- 作者: 新算数教育研究会
- 出版社/メーカー: 東洋館出版社
- 発売日: 2019/06/29
- メディア: 単行本
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この本のpp.88-91の授業を紹介します。このはじめ2ページは授業の展開*1を表にしており，あとの2ページの上部には板書例，そして下段には実線のまとめと考察，ならびに指導者のコメントが書かれています。なお巻末によると，この授業の執筆者は神奈川県川崎市立東高津小学校の奥村利香氏，コメントは日本体育大学で「新算数教育研究会『講座 算数授業の新展開』編集委員会 委員長」の金本良通氏でした。
中心となる問題は，「自転車のおもちゃが□台あります。1列に5台ずつならべると，□台目はどこにならぶでしょう。」です。2箇所の□には同じ数が入ります。はじめに考えるのは，□＝27で，それが解決できたら，□＝33の場合を考えます。
「どこに」について，黒板の左側には，1から5まで書かれた，5本の旗が縦に並んでいます。そして1台目は「1」の1列目，2台目は「2」の1列目，…と順に，自転車の絵を並べていきます。5台で1列目が終わり，6台目は「1」の2列目です。「どこに」を「どの番号の旗に」に置き換えれば，□が正の整数のとき，5で割った余りで求められます。「剰余類」と言ってしまえばそこまでですが，本書にこの語は見当たらず，かわりにp.84の副題には「余りの大きさで分類」と書かれていました。
□＝27のとき，次の5つの考えが出て，黒板に書かれました（原文から一部変更しています）。いずれの方法でも，「2」の旗となります。
- 考え1: 続けて数える。
- 考え2: 近い5のだんにいくつたすかで分かる。
- 考え3: 近い5のだんからひいても分かる。
- 考え4: 5ずつ増えているきまりをつかう。
- 考え5: 1の位にきまりがある。
考え3を式で表すと，5×6－3＝27です*2。このように，「余りの2を求める」以外の求め方を許容しているのは興味深いです。
ところで□＝27のときの求め方で，「考え2」は2箇所に出現しています。上記と異なる「考え2」は，一言で説明されていませんが，おおよそ次のとおりです。「5のだん＋1」のときは「あまり1」，「5のだん＋2」のときは「あまり2」，…と分類し，もとの数がどのグループに入るかを求める，というものです。
□＝33の場合には，式が活用されています。そしていくつかの考え方には，「その求め方でいいの?」を意図したツッコミも，入っています。考え1から5までを並べるにあたり，「⇒」以降にツッコミを書いてみました*3。
- 考え1: 続けて数える。⇒数が大きくなったら数えるのが大変
- 考え2: 5×6＋3＝33
- 考え3: 5×7－2＝33 ⇒図がないと分かりにくい，－2があまりいくつになるかすぐには分からない
- 考え4: 33－5－5－5－5－5－5＝3
- 考え5: 1の位を見てあまり3のグループ ⇒5のだんのときは使えるけどほかのだんのときは!
そして考え2と考え4の式と等価な式として，「33÷5＝6あまり3」を四角で囲み，さらに余りの「3」を丸で囲んで，□＝33のときの答えとしています。明示されていませんが，□＝27のときも，5で割った余りが答えになりますし，九九の範囲を超えた場合にも，総台数とグループ（番号付けられた旗）の数が分かれば，わり算で求められるというわけです。
いえ，少し検討が抜けています。余りがある場合には，その「余り」の番号でいいのですが，割り切れる場合には，「5」の旗としないといけません。5に限らないのであれば，「最後のグループ」です。
授業では，このことへの対応が明示されていませんが，指導計画よりも前，pp.84の最後の段落に，余りのない除法と余りのある除法との統合が，きちんと書かれていました。段落を書き出します。
さらに，余りに注目し被乗数が変化する場合，除数と余りの関係について考える。被除数が1増えることで，余りは1ずつ増える。しかし，余りの数は除数－1になっていることを理解する。なぜ，余りの数は除数を超えないのかを，図を基に考える。そのとき，わりきれる場合を余り0と見ることで，余りのない除法と余りのある除法を統合する場面として，統合的な考え方が扱える場面である。余りのない除法と余りのある除法を統合して考えることが，その後の，余りのある確かめや余りの処理について，具体的操作や図や式を関連させて，さらには発展させて考えることが容易になる。具体的な場面として，背の順に何列かで並ぶとき，どこに並ぶかやカレンダーで曜日を特定するときなど，日常の場面で，余りのある除法を使って，筋道立てて考えられるようにしたい。
原文をよく見直しましたが，「余りの数は除数－1になっている」は間違いで，「余りの数は最大でも除数－1になっている」または「余りの数は除数－1以下になっている」としないといけません。また列を作って並ぶという話であれば，「どこに並ぶか」よりも，「最後の人は何番目か」に着目したいところです。例えば体育の授業の開始前と開始後で，最後の人の番号が違っていれば，遅刻者または早退者がいたことを意味します*4。
今回の授業はp.86によると，「余りのある除法」の単元で7時間で構成されたうちの最後です。「余りのある除法」そのものは，はじめの3時間で学習しており，確かめや，余りの処理を学んだのち，「活用」を行う授業となります。上記の考え2では「5のだん」が出てきて，他の段が取り上げられないのは，それまでに，余りのない除法も余りのある除法も「除数の段の九九を用いて能率的に求めることができる」ことを学び，クラスで共有していたから，と考えられます。
