小学校算数のかけ算の話でアレイは，大人にとっても難しい，または混乱を招きやすいのかもしれません。再調査してみました。
1. 素朴なアレイ図と加工されたアレイ図
はじめに，「アレイ図」の例を4つ，示します。
それぞれの図の出典です。
- [6 by 9アレイ]と，{a,b,c}×{x,y}の図は，「乗法の意味についての論争と問題点についての考察」https://doi.org/10.32296/jjsmep.50.6_74
- □と△と○が3つの絵は，『誰もができる子どもに活用力をつけるワクワク授業づくり―第2回RISE授業実践セミナーの報告』p.69（場面を表すかけ算の式は，1つか，2つか）
- 丸うが正解の問題は，東京都算数教育研究会の令和3年度実態調査 第2学年 大問5(1) https://tosanken.main.jp/data/jittaityousa-kousatu/R04jittaityousakousatsuad/%E7%AC%AC%EF%BC%92%E5%AD%A6%E5%B9%B4%E7%B5%90%E6%9E%9C%E3%81%A8%E8%80%83%E5%AF%9F.pdf#page=3
実態調査の件は，同じページの解説文に「問題場面の数量関係に着目し，乗法の意味に基づいて被乗数と乗数を捉えてアレイ図に表し，立式することができるかをみる問題である。」と書かれています。
とはいえ「アレイ図に表し」ているのではなく「もんだいに 合う 図を えら」ぶ問題ですし，丸あ・丸い・丸のように，1つ分の数といくつ分が読み取れる状態の絵を「アレイ図」と呼ぶのには，戸惑いを覚えます。
4つの図を比較すると，[6 by 9アレイ]が，「素朴なアレイ図」であり，他の3つは，それぞれ異なる方法で「加工されたアレイ図」と見なすことができます。
「素朴なアレイ図」に書き足したり，記号を変えたりして，「加工されたアレイ図」を構成するのが自然な流れ，と言いたいのですが反対の事例もあります。『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』p.128の「縦に3段あること，横に4列あることが見いだせれば，3×4，又は4×3と式で表すことができる。」の件です。
写真をよく見ると，掲示物は列ごとにつながっています（最上段の上と最下段の下にはないので，つなぎではなく氏名や作品タイトルを書いたものだ，というのは無理があります）。このつながりも考慮に入れれば，写真を表すかけ算の式は，3×4のみである，という見方ができます。
しかし解説によると，この場面に対する式は「3×4」「4×3」の2つです。合計8個のつなぎを取り除くことが，「加工されたアレイ図」を「素朴なアレイ図」に変換する行為となっています。
2. アレイと，直積と，その中間
小学校算数のかけ算において，「アレイ」と「直積」を区別するのが有用に思えてきました。「同数グループ」と合わせて，それぞれの特徴は次のように表せます。
- アレイは同数グループに帰着して，式に表したり総数を求めたりできる。
- 直積はアレイに帰着して，総数を求めることができる。
- 直積は（アレイを経ずに）同数グループに帰着して，式に表したり総数を求めたりできる。
- アレイの各要素はそれぞれ区別されない。
- 直積の各要素はそれぞれ区別される。
- 同数グループの各要素は（ヒトやモノなど物理的には異なるかもしれないが，かけ算の式に表して求める際には）区別されない。
Greerによる分類表（サンドイッチの乗法構造）と照合すると，「同数グループ」は，Equal groupsのことです。「直積」は，Cartesian product（デカルト積）に対応づけるのがよさそうです。「アレイ」に一対一に対応するものはなく，Cartesian productに含まれるものと見なされます。また「帰着」の語は，前掲の「乗法の意味についての論争と問題点についての考察」(https://doi.org/10.32296/jjsmep.50.6_74)の本文に出現します*1。
さらに事例をみていくことで，「アレイの各要素はそれぞれ区別されない。」とも「直積の各要素はそれぞれ区別される。」とも異なるタイプの図があることに気づきました。「各要素の間で，同一のものがある。」と表すことができます。当ブログとメインブログから，いくつか挙げます。
ではその順序とやらに基づきこれを解いてもらえますかね？ pic.twitter.com/QBWye23dqS
— 数学の人 (@regulus_math) February 16, 2024
3×2と2×3のどちらでも求めることができる場面について，次のように形式化できます。
- 直積は，例えば{a,b,c}×{x,y}です。これは{x,y}×{a,b,c}と，集合としては異なりますが，要素数は同じです。
- 「各要素の間で，同一のものがある。」は，多重集合を使用して，例えば{{a,b,c},{a,b,c}}です。これは{{a,a},{b,b},{c,c}}と，多重集合としては異なりますが，要素数は同じです。
なぜ3×2と2×3（または，a×bとb×a）のどちらでも求めることができるかというと，この場面も，同数グループに帰着できるからです。その際，「1つ分の数（かけられる数）」は2種類あります*2。図からも，集合・多重集合からも，2種類の「1つ分」を見つけることができ，選んだ「1つ分」に基づき「いくつ分」が決まるのです。
