東京新聞が4月6日付けで，算数・数学教育に一石を投じる記事を掲載しています。以下ではリード文と，「はじき」「くもわ」の絵を見ることができます。
まだ当該記事は取得できていません。https://twitter.com/flute23432/status/982244902556741632から始まるツイートで，算数教科書にはその種の図が載っていない点とともに，記事に対する批判が書かれています。
ところで，「はじき」の図では，速さの「は」は，左下に配置されます。その一方，「はじき」の図によることなく，速さを「単位時間あたりに移動する距離」ととらえたとき，速さ＝距離÷時間と表すことができ，算数においては「異種の二つの量の割合」となります。
単純化すると，「速さ」は「割合」です。しかし「はじき」の図にせよ，速さ×時間＝距離という，言葉の式にせ，乗算記号の左側，「かけられる数」として書くことになります*1。
「くもわ」の図では，割合は右側，「かける数」のほうに配置されます。
なぜ「速さ」は「割合」なのに，「かける数」とならないのかを考えてみると，単純化した中で切り捨てた「異種の二つの量の」が，重要な役割を果たしているように思えてなりません。
すなわちこうです。同種の二つの量の割合，例えば白いテープの長さの3倍が赤いテープの長さになる，全体の人数のうち70%が女子である，といった場面においては，「3」や「0.7」が割合として，「くらべる量」「もとにする量」「割合」の3つで構成される「くもわ」の図の中では「わ」となります。
それに対し，異種の二つの量の割合である速さを含め，パー書きの量は，「はじき」の図式の「は」に該当し，かけられる数に来ます*2。距離÷時間で求められる（平均の）速さや，金額÷分量で求められる単価などが，比例の関係における比例定数となるためです。
単価の扱いについて，Vergnaud (1983)をもとに具体化を試みます*3。「1個15セントのケーキを4個買います。いくらになりますか」を出発点としたとき，日本の算数*4では，「15×4＝60」と式を書き，「答え 60セント」とすることが期待されます。
ここから小学校の算数を離れた議論となります。「15×4＝60」に単位を添えて，「15セント×4個＝60セント」と書いてみたとき，数量の扱いとして適切だろうかと考えてみます。次元解析の観点で，合っていません。左辺に合う，右辺の単位は，「セント・個」です（がこんな単位は日常見かけません）。
そこで，かける数の単位の「個」を取り除いて，「15セント×4＝60セント」とすれば，両辺の次元は合います。形式的に取り除いたのではなく，「1個だと15セント。4個買うのなら，金額は15セントの4倍必要だ。だから『×4』と書く」と考えます。かける数の数量を「～倍」と解釈することは，「7個15円の駄菓子を28個買います。いくらになりますか」のような，「1つ分の大きさ」が明示されていない場面のほか，5年でかける数が小数となる場合の「乗法の意味の拡張」でも活用できます。
「15セント×4個＝60セント」に対する，もう一つの修正の仕方は，「15セント/個×4個＝60セント」です。これについて，左辺の次元を調整したという見方もできますが，算数教育に歩み寄ってみるなら，「個数と支払額との関係」となります。個数と支払額との関係を表にし，支払額÷個数*5を求めてみると，いずれにおいても一定です。その値は，個数が1のときの支払額であることから，「単価」と見なすことができ，小学2年で学習する「一つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」に割り当てると*6，単価が「一つ分の数」に，個数が「いくつ分」に対応する，という次第です。
式を整理すると，次のようになります。
- 「15セント×4個＝60セント」は，おかしい（両辺の次元が合っていない）。
- 「15セント×4＝60セント」は，OK。
- 「15セント/個×4個＝60セント」も，OK。
速さも同様です。「1時間で15km走ります。4時間走ったら，何kmですか」という問題について，単位を添えた式を並べると，次のようになります。
- 「15km×4h＝60km」は，おかしい（両辺の次元が合っていない）。
- 「15km×4＝60km」は，OK。
- 「15km/h×4h＝60km」も，OK。
2番目の式では，「はじき」も，速さの式（速さ＝距離÷時間，または，速さ×時間＝距離）も使用しません。場面の関係をもとにします。例えばテープ図を使用して，15kmに対応するテープを4つ，つなげます。そうすれば2～3年生でも数量の関係が理解・表現でき，「15×4」の式を立てることができます。
（最終更新：2018-04-09 朝）
*1:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20160304/1457038746の前半に，関連する書籍などを報告しています。最初のツイートについては，「このページは存在しません。」と出ます。
*2:洋書を含む図の事例は，http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20150805/1438722422よりご覧ください。
*3:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140924/1411511070
*4:とはいえ，日本の算数で「セント」を用いた出題事例は思い浮かびません。1個15円のお菓子にすべきでしょうか。
*5:上記の「金額÷分量」も同等です。ただし分量と書いた場合には，「0.3m」など，小数で表される量（連続量）も対象となりますが，「個数」だと，分離量に限られます。
*6:表をもとに「個数×単価」や「時間×速さ」といった式を得ることも可能ですが，算数教育において実用性が乏しいようにも思えます。「時間×速さ」と言う子どもがいても，公式（言葉の式）としてクラス全員で理解し，思い出せるようにするには，「速さ×時間＝道のり」とするわけです。ここに交換法則（時間×速さ＝速さ×時間」）が暗黙のうちに使われています（関連：http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20170124/1485210845）。どこかで教わった乗数先唱を根拠に，2×3＝6を「さんにがろく」という子どもがいても，先生は面白いねと対応したのち，九九を唱える際には「にさんがろく」と言いましょう，となるのが予想されます。
