かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

『学校に入り込むニセ科学』の「かけ算の意味」の意味

　Kindle版を購入し，「かけ算の順序強制問題」を読みました。この節は，「ニセ科学ではないが、学校にはびこる悪しき慣例に、かけ算の順序強制というのがある。」という文から始まります。
　ところで，「かけ算の順序強制問題」というタイトルの特別寄稿が，RikaTan 2014 秋号に掲載されています．著者は黒木玄氏です。とはいえRikaTanは「編集長 左巻健男」で刊行されたきた季刊誌で，2010年代前半のインターネット上の「かけ算の順序」の状況を踏まえて，左巻氏が黒木氏に執筆を依頼したのは想像にかたくありません。それはさておき，特別寄稿の記載と，2010年代が終わろうとする中で刊行された新書の内容とに，ずいぶんと重なりがあります。
　例えば両者には，1951年改訂の小学校学習指導要領算数編(試案)のIV第1部7(3)「計算などについて，理解をもたせる」という出典と，「一冊５円のノートを，６冊買ったら，いくら支払えばよいでしょう。」から始まる，http://www.nier.go.jp/guideline/s26em/chap4-1.htmから読むことのできる文章が含まれています*1。授業例として花まる先生の件を取り上げ（引用の仕方や箇所は異なりますが），「肯定的に紹介している」と書きながら，著者はともにその授業に否定的であることも，読めば容易にわかります。
　2件の出版の間で，小学校の学習指導要領が改訂され，その算数の解説に，「被乗数と乗数の順序」が入ったこと，また解説のつかない指導要領において従来からも，4年で「小数×整数」，5年で「小数（整数を含む）×小数」と学習が分かれており*2，それぞれで活用するかけ算の場面が異なることには，言及がありません。
　『学校に入り込むニセ科学』の「かけ算の順序強制問題」の節，そして第8章（他にもいろいろニセ科学）は，以下の文章で締めくくっています。黒木特別寄稿に，これに対応する記載は見当たらず，左巻氏の独自見解と読みとっていいでしょう。

　私は、かけ算の導入部分で、「タコが2匹います。それぞれ足は8本。全部で足は何本?」という問題をやるのはよいと思う。そのとき、「タコ1匹に足8本」が2匹で、8本×2匹でも、2匹×8本でもよいという考えだ。そのどちらも「かけ算の意味」はあるのではないか。

　このような「かけ算の導入」を行う，国内外の授業やWebの解説資料を見かけません。「かけ算の意味」，英語だと"meaning of multiplication"について，導入の段階では，かけられる数とかける数に区別を持たせるのが，広く普及しています。
　このことを，"meaning of multiplication"の検索結果を通じて確認できるのは，例えば以下の2件です。

　ただし海外ということもあり，「かける数（いくつ分）×かけられる数（1つぶん*4の数）」の形です。前者の中で，交換法則に関連する式として「6 × 3 cm = 3 × 6 cm」が書かれていますが，タコの件に当てはめると（そして日本式の順序にすると）「8本×2＝2本×8」となります。「3cmが6本」と「6cmが3本」，「8本足の生物が2匹」「2本足の生物が8匹」とでそれぞれ，総量・総数は同じでも状況（数量の関係）が異なる，と言うこともできます。
　なお「かけ算の意味」という観点では，「被乗数と乗数」のほかに「因数（どうしのかけ算）」も重要で，古くはhttp://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/826836/32の40番*5で知ることができます。「因数」による意味付けが紹介されたあとでも，「名数にある数を掛けて得たる積は被乗数と同名なり」の形で，被乗数（名数）と乗数（ある数）との区別を指摘している内容であり，「間口十間奥行十二間の地面あり其坪数を問ふ」は，因数どうしのかけ算（現在においては「量の積」）を，「被乗数と乗数」のかけ算に帰着しています。現代であればGreer (1992)の分類表を見ておきたいところです。
　左巻氏の頭にある「かけ算の意味」に従った二つの式について，関連しそうな授業は，当ブログとメインブログを検索したところ，2件ありました。

　ただし「2匹×8本」の形の式を認めているわけではありませんし，導入の段階ではなく，かけ算を十分に学習したあとでの出題となっていることを，付記しておかないといけません。

*1:ただしこれは「5×6」が正解，「6×5」が間違いの文章題です。2つの数をひっくり返して，かけ算の式にすることが期待される（1951年改訂の小学校学習指導要領算数編に記載の）文章題は，http://www.nier.go.jp/guideline/s26em/chap5.htmに見られる「３人のこどもに，えんぴつを２本ずつあげようと思います。えんぴつがなん本いるでしょう。どんな九々をつかえばわかりますか。」のほうです。

*2:http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2018/03/10/061409

*3:https://www.nctm.org/store/Products/Putting-Essential-Understanding-of-Multiplication-and-Division-into-Practice-in-Grades-3-5/の本の，無料サンプルと思われます。

*4:『学校に入り込むニセ科学』では，2箇所，「1つぶんの数」と表記されています。算数教科書で見かけるのは「1つ分の数」です。

*5:先にhttps://ameblo.jp/metameta7/entry-12100830585.htmlを読んでおくことをお勧めします。