十字型配置は，4×5も5×4も正解

　次の図で，●は全部でいくつあるでしょうか。式はどうなるでしょうか。

　「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」という，2年の算数で学ぶ式を用いることにします。
　たとえば，次のように囲むことができます。

　そうすると，一つ分は，サイコロの4の目のように見えます。1つ分の数は4こ，それが5つあるので，式は4×5＝20，答えは「20こ」です。「一つ分」と「1つ分の数」の違いについては，本記事の最後で書くことにします。
　また別の囲み方もできます。こうです。

　この場合，一つ分はL字型（回転すれば，いずれも同じ形です）で，1つ分の数は5こ，そしてそれが4つです。式は5×4＝20で，答えはもちろん「20こ」です。
　「5この4つ分」について，次のような囲み方も考えられます。

　この場合の一つ分は，親指を立てた手の形状に似ているので，「いいね型」と呼ぶことにします。

　この問題について，新しく出版されたものから順に紹介します。2020年最初の「算数授業研究」で，見ることができました。

• 尾崎伸宏: 子どもの考えのズレを生かし，見方・考え方を広げる!～●の数はいくつ　考え方を式に表してみよう!～, 算数授業研究, No.126, p.49 (2020).

算数授業研究 126号: これが「数学的な見方・考え方」を働かせている子どもの姿だ!

　「2年生のかけ算学習後の発展教材」として，授業を実施しています。2段組の左カラムの下部に，囲みなしの図があり，右カラム上段には，円を5つ使った，上記の4×5と同じ囲い方です。「2×10」の式に対応する図もあります。本文に，「他にも，「2×10」や「5×4」をかいている子がいた。」「またその図を見て，「10×2」とも見えるよ」*1と反応した子も出てきた。友達の考えを見て，新たな見方が浮かんだ瞬間だった。」とありますが，5×4，10×2を示す囲い方は，載っていませんでした。
　2019年に目にしたのは，東京書籍のWebサイトです。

• 新しい算数 | 2年度用 小学校教科書のご紹介 | 東京書籍

　▼3年上p.2～3に，「●は全部で何こありますか。くふうしてもとめましょう。」として出題しています。見開きで，黒板を模したイラストの右側を見ると，しほさんは，L字型で4つを囲って「5×4＝20」の式を，そしてこうたさんは2×2の1つ分だけを囲って（4の目をひとつだけ作って），「4×5＝20」の式を，書いています。またp.3の中央には，「こうたさんの考えに合うように，こうたさんの図を線でかこもう。」という指示があります。
　「●の数は，同じ数のまとまりをつくれば，かけ算を使ってもとめることができる。」というのが，まとめになっており，そのすぐ下に「図や式に表すと，考えがわかりやすいね。」を添え，この場面においては，5×4でも4×5でもよいと言えます。
　啓林館 算数用語集のサイトで，同様の出題を見ることができます。

• 式表示と式のよみ｜算数用語集

　第5学年です。「おかしが箱に入っています。」という場面から始まって，次に「みらいさんは，●の個数を求める式を，4×5と考えました。」とし，4の目が5つの囲み方が右に描かれています。「みらいさんの考え方を説明しましょう。」という問いのすぐ下，「おかし4個を1組としてまとめると，5組できます。だから，式は4×5となります。」が，地の文とは異なるフォントになっています。
　続いて，3人の式と「考え方を表している図」があり，このうち(い)は，L字型が4つの囲み方ですので，式はつばささんの「5×4」です。(あ)と(う)について，1回のかけ算で求めるというものではなく，前者はひろとさんの「4×2＋6×2」，後者はあおいさんの「6×6－4×4」に，それぞれ対応付けられます。
　ただし内容としては，この事例を第5学年で学ぶ必然性には乏しく，乗除先行に注意（4×2＋6×2＝8＋12＝20であって4×2＋6×2＝8＋6×2＝14×2＝28ではない）するなら4年の内容が関連し，分けて求めるのなら2年生や3年生でも，囲い方から式を立てたり，その逆をさせることができそうです。
　なお「式表示と式のよみ」に関連する表記として，https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf#page=44には，改訂前（2020年3月まで）および改訂後（2020年4月から）の両方に，「式の表現と読み」というのがあり，領域は異なっていますが，第1学年から第6学年までを対象としているのは共通しています。
　2009年の書籍にも，出現します。

誰もができる子どもに活用力をつけるワクワク授業づくり―第2回RISE授業実践セミナーの報告

　現行の小学校学習指導要領と解説が告示・公開された年（平成20年）の8月に開催された授業実践セミナー*2が，DVD付き書籍になっています。正木孝昌氏によるまとめ講演の途中，p.101には2つの図があり，図Iは囲い込みのない配置，図IIは4の目（囲う線は破線，以下同じ）が5つです。その次のページには，いいね型で4つを囲ったものが図IIIになっており，同じページに「一番私が面白かったのはこの図です」とも記されています。

　冒頭に挙げた形状において，●の数を求める式は，4×5でも5×4でもよいというのは，（日本の）算数で確立されているといっていいでしょう。
　とはいえそのことをクラスで共有したとしても，「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 4こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という文章題に対し，これも5×4でもいいんだよという展開は，見当たりません。
　今回の件にせよ，L字型などのアレイ*3にせよ，「一つ分が明示的でない場合に，自分で一つ分を設定」することが意図されています。それに対し，「さらが 5まい…」の文章題は，一つ分を読みとる活動と言えます。
　「一つ分が明示的でない場合に，自分で一つ分を設定」は，順序の強制か，意味の理解かの最後の段落で紹介したものですが，その出典となる[布川2010]では，2006年の学校図書の教科書から，類題を紹介しています。具体的には，以下の形状を提示して，「3×4に　なるように，かこみましょう。」と出題しています。

　「たけしさんの　かんがえ」は，L字で3つ分を囲って「一つ分」としています。これについても，得られる4つを回転すれば，いずれも同じ形です。
　「1つ分の数」を4にするような囲い方はできますが，★を移動させることなく，回転や平行移動で同じになるような，「一つ分」が4つの★となる囲み方を，3つ作ることは，できそうにありません。
　いくつかのグループがあって，「一つ分」がみな同じ(identical)というとき，その数すなわち「1つ分の数」も等しい(equal)と言えますが，逆は必ずしも真ならずです。*4

*1:原文ママ。開始のカギカッコが1つ欠落しています。

*2:算数の授業の一部を，https://takehikom.hateblo.jp/entry/20111125/1322171246の「3. ワクワク授業づくり - お菓子」で取り上げています。

*3:http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2019/06/22/082913

*4:「1つ分の数」は教科書で採用されている表記です。「一人」ではなく「1人」と表記することについて，https://www.tokyo-shoseki.co.jp/question/e/sansu.html#q2でQ&Aになっています。