かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

トランプ配りの乗法への適用~書籍から

以下の画像は,トランプ配りをすれば「5×3=15」になることを示したGIFアニメーションである.

かけ算の順序論争について(日本語版)

2×3? 3×2? どっちでもいい? ~配る問題,かけ算の順序~

「一つ分の大きさ×いくつ分=全体の大きさ」に立ち返ります.この式(乗法)と,包含除・等分除に対して,トランプ配りを用いて視覚化・手順化を試みている事例が豊富にあります.そこで以下のとおり,名称をつけておきます.

  • トランプ配りの乗法への適用:トランプを配る操作により,「一つ分の大きさ×いくつ分=全体の大きさ」を視覚化・手順化すること
  • トランプ配りの包含除への適用:トランプを配る操作により,「全体の大きさ÷一つ分の大きさ=いくつ分」を視覚化・手順化すること
  • トランプ配りの等分除への適用:トランプを配る操作により,「全体の大きさ÷いくつ分=一つ分の大きさ」を視覚化・手順化すること

文脈から明らかなときは「トランプ配りの」を取り除きます.この3種類の中で,事例として最も多いのは,等分除への適用です.しかし乗法への適用,包含除への適用についても,見るべき記述があります.

わり算,包含除・等分除,トランプ配り (2016.05)

 以下では,「トランプ配りの乗法への適用」を記した書籍を取り上げ,該当箇所を紹介します。

矢野健太郎『おかしなおかしな数学者たち』(1984年)

おかしなおかしな数学者たち (新潮文庫)

おかしなおかしな数学者たち (新潮文庫)

 もう大分前のことになると思うが、あるとき私の所へ、名古屋から電話がかかってきた。そしてその電話の主はつぎの話を私にした。
「名古屋のある小学校で、算数の試験につぎの問題が出た。
 ミカンを4つずつ6人の人に配りたいと思う。ミカンは全部でいくつあればよいか。
 この問題に対して、大部分の子どもは、
   4×6=24
 個と答えたが、なかに一人、
   6×4=24
 と答えた子があったが、先生はこれを0点にしてしまった。
(p.119)

 しかし、1人に4つずつのミカンを6人に配るのにつぎのような方法もある。
まずミカンを1個ずつ6人全部に配る。つぎにまたミカン1個ずつを6人全部に配る。このことを4回くり返せば、ミカンを1人に4個ずつ、6人の人に配ったことになる。このことを図にかいてみると左のようになる。
(図省略)
 もしこう考えたとすれば、1人に4個ずつ6人の人に配るのに必要なミカンの個数は、6のかたまりが4つあることから、
   6×4=24
 と答えるのが自然ということになるであろう。
(pp.122-123)

坪田耕三『おもしろ発見!九九の授業づくり』(1994年)

問題①

子どもが6人います。
それぞれの子どもに5本ずつえんぴつをくばります。
えんぴつは,ぜんぶで何本いりますか。

(略)
「①は,6×5となるよ。」
「そうじゃあないよ。これは5×6だよ。」
 2つの式が出てきてしまった。そこで,この2つの式について,両者の意見を言わせる。
 まずは前者の立場の子どもの意見である。
「はじめに『6』が出ているから,数の順に式にしたんです。」
「5×6の式にすると,問題の文と違ってしまいます。」
「6人というのは,配る鉛筆の数にみてもいいんじゃないですか。」
 はじめの2人は,問題文に出てくる数字の順に式に表すのがいいと思っているのである。
 3番目の意見は,好意的に解釈すれば,6人の子どもに1本ずつ配って1回目を終え,続いて同じように6本を2回目,さらに6本を3回目……と続けて,5回繰り返すと考えるならば,6が5回分ということになる。
 しかし,この子どもの考えは,これだけの言葉の表現では,他の子どもには説得力はなかった。
 続いて,こんどは5×6の意見の発表である。(以下略)
(pp.40-42)

小原豊『授業に役立つ算数教科書の数学的背景』(2013年)

授業に役立つ算数教科書の数学的背景

授業に役立つ算数教科書の数学的背景

 第2に,既習内容や発展内容に高い見通しをもつことで,子どもの問題解決上の気づきをより的確に評価できることです。例えば,「3人の友だちにみかんを4こずつあげます。みかんは全部でいくついりますか」という問題に対して,田中さんは3×4=12,鈴木さんは4×3=12と立式して答えを求めたとします。これを“みかん4こが3人分必要”だから,田中さんは誤っていると評価することも,3×4=4×3だからどちらも正しいと演算の交換法則を式解釈に持ち込んで評価することも早計といえます。
 算数・数学の問題解決を乗法構造という立場から特徴づけて捉えるベルニョの見解によれば,鈴木さんの立式からは,友達1人と3人の間と,みかん4こと□この間に同じ関係を認めており,いわゆる倍操作を行っています。これに対して,田中さんの立式からは,友達1人とみかん4この間,友達3人とみかん□この間に同じ関係を認めており,いわゆる関数的な操作を行っています。もし田中さんが「3人の友達にみかんを1つずつあげれば,みかんは3ついる。これを4回繰り返せばいい」と関数的に考えていた場合,式は3×4となり,正しい立式として評価することができます。
(pp.9-10)

