かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

What are the views on "order of multiplication" and "order of addition" outside Japan?

　書籍や論文を通じて知ることのできる，海外の算数教育や授業でも，a＋bとb＋a，a×bとb×aの対比が試みられており，答えは同じでも意味は違うことを重視するという見解になっています。
　海外では，「かけ算の順序」「たし算の順序」についてどのような見解を出していますか? - わさっきhbで紹介した各情報源の日本語訳を手直しし，文献を2つ追加しました。
(In math education and teaching outside Japan, the contrast between a + b and b + a or between a x b and b x a has been attempted in books and research papers. The view is to emphasize that the answers are the same but the meanings are different. I reworked the Japanese translations of the sources presented in my main blog post https://takehikom.hateblo.jp/entry/20151121/1448031600 and added references.)

Lannin et al. (2013)

  • Lannin, J., Chval, K., and Jones, D. (2013). Putting Essential Understanding of Multiplication and Division into Practice in Grades 3-5. National Council of Teachers of Mathematics. [isbn:9780873537155]

(p.43)
Another important aspect to consider is how to help your students connect these physical models with the symbolic representations for multiplication and division. As students begin to generate these representations, it is important that they encounter the formal mathematical symbols for multiplication and division and recognize their meaning. Being consistent in the symbolic expression that you use to refer to a model or situation will help students build their understanding. It is very important, for example, to write 4 x 5 consistently to stand for 4 groups of 5. Although 5 x 4 generates the same result as 4 x 5, many of the models for 4 x 5 differ from the models for 5 x 4. Suggesting to students that it does not matter whether they (or you) write 4 x 5 or 5 x 4 would be misleading, since they could then assume that 20 \div 4 is the same as 4 \div 20. Instead, clarifying that they are talking about 4 equal-sized groups of 5, written as 4 x 5, is important, ensuring that they can identify each group of 5 as well as the 4 groups in each physical representation that they create.
（また別の考慮すべき重要な点は，生徒たちがこれらの物理的なモデルと，かけ算やわり算の記号的な表現とを結びつけることを，どのように手助けするかです。生徒たちが式で表し始めるときに，かけ算とわり算の記号を知り，それらの意味を認識することが重要です。モデルや状況を参照するために使用する記号表現に一貫性を持たせることは，生徒たちの理解の構築に役立ちます。例えば，4つのグループの5（5ずつで4グループ）を表すのに一貫して4×5と書くことはとても重要です。4×5と5×4は同じ結果になりますが，4×5のモデルの多くは5×4のモデルと異なります。4×5と書くか5×4と書くかは問題ではない，と生徒たちに提案すると，20÷4は4÷20と同じだと思い込んでしまう可能性があり，誤解を招きます。その代わりに，4×5と書いて，5ずつで4グループというのを明確にすることが重要で，作成する物理的な表現では（「4×5をおはじきで表しましょう」や「4×5を図にしましょう」と尋ねたときに），4グループあることはもちろん、どのグループも5ずつである状況も、確認できることになります。）

サルカール アラニ (2010)

　日本語で書かれています。イランの授業のやりとりで(pp.6-7)，16×3と3×16とで答えは同じだけれど意味が違うことを子どもが発表し，先生は拍手を促しています。
(This article is written in Japanese. In an Iranian school class, a child announced that the answer is the same for 16 x 3 and 3 x 16 but the meaning is different, prompting the teacher to make a suggestion to applaud (pp.6-7).)

Chapin et al. (2009)

  • Chapin, S. H., O'Connor, C. and Anderson, N. C. (2009). Classroom Discussions—Using Math Talk to Help Students Learn, Grades K-6, Second Edition. Math Solutions. [isbn:9781935099017]

