1から2へ - かけ算の順序の昔話

　本記事のいくつかの文章題は，小学校算数を念頭に置きつつ，教科書や学習指導案には見かけないし，将来的に掲載されることも期待できない，創作です。

問1　1枚の皿にリンゴが3個乗っています。そのような皿が4枚あります。リンゴは全部で何個ありますか。

　「3個の4つ分」と数量の関係をとらえることで，式は3×4＝12，答え12枚と，求められます。

問2　2枚の皿にリンゴが3個乗っています。そのような皿が4枚あります。リンゴは全部で何個ありますか。

　「2枚の皿にリンゴが3個乗って」いる状況を，ChatGPTで画像にしました。

　この問題では，3×4や2×3×4のような式ではうまくいきません。「2枚の皿にリンゴが3個乗っています」を1つ分ととらえると，「そのような皿が4枚あります」は，皿の枚数に着目したわり算，具体的には4÷2＝2の計算を行うことで，「2つ分」あることがわかります。となるとリンゴは，「3個の2つ分」です。式は3×2＝6，答え6枚です。

問3　毎日チケットを1枚ずつ3人に配ります。4日で，チケットは何枚必要ですか。

　これは2つの求め方を考えることができます。2つの式のあいだで，かけられる数とかける数が反対になります。

1日で必要なチケットは3枚です。4日だと，式は3×4＝12，答え12枚です。
1人あたり4日で必要なチケットは4枚です。3人だと，式は4×3＝12，答え12枚です。

問4 毎日チケットを2枚ずつ3人に配ります。4日で，チケットは何枚必要ですか。

　問3の考え方と同様にし，総合式（1つの式で表す）にした場合，式は2×3×4＝24または2×4×3＝24，答え24枚となります。
　問1と問2との間では，違いは（問題番号ではなく文章題の中の）「1」と「2」だけです。問3と問4の違いも，同じです。ですが答えの数だけを見ると，問1と問3は「12」ですが，問2では「6」，問4では「24」と，違ってきます。
　この違いは，中学校数学の文字式にすると，より明瞭になります。

問5　 $a$ 枚の皿にリンゴが $b$ 個乗っています。そのような皿が $c$ 枚あります（ $c$ は $a$ で割り切れるものとします）。リンゴは全部で何個ありますか。 $a$ ， $b$ ， $c$ を用いた式で表しましょう。

　求め方としては，リンゴの全部の数をx個とおき，比例式で表すことにしましょう。式は $a:c=b:x$ です。これをxについて解くことで， $\displaystyle x=\frac{bc}{a}$ (個)と求められます。

問6　毎日チケットを $a$ 枚ずつ $b$ 人に配ります。 $c$ 日で，チケットは何枚必要ですか。 $a$ ， $b$ ， $c$ を用いた式で表しましょう。

　3つの文字のかけ算が，答えとなります。すなわち， $abc$ (枚)です。
　問5で求めた式について，枚数に対応する $a$ は分母にあります。 $bc$ を固定すれば，xは $a$ に反比例します。1枚から2枚にすれば，リンゴの全部の数は， $\displaystyle\frac12$ になるのです。それに対し，問6のほうでは， $bc$ が定数なら，チケットの必要枚数は $a$ に比例します。