分数のわり算のミスコンセプション

mのリボンがあります。mずつ切った場合と，mずつ切った場合とで，あまりが短いのはどちらでしょうか。

新しい算数研究 2017年 05 月号 [雑誌]

　「新学習指導要領の徹底研究!」と題する，座談会形式の文章の中で，6年生の担任をしている盛山隆雄氏が授業で出したという問題です。問題文は座談会中のp.29にあり（上記は，求め方と答えが変わらない範囲で改変しています），写真入りの授業の状況が，pp.30-33の下部に記されています。
　本文から離れて検討してみます。まずは整数に置き換えます。問題文に出てくる長さを，すべて5倍にすると，次のようになります。

13mのリボンがあります。3mずつ切った場合と，4mずつ切った場合とで，あまりが短いのはどちらでしょうか。

　3年生でも求められる，あまりのあるわり算です。

• 3mずつ切った場合には，13÷3＝4あまり1で，3mのリボンが4本できて，あまりは1mです。
• 4mずつ切った場合には，13÷4＝3あまり1で，4mのリボンが3本できて，あまりは1mです。
• あまりの長さは「どちらも同じ」です。

　「mのリボン…」も同じです。

• mずつ切った場合には，÷＝4あまりで，mのリボンが4本できて，あまりはmです。
• mずつ切った場合には，÷＝3あまりで，mのリボンが3本できて，あまりはmです。
• あまりの長さは「どちらも同じ」です。

　ここで「÷＝4あまり」という式は，自明ではありませんし，小学校の教科書に載っていることも，期待できません。
　4年で学習する，被乗数，除数，商，余りの間の関係式，具体的には「（被除数）＝（除数）×（商）＋（余り）」*1にもとに，導出を試みます。はじめに整数からです。3mずつ切った場合の「13÷3＝4あまり1」は，「13＝3×4＋1」と表せます。
　両辺を5で割ると，「＝×4＋」となります*2。
　そしてこの式を，「あまりのあるわり算」で解釈するなら，「÷＝4あまり」となる，という次第です。
　座談会に記載の授業では，以下の2つが板書されています．

• ÷＝×＝＝　4本とれてmあまる。
• ÷＝×＝＝　3本とれてmあまる。

　板書写真では，これらの式の上で，「mずつ切った方があまりが短い!」が，大きな四角で囲まれています。座談会の中で盛山氏は，39人中22人がこのようにしたと話しています．
　これに対して「同じじゃないの?」という子どもの発言を発端として，意見交換がなされます。
　さまざまなとらえ方を通じて，前者の式の商の非整数部分であるは，長さそのものではなく，mずつ切った場合にその長さを1としたときの倍の長さ，すなわち×＝mであり，これがあまりとなること，後者も同様に×＝mがあまりであることを，学級で共有していました。
　ミスコンセプション（誤概念, p.31）は，を「4本とれてmあまる」と解釈すること，より具体的には，非整数部分をあまりの長さとみなしてしまうところにありました。
　子どもたちに誤解をさせよう，そしてその間違いに気づいてもらおう，というスタンスから離れるなら，今回の出題は，「あまりのあるわり算」は，分数どうしでも発生し得るのだと，読んで感じました。

*1:『小学校学習指導要領解説算数編』，PDF版ではp.138。

*2:右辺は×＋ではありません。そうならないことや，両辺を同じ数で割っても等式が成立することなどは，中学1年の学習事項です。