(p.4)
7. Mrs. S: OK, so we have two different ideas here to talk about. Eddie says that order does matter, because five times two and two times five can each be used to describe a different situation, like two bags of five apples or five bags of two apples. So the two number sentences mean different things. And Tiffany, are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?
（7. 先生：分かりました。2つの違った考えが出てきましたね。エディさんは，順序は重要だと言いました。なぜなら2倍の5と5倍の2は，「5個入りのリンゴが2袋」と「2個入りのリンゴが5袋」のように，それぞれ違った場面を表すのに使えるからです。つまり，（かける数とかけられる数を入れかえた）2つの式は異なるものを表すのですね。さてティファニーさん，あなたは，そんな2つの式が違った場面を表すのに使えないって言うのですか?）
8. Tiffany: No, I mean that even though the two situations are different, the answer is the same.
（8. ティファニー：いいえ，私が言いたいのは，その2つの場面が違っていても，答えは同じだってことです。）
9. Mrs. S: OK, so you're saying that order doesn't matter because the answer is the same?
（9. 先生：分かりました。じゃあ，答えが同じだから，順番は重要じゃないというのですか?）
10. Tiffany: Right.
（10. ティファニー：そうです。）
11. Mrs. S: OK. We need to think about this. In Eddie's statement, order makes a difference in the situation you're describing. In Tiffany's statement, order doesn't make a difference in the answer we get. So when does order make a difference in multiplying two numbers together?
（11. 先生：分かりました。このことについてみんなで考える必要がありますね。エディさんの意見では，順序は，場面を表す際の違いをもたらします。ティファニーさんの意見だと，同じ答えになるのだから違いはありません。では，2つの数をかけ合わせて，順序が違いをもたらすのは，どんなときでしょうか?）

Greer (1992)

(p.276)
A situation in which there is a number of groups of objects having the same number in each group normally constitutes a child's earliest encounter with an application for multiplication. For example,

3 children have 4 cookies each. How many cookies do they have altogether?

Within this conceptualization, the two numbers play clearly different roles. The number of children is the multiplier that operates on the number of cookies, the multiplicand, to produce the answer. A consequence of this asymmetry is that two types of division may be distinguished.
（いくつかのグループがあって，各グループで同じ個数のモノがあるときというのが，通常，子どもが最初にかけ算を適用する場面となります。例えば

3人の子どもが4枚ずつクッキーを持っています。全部合わせるとクッキーは何枚ですか。

　これをかけ算の式で表そうとするとき，2つの数は明らかに異なる役割を担います。子どもの数は「乗数」であり，クッキーの数すなわち「被乗数」に作用して，答えとなる総数が得られます。この非対称性の結果として，2種類のわり算が区別されます。）

(p.277)
Cartesian products provide a quite different context for multiplication of natural numbers. An example of such a problem is

If 4 boys and 3 girls are dancing, how many different partnerships are possible?

This class of situations corresponds to the formal definition of m × n in terms of the number of distinct ordered pairs that can be formed when the first member of each pair belongs to a set with m elements and the second to a set with n elements. This sophisticated way of defining multiplication of integers was formalized relatively recently in historical terms.
There is a symmetry between the roles of the two numbers here, and hence only one type of division problem. Given that there are 12 possible partnerships, there is no essential difference between (a) being told that there are 4 boys and asked how many girls there are and (b) being told that there are 3 girls and asked how many boys. (In fact, it would be unusual to pose division problems of this type.)
（デカルト積は，自然数の乗法に対してまったく異なる文脈を提供します。そのような問題の例は

4人の男の子と3人の女の子がダンスをしているとき，男女のペアは何通りできますか。

　このような状況は，m×nを，各ペアの最初のメンバーがm個の要素を持つ集合に属し，2番目のメンバーがn個の要素を持つ集合に属するときに形成できる，異なる順序のペアの数によって，形式的に定義することに対応します。このように整数の乗算を定義する洗練された方法は，歴史的に見ると比較的最近になって公式化されたものです。
　この場合，×の前後に書く2つの数の役割は対称性を持ち，したがって除法の問題は1種類だけとなります．男女のペアは12通りであることを前提として，「(a) 4人の男の子がいるとき，女の子は何人いますか」と「(b) 3人の女の子がいるとき，男の子は何人いますか」の間に本質的な違いはありません。（むしろ、この種の除法の問題を出す方が珍しいのですが。））

