「二十」は2×10か，それとも10×2かを，小学校の算数での学習と照合しながら検討していくと，そこにVergnaudの「スカラー関係」と「関数関係」が含まれていることに気づきました。
2人の数学者による全18回のコラムの，第17回です。4歳のお子さんが，23の次が「24」か「42」か迷っている状況に対し，執筆者・谷口隆氏が，「説明することの難しさに気づいた」というのです。
そして以下のとおり，大人モードで，検討しています。
24にせよ42にせよ，2と4のある意味での“合併”であることは間違いない．子供もそれは感覚として掴んでいる．しかし，“合わせる”ならどっちが先でも同じではないだろうか．たし算の2＋4と4＋2は同じ答えになる．
我々大人は，この“合併”が2と4の単なる和ではないことを知っている．24と書いた場合，ここの2は20を表していて，24とは20＋4のことである．位取りの記法と呼ばれるものだ．24と42の違いは，次のように書けばはっきりするだろう．
24＝2×10＋4＝10＋10＋1＋1＋1＋1
42＝4×10＋2＝10＋10＋10＋10＋1＋1
最後の2つの式と，タイトルの「算数」とのマッチングに，違和感を覚えました。「2×10＋4＝10＋10＋1＋1＋1＋1」とありますが，乗法を累加で解釈するとなると，2×10＝10＋10ではなく，2×10＝2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2としたいところです。それと別に，「24＝2×10＋4」や「42＝4×10＋2」のような式で表すことを，算数で教えているのか，子どもたちは（執筆者のお子さんも小学校に入ったら）学習していくのかが，気になってきました。
現行および次期の『小学校学習指導要領解説算数編』，そして手元にある算数の教科書に目を通した限り，この種の式の表示は見つかりません。2×10＋4や4×10＋2といった計算であれば，2～3年の児童にさせてもいいのですが，百の位まで入れて，3×100＋2×10＋4の計算となると，4年で，いわゆる乗除先行を学んでからとなります。
さらに，気になるのは，「ニジュー」をかけ算で表すとなると，2×10なのか，10×2なのか，それともどちらでもいいのか，です。
かけ算を学習しない，1年では，「十を単位とした数の見方」に基づき，「40は，10の4個分」と理解します。2年では，6000を「10が600個集まった数」や「100が60個集まった数」などとします。「一つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」に基づいて，かけ算の式にするなら，順に，40＝10×4，6000＝10×600＝100×60と表せます（ただし，そのような式は見かけません）。なお，2×10や10×2といった計算は，2年のかけ算の範囲内です。
3年では，万を超える数を学習します。啓林館・教育出版のいずれの教科書も，「10000を2こあつめた数を二万といいます。」がその導入となっています。そして，何千何百何十何万…の漢数字表記もあり，数を認識し，きちんと読み書きしたり，大小の判定をしたりするという流れです。そこでも，かけ算は出てきません。
なのですが，万を超える数と同じ章の中で「10倍の数」も学習します。「20円の10倍は何円でしょうか。」から始まり，10円を2行10列に並べた図が続きます。1行分は，10円が10枚で100円となり，2行あるから，200円です。10円の並びは「アレイ」であり，縦方向に見れば，20円が10列，横方向に見れば，100円が2行となることを，活用しています。
かけられる数が，ずいぶんと小さくなっています。
これについては，「ある数を10倍すると位が1上がり，もとの数の右はしに0を1つつけた数になります。」といった形でまとめられ，これを万を超える数にも適用して，十進位取り記数法についての理解を深めていくことになります。
教育出版の教科書*1では，p.104に，以下の4コママンガがありました。
起承転結の「承」のあたるコマでは，「10のまとまりができると，位が1つ上がるね。」と言っています。ここで「10のまとまり」は，「いくつ分」のほうに対応します。その右のコマで「同じしくみだよ」として例示されたことばの式を，かけ算で表すと，次のようになります。
- 100が10こで千 ⇒ 100×10＝1000
- 1000が10こで一万 ⇒ 1000×10＝10000
- 1万が10こで十万 ⇒ 10000×10＝100000
- 10万が10こで百万 ⇒ 100000×10＝1000000
- 100万が10こで千万 ⇒ 1000000×10＝10000000
これらの式も，「ある数を10倍すると位が1上がり，もとの数の右はしに0を1つつけた数になります。」のルールがあてはまります。表にするとこうです。
4コママンガに出現する数だけでなく，20を10倍したら200というのも，この表に入れることができます。「10倍」そして「×10」は，同じ列の上下の数の関係となります。
それに対し，「10000を2こあつめた数を二万といいます。」をはじめとする「何万」は，「1個で10000」あるいは「万を単位とした見方」に基づきます。表は，こうです。
10000が「一つ分の数」であり，かけ算の関係は，「10000のいくつ分」として，見出すこととなります。
上の表の見方は，Vergnaud (1983)が示したうちの「関数関係」に，下の表は「スカラー関係」に，それぞれ関連づけることができます。
さて，24を，十円玉が2枚と1円玉が4枚に対応づけるのであれば，式は，24＝10×2＋1×4，または24＝10×2＋4としたいところです。
24＝2×10＋4とするのであれば，「2を10倍して20，そこに4を足して，24」となります。冒頭のブログに書かれた「2×10＋4＝10＋10＋1＋1＋1＋1」の等式は，累加と別の根拠で導かれたもの，と言うこともできます。
桁数を増やした場合のことも，確認しておきます。
324を，百円玉が3枚と10円玉が2枚と1円玉が4枚に対応付けると，式は100×3＋10×2＋1×4または100×3＋10×2＋4です。
「10倍」を使う場合，324＝｛（3×10）＋2｝×10＋4により実現できます。「3を10倍して，2を足して，また10倍して，4を足す」という手続きです。
30024のような数なら，30024＝｛（3×10×10×10）＋2｝×10＋4とします。10倍と加法の組み合わせで，整数を式で表せることが分かります。
