造)」*2が密接に関係し,(日本の)算数では5年の,かける数が小数になる際の「乗法の意味の拡張」を学習する段階で,より意識することとなります。表にすることで違いを把握するという,2年生を対象とした授業事例については,『数学教育学の礎と創造―藤井斉亮先生ご退職記念論文集―』という本に載っており,8×3を,表から見つけるで紹介しています。