順序を問う3口のかけ算

AI時代を切りひらく算数---「理解」と「応用」を大切にする6年間の学び

　Kindle版を購入し，かけ算のところはじっくりと，他の箇所は右から左へスワイプしながら，読み終えました。
　「2.6 掛け算と九九の導入」が，p.66より始まります。そのページには，「3＋3＋3＋3＋3＝15」と「3×5＝15」という式も載っています。
　さて，p.68に，いわゆるかけ算の順序論争に対し「学校でそのように指導されるならば，それに従っておく方が無難でしょう．しかし私の本心は，どちらでも構わないという考えです．」と述べ，ページ中央には，○を5行3列に配置したアレイ図を用いて，「この図を見れば，3×5でも5×3でもどちらでも構わないことが分かるでしょう．」と記しています．続いて「質問1」というのがあります．

質問1　犬を大好きな4人が，それぞれ3匹の子犬を連れてきて集まりました．ある御隠居さんが，「可愛い子犬がたくさん集まりましたね．それでは，どの子犬にもビスケットを5枚プレゼントしましょう」と言いました．御隠居さんは何枚のビスケットを用意すればよいでしょうか．

　著者が提示した式は，「（4×3）×5＝12×5＝60（枚）」と「（5×3）×4＝15×4＝60（枚）」*1の2つです。
　問題文と後者の式を照らし合わせます。質問1では「4」「3」「5」の順に出現するのに対し，「（5×3）×4」と式を立てた場合には，ちょうど反対になっています。
　個人的に見聞きしてきた限り，3口のかけ算で，このように3つの因数の順序が反対になるのが（日本の小学校の算数で）正解となるような文章題は，見覚えがありません。
　3口のかけ算，より正確には，乗法の結合法則を学習する段階では，出現する順に数を並べ，間に「×」を置けばOKというものばかりです。検索して見つけた学習指導案によると，http://www1.iwate-ed.jp/db/db2/sid_data/es/sansu/essa_2013/essa2013301.pdfには「1こ75円のおかしがあります。1箱に5こずつ入っています。2箱買うと、代金はいくらですか。」という文章題が使用されています。
　質問1に話を戻すと，「どのかけ算から先にするか」と「分解式か，総合式か」を考えることにより，以下の4通りの式が得られます。

• 1人が連れてきた3匹の子犬に必要なビスケットから先に求めると，5×3＝15。4人が連れてきたので，15×4＝60　答え60枚
• 上記を総合式で表すと，（5×3）×4＝60　答え60枚
• 子犬の数から先に求めると，3×4＝12。どの子犬にもビスケットを5枚ずつなので，5×12＝60　答え60枚
• 上記を総合式で表すと，5×（3×4）＝60　答え60枚

　乗法の結合法則を「順序を変えてかけても，答えは同じ」と学んでいれば，総合式からカッコを取り除いた「5×3×4＝60」という式も，認めてよいことになります。
　著者の提示した最初の式が（日本の算数の3年の授業で）認められないと予想できるのは，4×3が何を表すか，説明がつかないからです*2。Vergnaudによる「関数関係」や，それと同等で「表をたてに見て○が□の何倍になっているかに注目」*3の学習が期待されるのは，4年です。
　次のページの質問2は，場合の数の「積の法則」に基づくものであり，そのことを明示せず小学校の算数の文脈で持ち出すのは，興味深いところです。著者は九九の覚える数を持ち出していますが，2つの質問を見比べると，かけ算で表される場面が異なっています。Greerの分類表*4をもとに，質問1は2つのEqual groupsを組み合わせた場面なのに対し，質問2は2つのCartesian productと言えます。

*1:この式の直前には，「反論をガタガタ言われる方の立場からすると，」というのが入っています。

*2:箇条書きにした中で「3×4＝12」だけ，匹数を求めており，それ以外は枚数です。いずれも，かけられる数とかける数が同種の量になっていますが，偶然というわけではなく，例えば5×3は5＋5＋5と（計算上も，犬とビスケットを持ってきて操作的にも）表せるからで，同様に4×3＝4＋4＋4としてみると，人を3倍してどうするのですかとなります。

*3:http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2019/06/17/061053

*4:https://books.google.co.jp/books?id=N_wnDwAAQBAJ&lpg=PR1&hl=ja&pg=PA280#v=onepage&q&f=false