シュスター先生の授業～"Classroom Discussions" 初版本より

• Chapin, S. H., O'Connor, C., and Anderson, N. C.: Classroom Discussions (Using Math Talk to Help Students Learn, Grades 1-6), Math Solutions (2003).

Classroom Discussions: Using Math Talk to Help Students Learn : Grades 1-6

　Amazonで安値だったので注文しました。第1章(An Overview)の出だしは，シュスター先生の授業～かけ算の順序と交換法則でSECOND EDITIONに基づく記載を取り上げた*1のと同じく，かけ算の交換法則の授業でしたが，読んでみると，いくつか数量が異なっているのに気づきました。
　以下は冒頭の書籍における記載と和訳です。SECOND EDITIONと異なる箇所は色を替えています。また「＊」は，SECOND EDITIONにある記載がないことを意味します。

The students in Mrs. Schuster's third grade are discussing a question she has set out for them to consider: "Does the order of the numbers in a multiplication sentence affect the answer? Explain why or why not." In order to explore this question, they are generating examples of multiplication sentences and testing what happens when they change the order of the factors. Students know many of the basic multiplication facts but have not yet learned an algorithm for multidigit multiplication.
〔シュスター先生が担任する3年の児童たちは，先生が提示した次の問題について議論をしている：「かけ算の式で，数の順序によって答えが変わるか? なぜそうなるか（またはそうでないか）を説明しなさい」。この問いを詳しく検討するため，児童たちはかけ算の式の例を作って，かける数とかけられる数の順序を変えると答えがどうなるかを調べている。彼らは，基本的なかけ算の九九はよく知っているが，複数桁のかけ算の計算方法はまだ学習していない。〕
One student has made a conjecture that the order of the factors does not make a difference—"the answer is the same no matter which number goes first." Students are agreeing with this conjecture by bringing up other examples that work, such as 3 x 4 = 12 and 4 x 3 = 12. Mrs. Schuster then asks if this conjecture works with larger numbers and suggests that they use calculators to check. Students are able to generate many examples to verify the conjecture, but explaining why the products are the same is not as straightforward as carrying out the multiplication.
〔ある児童が，かける数とかけられる数の順序は変化をもたらさない，すなわち「どちらの数が先に来ても，答えは同じ」と予想した。児童たちは，3×4＝12と4×3＝12といった式の例を見ていきながら，この予想に同意している。そこでシュスター先生が，この予想は大きな数でも成り立つかどうかを，電卓を使って確かめなさいと指示した。児童たちは，この予想が正しいことを確かめるため多数の例を作れるものの，なぜその答えが同じになるかを説明するのは，かけ算の答えを求めることほど容易ではない。〕
1. Eddie: Well, I don't think it matters what order the numbers are in. You still get the same answer. But three times four and four times three seem like they could be talking about different things.
〔1. エディ：えっと，私は数の順序で違いがあるようには思いません。たしかに，同じ答えになります。だけど，「3倍の4」と「4倍の3」は，異なることを言っているように見えます。〕
2. Mrs. S: ＊ Rebecca, do you agree or disagree with what Eddie is saying?
〔2. 先生：レベッカさん，あなたはエディさんの意見に，賛成ですか反対ですか。〕
3. Rebecca: Well, I agree that it doesn't matter which number is first, because three times four equals twelve and that's the same thing as four times three. But I don't get what Eddie means about them saying different things.
〔3. レベッカ：はい，私はどちらの数が先に来ても問題にならないと思います。なぜなら，3倍の4は12で，4倍の3も同じことだからです。ですが，エディの，異なることを言っているというのが，何を意味するのか分かりません。〕
4. Mrs. S: Eddie, would you explain what you mean?
〔4. 先生：エディさん，どういうことか説明してくれますか?〕
5. Eddie: Well, I just think that like three times four can mean three groups of four things, like three bags of four apples. And four times three means four bags of three apples, and those don't seem like the same thing.
〔5. エディ：はい，「3倍の4」というのは，4つのものが3グループという意味になります。そして，「4倍の3」は，3つのリンゴが4袋で，それらは同じものではないように思うのです。〕
6. Tiffany: ＊ But you still have the same number of apples! So they do mean the same!
〔6. ティファニー：だけどリンゴの数は同じでしょ! だから同じってこと!〕
7. Mrs. S: OK, so we have two different ideas here to talk about. Eddie says that order does matter, because three times four and four times three can each be used to describe a different situation, like four bags of three apples or three bags of four apples. So the two number sentences mean different things. And Tiffany, are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?
〔7. 先生：分かりました。ここまでの発表で，2つの違った考えが出てきましたね。エディさんは，順序は重要だと言いました。なぜなら3倍の4と4倍の3は，「3個入りのリンゴが4袋」と「4個入りのリンゴが3袋」のように，それぞれ違った場面を表すのに使えるからです。それで（かける数とかけられる数を入れかえた）2つの式は異なるものを表すのですね。さてティファニーさん，あなたは，そんな2つの式が違った場面を表すのに使えないって言うのですか?〕
8. Tiffany: No, I mean that even though the number of bags is different, the answer is the same.
〔8. ティファニー：いいえ，私が言いたいのは，袋の数が違っていても，答えは同じになるってことです。〕
9. Mrs. S: OK, so you're saying that order doesn't matter because the answer is the same?
〔9. 先生：分かりました。じゃあ，答えが同じになるから，順番は重要じゃないと言いたいわけ?〕
10. Tiffany: Right.
〔10. ティファニー：そうです。〕
11. Mrs. S: OK. We need to think about this. In Eddie's statement, order makes a difference in the situation you're describing. In Tiffany's statement, order doesn't make a difference in the answer we get. So when does order make a difference in multiplying two numbers together?
〔11. 先生：分かりました。このことについてみんなで考える必要がありますね。エディさんの意見では，順序は，場面を表す際の違いをもたらします。ティファニーさんの意見だと，同じ答えになるのだから違いはありません。では，2つの数をかけ合わせて，順序が違いをもたらすのは，どんなときでしょうか?〕

