帯分数排斥運動? - かけ算の順序の昔話

何故帯分数排斥運動が起こらないのか全く分からん？

帯分数がええんやって奴を1人たりとも見た事が無いのだが、何故なくならないのか？
— 仏のJOAch(ほっとけ) (@JOA_channel) February 3, 2020

　帯分数の表記で連想するのは，wikipedia:キングス・クロス駅の9¾番線です。あれも $\frac{39}{4}$ 番線のほうが分かりやすい，と主張されたいわけではないでしょう。
　 $9\frac34$ は， $9+\frac34$ と解釈することになります．整数と分数が，加法的に結び付いています。 $9\times\frac34$ （乗法的）ではありません．乗法的な結合は，例えば，万有引力の法則の式， $\displaystyle F=G\frac{Mm}{r^2}$ に出現します．この右辺を $\displaystyle G+\frac{Mm}{r^2}$ とするわけにはいきません。
　以下は小学校の算数を対象とし，加法的に結び付くものとします。整数部分も，分母も分子も，整数です。そこから何を学ぶことが期待され，また問われてきたかについて，まず見ておくのは，現行と次期の『小学校学習指導要領解説算数編』です。現行はp.143，次期（今年4月からの適用）はp.194です。後者の該当箇所を取り出します。

　真分数とは， $\frac12$ ， $\frac35$ のように分子が分母より小さい分数のことである。仮分数とは， $\frac22$ ， $\frac75$ のように分子と分母が等しいか，分子が分母より大きい分数のことである。また，帯分数とは， $1\frac25$ のように整数と真分数を合わせた形の分数のことである。 $1\frac25$ は，1と $\frac25$ を加えた分数である。
　1より大きい仮分数は，帯分数で表すと，その大きさが捉えやすくなる。例えば， $\frac94$ は， $2\frac14$ に直すと，2より少し大きい数であると分かる。このようにして，分数の大きさについての感覚を豊かにするように指導する。
　真分数や仮分数で表すと，その計算が進めやすいという場合がある。例えば，第6学年で指導する分数の乗法及び除法については，帯分数よりも仮分数で表しておく方が計算を進めやすくなる。

　なお，『小学校学習指導要領解説算数編』を根拠とする際，「1より大きい仮分数は，帯分数で表さなければならない」というのは意図されていません。実際，上の引用のあとには，「例えば，真分数と真分数の加法である $\frac35+\frac45$ の計算では，(略)結果は $\frac75$ と表すことができる。」とあります。続くのは，その和は $\frac7{10}$ ではないことを確認する内容であり，帯分数は見られません。
　この解説の1つ前のページでは，学習指導要領の記載が囲まれており，「〔用語・記号〕　真分数　仮分数　帯分数」も囲まれています。第4学年でこれらの用語を学び，識別（与えられた分数表記が真分数・仮分数・帯分数のいずれであるか）や，整数と仮分数*1，仮分数と帯分数の相互変換も，ここで学習することが，期待されるわけです。
　そうして校内でも，また学校の枠を超えたテストでも，帯分数が出現することがあります。公開されている出題の一つを，全国学力・学習状況調査（全国学力テスト）より見ることができます。平成25年度の算数A大問1(6)， $2\frac57+1\frac17$ の計算です。
　この調査の報告書（【小学校】算数）のp.31によると，趣旨は「同分母の分数の加法「（帯分数）＋（帯分数）」の計算をすることができるかどうかをみる。」となっています。
　同じページの解答類型では，「 $3\frac67$ ， $\frac{27}7$ と解答しているもの」を，◎の正答としており，その反応率は88.2%でした。帯分数でも仮分数でもよく，それらの違いは解答類型において区別されていません*2。
　これまた同じページに，参考として書かれた平成21年度調査問題では， $\frac76-\frac26$ の計算で，仮分数が出現します。もちろん答えを仮分数にするわけにいきません。
　全国学力テストの出題に基づくと，計算問題で，仮分数と帯分数が出現することもあるけれど，結果が1を超える場合，答えの書き方は帯分数でも仮分数でもよい，と言ってよさそうです。分数部分だけの計算で1を超えないのは，複雑さを避けた，意図したものなのでしょう。
　帯分数＋帯分数で，分数部分の計算で1以上になる出題も，検索して，見つけることができました。平成２８年度大分県学力定着状況調査結果（小学校：算数）の2ページ目， $3\frac35+1\frac45$ です。そこでは整数部分と分数部分とを相互に足しただけの $4\frac75$ を，誤答扱いとしています（前年度よりもその解答の割合が下がり，正答率は上回っているとも書かれています）。なお，1以上になる状況のことを「繰り上がりあり」と表記しているのは，興味深いところです．
　ただし読み進めると，「解答は、仮分数、帯分数のいずれかの形であらわすことになる。」でして，この計算問題では $3\frac35+1\frac45$ ＝ $\frac{18}5+\frac95$ ＝ $\frac{18+9}5$ ＝ $\frac{27}5$ ，答え $\frac{27}5$ でも正解となります。
　帯分数－帯分数で繰り下がりのあるもの（例えば， $3\frac35-1\frac45$ 。これを $3+\frac35-1+\frac45$ としてはいけない）や，帯分数×整数で繰り上がりのあるもの（例えば $3\frac35\times3$ ）も，頭では思いつきますが，正誤の反応率を含む出題例は，得られていません。

　結論：

1より大きい仮分数は，帯分数で表すと，その大きさが捉えやすくなります。例えば，ハリー・ポッターの「9と4分の3番線」から，9番線と10番線の間であることが読み取れるわけです。
多人数が解答する外在的評価で，仮分数・帯分数を含む計算問題が出現することがあります。ですので，それらの意味や計算の仕方を理解しておく必要があります。ただし結果が1を超える場合に，帯分数にする必要はありません（そうするよう指示がない限り）。

　同日追記：1970～80年代を中心に，「新しい算数研究」という雑誌に掲載された記事をピックアップして，東洋館出版社がシリーズを出しています。2011年のことです。分数については以下の本です。

小数・分数の計算 (リーディングス新しい算数研究)

発売日: 2011/01/01
メディア: 単行本

　この本のp.48に，「帯分数どうしの加法の構造」として，次の式が書かれていました。
$m\frac{b}{a}+n\frac{d}{c}$ ＝ $(m+n)\times\frac{b\times c+d\times a}{a\times c}$
　右辺の，分数記号の直前の「×」は，「＋」でなければなりません。 $(m+n)+\frac{b\times c+d\times a}{a\times c}$ に修正したとしても，分数部分を計算すると仮分数になることがある（繰り上がりが起こり得る）のを，この式から読みとることは困難です。