算数の2年の教科書に載っている「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」は，算数では，公式とみなされていません。『算数教育指導用語辞典 第五版』の公式の項目を読みながら，検討しました。
- 作者:日本数学教育学会
- 発売日: 2018/08/01
- メディア: 単行本
この本のp.153の最初は「224 言葉の式・公式」で，この項目はp.155までの3ページを占めます。英語は「verbal formula, formula」です。また見出しの右には，1が白の箱囲みなのに対し，2から6まで網掛けされており，下には「A」の文字がありますので，第2学年から第6学年までのA（数と計算）の領域と関連する事項とされています。文章としては，言葉の式に関する8行の前文のあとは「3年」「4年」「5年」「6年」に分かれています。2年までの指導については「3年」の中に，また1年の状況についてはp.153脚注に，短く記されています。
この3ページから，言葉の式を取り出してみます。
- p.153: （鉛筆1本の値段）×（鉛筆の本数）＝（代金）
- p.153: （持っているお金）－（使ったお金）＝（残りのお金）
- p.153: （一つの値段）×（買った数）＝（代金）
- p.154: （長方形の面積）＝（縦）×（横）
- p.154: （正方形の面積）＝（1辺）×（1辺）
またp.155には2回，「（長方形の面積）＝（縦）×（横）」が出現するほか，関数関係を式で表す例として，カッコ書きの中に「y＝決まった数×x」というのも見られます。
言葉の式はないものの，「公式にまとめていく能力」というのがp.154に示されています。具体的には，4年では「わり算のたしかめの式，四則の相互関係，交換・結合・分配の法則，正方形，長方形の求積公式，数量を□，△などの記号を用いて表すこと」，5年では「三角形・平行四辺形・台形などの求積公式，円周の長さ，百分率・歩合の求め方を□，△などの記号を用いて表すこと」です。さらにp.155の5年の中には「割合に関する公式，計算の法則に関する公式」というのがあり，同じページの6年では「分数の乗法・除法の仕方」「立体の体積を求める公式」「円の面積の公式」「関数関係を式で表すこと」も，「公式」という言葉の有無にかかわらず，「公式にまとめる」ことが期待されています。
それぞれの公式は，言葉や記号を用いた等式で表現できると思いきや，「四則の相互関係」は少し異なります。思い浮かぶのは，□×△＝○ならば，○÷△＝□や○÷□＝△が成り立つという，乗法と除法の相互関係*1です（×を＋に，÷を－に置き換えれば，加法と減法の相互関係となります）。
注意するのは，このような相互関係を考える際には，「□×△＝○」「○÷△＝□」「○÷□＝△」が公式となるわけではない点です。「□×△＝○ならば○÷△＝□」と「□×△＝○ならば○÷□＝△」のように，2つの式を用いた命題を，構成することになります。
『算数教育指導用語辞典 第五版』では，p.121に「四則の相互関係」という小見出しがあり，「□×7＝△」と「△÷7＝□」，同じかけ算の式と「△÷7＝7」が，↔で結ばれているほか，「□×6＝30 □＝30÷6＝5」と書いて，文章題を求める指導例を示しています。
ここまでにおいて，「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」という，2年の算数の教科書に見られるかけ算の式が，出現しませんでした。『算数教育指導用語辞典 第五版』と『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』を合わせて読む限りでは，この言葉の式*2は「公式」ではないと言ってよさそうです。
公式にまとめる活動は，3年・4年あたりから想定されています。解説のつかない小学校学習指導要領の算数の第2学年，数学的活動には，「具体物，図，数，式などを用いて」解決・表現し，伝え合うという活動が書かれていますが，それぞれの場面・問題を解くための手段であり，言葉の式にすることはあっても，公式にするという意図ではない（作った言葉の式が，上の学年の学習事項の土台になるものではない），と解釈できます。
公式でなければ何なのかというと，「×」を使用したルールを表したものとなります。これについて「定義」は適切な語ではなく，代わりによさそうなのは「意味付け」です。戦前戦後そして国内外の算数（算術・数学も）を見据えた上で，今の日本の算数で最も支持されている，かけ算の意味付け*3は「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」というわけです。
「1つ分の数」「いくつ分」「ぜんぶの数」のそれぞれに，異なる語を割り当てることで，「（鉛筆1本の値段）×（鉛筆の本数）＝（代金）」や「（一つの値段）×（買った数）＝（代金）」といった言葉の式，そして公式が得られます。ただし算数においては単純な各語の割り当てではなく，一つまたは複数の具体的な事例に対し，「8×5＝40」といった式*4を立てて求め，帰納的な考えを通じて「公式にまとめる」ことになります。
*1:解説のつかない小学校学習指導要領の算数では第2学年で「加法と減法との相互関係について理解すること。」が入っています。乗法と除法，また四則の相互関係というのは，記載されていませんが，『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』のp.156に「加法と減法，乗法と除法の相互関係についても，式と図を関連付けて説明し，捉えられるようにする」というのがあるほか，「除法は，乗法の逆算」「等分除は，□×3＝12の□を求める場合」「包含除は3×□＝12の□を求める場合」というのがp.148に書かれており，第3学年の内容です。
*2:『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』に書かれている，かけ算の言葉の式は，「（一つ分の大きさ）×（幾つ分）＝（幾つ分かに当たる大きさ）」(p.115)です。
*3:「乗法・除法の意味づけ」が[isbn:9784491026268]のp.74で述べられており，https://takehikom.hateblo.jp/entry/20111016/1318714233で紹介しています。
*4:「一つの値段×買った数＝代金」を公式として（授業などで）認めていない段階では，「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」に基づいて立式します。このことは，言葉の式に乗法の交換法則を適用して得られる「いくつ分×1つ分の数＝ぜんぶの数」「買った数×一つの値段＝代金」がなぜ，算数において認められていないかを，説明するのに使えそうです。