　上記のやりとりは，一貫しているように見えます。使用するかけ算の式は「3×4」と「4×3」です。それに対しSECOND EDITIONでのやりとりでは，3. Rebeccaの発言中に"two times five equals ten"が出現し，それに影響する形で，5. Eddieの説明も7. Mrs. Sの整理も，「2×5」と「5×2」の比較となっています。
　この違いについて，謎を解く手がかりが，直後の段落の最後の文に記されていました。以下は，初版本およびSECOND EDITIONで同一内容でした。

Mrs. Schuster is using classroom talk to deepen students' understandin of the commutative property. She knows that this mathematical idea maybe clear enough for the operation of addition, but that it gets complicated when we introduce multiplication. She knows that in the case of addition, students can easily see that the number sentence 2 + 3 and the number sentence 3 + 2 can be used to describe the same situation. It doesn't really matter whether we mention the three pears or the two apples first. In the case of multiplication, however, if we focus on the particulars of the problem situation, the order of elements in the number sentences suddenly matters. As Eddie points out, two bags of five apples and five bags of two apples are very different.

　ここから推測できる経緯は次のとおりです。Mrs. Schusterをはじめ，人物名は別かもしれません*2が，SECOND EDITIONと同様に，ある児童が途中で"two times five equals ten"を持ち出した授業がなされ，テープまたは筆記で記録されていました。それを“Clasroom Discussions”の本の第1章で取り上げようと，著者らが編集する中で，3×4と4×3で一貫するのがよいと考え，授業のやりとりも，これらの式に基づく関係に書き換えました。しかし，授業シーンが終わったあとの，"As Eddie points out, two bags of five apples and five bags of two apples are very different."には見直しがなされず，そのまま2003年に出版されてしまい，SECOND EDITIONにおいては，授業のやりとりが修正されたというわけです。
　「3×4と4×3，答えは同じでも意味が違う」を言うには，Luckier! - わさっきで紹介した"three children each having four candies are luckier than four children each having three candies"（4つずつキャンディを持っている3人の子どもは，3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも，運がいい）が明快であり，授業でも実演しやすいと思います。「3×4と4×3，答えは同じ」を活用するなら，「みんなが描いた絵を3段・4列で掲示しようとしたら，掲示板の横幅が足りなかったので，4段・3列にするよ」でしょうか。

*1:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20141002/1412193761，https://www.slideshare.net/takehikom/2x3-3x2/49，https://www.slideshare.net/takehikom/2x3-3x2/71でも紹介しています。

*2:Acknowledgmentsには，Schusterの語は見当たりませんでした。