小学校で学ぶかけ算の，背景となる「考え」もしくは「構造」を説明する2つの文献で，「スカラー」が使用されています。
- 中島健三: 乗法の意味についての論争と問題点についての考察, 日本数学教育会誌, Vol.50, No.6, pp.74-77 (1968). https://doi.org/10.32296/jjsmep.50.6_74
これは，割合の考えとも言われているが，A×BはAという単位量のスカラー倍（Bに比例して拡大縮小した大きさ）を表わすという考えである．
(p.76)
- Vergnaud, G.: Multiplicative Structures, In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, Academic Press, pp.127-174 (1983). [isbn:012444220X]
In Schema 5.2, ×b is a scalar operator bacause it has no dimension, being a ratio of two magnitudes of the same kind; b cakes is b times as much as 1 cake, and the cost of b cakes is also b times as much as the cost of 1 cake.
（Schema 5.2において，×bは次元を持たないためスカラー演算子であり，同じ種類の2つの量の比率になる．（「1個aセントのケーキがb個でいくらか?」という問題に対し）「b個のケーキ」は，「1個のケーキ」のb倍であり，「b個のケーキの値段」もまた，「1個のケーキの値段」のb倍となる．）
(p.130)
明記されていませんが，中島の示した「考え」において，A×Bは，Aと同種の量になるのも，読み取ることができます．
ここで連想するのは，線形性です．「4個のケーキ」「15セント」「2.3メートル」などを，それぞれ，量とみなしたときに，同じ量の集まり(a magunitude of the same kind)を考えることができます．それを量空間と呼ぶことにし，ある量空間から2つ要素を取ってきて，たし算した結果も，1つの要素の任意倍も，その量空間の要素となります。wikipedia:ベクトル空間のうち「V の各元 u, v および F の各元 a に対して u + v および av が必ず V に属する」が最も関連し，この表記においてVが量空間，Fは例えば0以上*1の整数，有理数，または実数の集合に対応付けることができます。
「任意倍」は，「スカラー倍」「スカラー演算」であって，要素同士のかけ算をするわけではない点にも，注意しないといけません。
数学の概念・用語を借用して，小学校の「かけ算」に説明する際の「スカラー」は，「ベクトル」*2などと対比されるものではない，というわけです。
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では，何が「本質」になり得るかというと，教育出版では図に「×3」，啓林館では「2.3倍」と書かれた箇所です。それぞれ，もとの場面（文章題）では「3こ」「2.3m」ですが，「3こ」「2.3m」をかけているわけでは，ないのです。（それに対し，「30円」「80円」のほうは，今の算数では式に単位を書かなくなっていますが，「30円×3」「80円×2.3」という式の表し方は可能であり，板書でも目にすることがあります。）
長さの自然数倍のところで，はじめて「×」が現れます．
長さAの2倍というのは，
A＋A
のことである．この長さを2AまたはA×2で表す．
同じようにして，
A＋A＋A
をAの3倍といい，3AまたはA×3で表す．
数1を例外としないために，Aの1倍はAであると決めておく：
1A＝A×1＝A
一般に，任意の自然数nに対して，長さAのn倍が定められる；それは‘n個のAの和’
A＋A＋……＋A
であり，nAまたはA×nで表される．
(pp.9-10)
- Nagumo, M.: Quantities and real numbers, Osaka Journal of Mathematics, Vol.14, No.1, pp.1-10 (1977). https://projecteuclid.org/journals/osaka-journal-of-mathematics/volume-14/issue-1/Quantities-and-real-numbers/ojm/1200770204.full
A. Axioms of the system of positive quantities. Let Q be a system of quantities of the same kind with the following properties with respect to the addition:
(以下略)
注意1とは，今の言い方にすると「かけられる数と，かけ算の答えが，同じ種類であること」，注意2とは，「かける数は（実際の場面では具体的な数であっても）『～倍』になること」です。
個人的な関心は，注意2のほうにあります。Vergnaud (1983)のスカラー関係は，明治時代のいくつかの算術書で，すでに知られていたことを意味するからです。
(略)例題1 重さ0.4kgの本が6さつあります。重さは全部で何kgになりますか。
(略)
(式) 0.4×6＝2.4 答え2.4kg
この式は，ことばの式で書くと，ふつう 1さつの重さ×さっ数＝全部の重さ と表します。
でも，この式の意味をもっと正確に書くと，0.4(kg)×6(さつ)ではなく，0.4kgの6倍という意味だということを理解しておきましょう。
(p.12)
*1:「マイナス150円」は，小学校算数では扱わないためです。そのため，ここで考える量空間は，wikipedia:ベクトル空間で表になっている公理のうち，加法逆元の存在を満たしません。
*2:中島健三『復刻版 算数・数学教育と数学的な考え方』[isbn:9784491031309]の第2章に，「スカラー」は見当たらず，ベクトルについては，p.81で「乗法という形式は，(略)ベクトルや行列に関しても乗法という演算を考える際に，重要な役割をもつものである。」として言及されています。