坪田耕三『算数科 授業づくりの基礎・基本』(2014年)

算数科 授業づくりの基礎・基本

算数科 授業づくりの基礎・基本

チューリップがたくさんありました。
子どもが7人います。
そこで,このチューリップを3本ずつくばったら,ちょうどなくなりました。
チューリップは何本あったのでしょう。

すると,必ず文章に登場する数の順に式を書く(ア)のような子が現れる。
(ア)7×3 (イ)3×7
こんな二つの式が登場して議論になる。こんなときは,図が生きる。(略)
もしも,「7×3」の式に意味をこじつけようとするならば,まずは7人の人に1本ずつチューリップを配り,次のもう1本ずつを配り,さらに3度目として1本ずつを配ると,都合3回で配り終わるので,1回に配る数をひとかたまりと考えて,「7×3」とできる。このように説明できる子がいれば,それはそれでたいしたものである。だが,素直に問題を読めば,「3本ずつ配る」と書いてあるので,さきのように解釈すべきであろう。
(p.60)

一松信『数の世界』(2015年)

数の世界 (サイエンス・パレット)

数の世界 (サイエンス・パレット)

 ところで乗法に関するこれらの諸法則は,加法の場合ほど自明とは思われません.以下普通によくある説明を試みます.
 交換法則は図1.8のように縦横に整然と並べた方形配列を考え,縦横どちらもそれぞれの並びごとに数えてまとめれば総数は同じと説明します.しかし単位にこだわって例えばみかんを3人に1人2個ずつ配る総数の計算で,2個×3=6個を正解とし,3×2を誤りとする先生が多いというのが気になります.3人にまず1個ずつ配り,それを2回反復したと考えれば3×2=6個で正しいでしょう.これは交換法則2×3=3×2の説明にもなると思います.
 第5章で述べるように今日の専門の数学ではa×bとb×aが等しくない「交換法則が成立しない乗法」が普遍的ですが,小学校の段階からそれを意識しすぎるのは疑問でしょう.

文部科学省『小学校学習指導要領解説(平成29年告示)算数編』(2018年)

 乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。
 例えば,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。
(図省略)
 「5個のまとまり」の4皿分を加法で表現する場合,5+5+5+5と表現することができる。また,各々の皿から1個ずつ数えると,1回の操作で4個数えることができ,全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから,4+4+4+4+4という表現も可能ではある。しかし,5個のまとまりをそのまま書き表す方が自然である。そこで,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を乗法を用いて表そうとして,一つ分の大きさである5を先に書く場合5×4と表す。このように乗法は,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現とも捉えることができる。言い換えると,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と捉えることができる。
(pp.114-115)

所感

 次期『小学校学習指導要領解説算数編』(以下「解説」)に,トランプ配りの乗法への適用が入ったのは,一松信『数の世界』の記載が多少なりとも影響したと考えています。
 しかしながら「解説」では,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」に対し,4×5の式を認める記述にしていません。「解説」の中でその根拠を探ると,p.115の「具体物を用いた表現などと関連付けながら,式の意味の理解を深めるとともに,記号×を用いた式の簡潔さや明瞭さを味わうことができるようにする。」や「上で述べた被乗数と乗数の順序が,この場面の表現において本質的な役割を果たしていることに注意が必要である。」を挙げることができます。
 「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)に当てはめると,5×4=20であり,「1皿に4個ずつ入ったみかんの5皿分の個数」に対する式は,4×5=20と書けばよい(書き分けられることに意義がある),というわけです。
 「解説」からの引用箇所と類似した流れで,トランプ配りを考慮した上で,方針を一つに定め,一つの式にしようというのが,2011年に発行された『活用力・思考力・表現力を育てる!365日の算数学習指導案 1・2年編』*1に見られます。2年のかけ算ではなく,1年の「具体物をまとめて数える」の授業例です(したがって,「乗法学習の素地」となりますが,「乗法への適用」と言うわけにはいきません)。そこでの方針は「置いた結果に着目させる」であり,https://www.slideshare.net/takehikom/23-32-123835241/37でも引用しています。