(p.286)
For multiplication, they proposed that the primitive model is repeated addition. In an equal-groups situation, such as 3 children having 4 oranges each, the situation can be conceptualized as 4 oranges + 4 oranges + 4 oranges, and the answer can then be calculated by repeated addition. This representation generalizes naturally to a situation such as 3 children having 4.2 liters of orange juice each, which can be conceptualized as 4.2 liters + 4.2 liters + 4.2 liters. For a situation to be assimilable to this model, the crucial factor is that the multiplier must be an integer; no restriction applies to the multiplicand. Moreover, this model of multiplication carries the implication that the result is always larger than the multiplicand.
For equal groups or equal measures, this condition is met by definition. However, the multiplicand/multiplier distinction applies in other classes of situation (see Table 13.1) and, in general, multiplicand and multiplier may be integers, fractions, or decimals. For example, consider the following contrasting pair:
A rocket travels at a speed of 16 miles per second. How far does it travel in 0.85 seconds?
A rocket travels at a speed of 0.85 miles per second. How far does it travel in 16 seconds?
From a purely computational point of view both problems involve the multiplication of 16 and 0.85, but the former is more difficult to envisage as requiring multiplication for solution; many children, indeed, judge that the answer would be given by 16÷0.85 (Greer, 1988).
Results from several experiments using problems from a variety of situation classes consistently show the multiplier effect (De Corte, Verschaffel, & Van Coillie, 1998, p. 203), namely that the difficulty of recognizing multiplication as the appropriate operation for the solution of a problem depends on whether the multiplier is an integer, a decimal greater than 1, or a decimal less than 1 (Bell et al., 1984; De Corte et al., 1988; Fischbein et al., 1985; Luke, 1988; Mangan, 1986). The size of the effect, in terms of the difference in percentage of correct choices, is of the order of 10-15% for the difference between integer and decimal greater than 1 as multiplier. For the difference between integer and decimal less than 1, the size of the effect is of the order of 40%-50%. When the multiplier is less than 1, there is the added difficulty that the result is smaller than the multiplicand, which is incompatible with the repeated addition model. By contrast, the findings from these experiments show that it makes no appreciable difference what type of number appears as the multiplicand. Thus, these results for the interpretation of word problems modeled by multiplication show a clear pattern that is consistent with the theory advanced by Fischbein et al.
（乗法に対して，彼ら（訳注1）はその原始的なモデルは累加であると述べました。「同等のグループ」の場面，例えば3人の子どもが4個ずつオレンジを持っているというとき，その場面は4＋4＋4として概念化され，その答え（総数）は累加によって計算できます。この立式の仕方は一般化して，3人の子どもが4.2リットルずつのオレンジジュースを持っているという場面にも適用できます。式は4.2＋4.2＋4.2です。このモデル（累加モデル）に属する場面の，重要な特徴は，乗数が整数でなければならないことです。被乗数に制約はありません。さらに，このモデルでは，結果が常に被乗数よりも大きくなる（訳注2）ことを含みます。
　「同等のグループ」あるいは「同等の量」に対して，この性質は明らかに満たされます。しかし，被乗数と乗数の区別は（表13.1にある）他の場面の分類にも見られ，そのとき一般に，被乗数と乗数は整数・分数・小数のいずれでもかまいません。例えば，次の対照的なペアを考えましょう：
あるロケットは1秒間に16マイルのスピードで進みます。0.85秒ではどれだけ進みますか。
あるロケットは1秒間に0.85マイルのスピードで進みます。16秒ではどれだけ進みますか。
　純粋に，計算の観点では，どちらの問題も，16と0.85をかければ答えとなります。しかし前者のほうが，答えとして乗法を使用すると考えるのが難しいのです。実際，多くの子どもたちが，16÷0.85を解答として選択しています（訳注3）。
　様々な分類の（乗法の）場面に基づいた出題で，実験がなされ，いずれも乗数効果，すなわち，ある問題を解く際に適切な演算として乗法を認識・選択することの困難さが，乗数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のうちどれであるかに依ること，を示しています。効果の大きさを，正答率の差で表すことにすると，乗数が「整数」と「1より大きい小数」の間では10-15%です。乗数が「整数」と「1より小さい小数」の間では，効果の大きさは40-50%になります。乗数が「1より小さい小数」のとき，積が被乗数よりも小さくなる（累加モデルには見られない）ため，難しさがアップします。その一方で，これらの実験の知見として，被乗数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のいずれであるかは，感知できるほどの違いを見せていなません。乗法の文章題の解釈に関する，この結果は，Fischbeinらが提案した理論に合致し，明確なパターンを示しています。）
訳注1：Fischbeinらを指します。この記述の前に，一つ文献が紹介されています。1985年の論文の，かけ算とわり算の文章題をご覧ください。
訳注2：0をかける場合は，想定していません。実際，「0人の子どもが4個ずつオレンジを持っている」「0人の子どもが4.2リットルずつのオレンジジュースを持っている」というシチュエーションは変ですね。
訳注3：選択肢の中から正しい式を選ばせる出題です。

Anghileri & Johnson (1988)

  • Anghileri, J. and Johnson, D. C. (1988). Arithmetic Operations on Whole Numbers: Multiplication and Division. In Post, T.R. (Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8, Longman Higher Education, Allyn and Bacon, pp.146-189. [asin:0205110762]

(p.157)
When considering how the symbolic expression 3×4 is interpreted by adults and children, we find the most common expressions are "3 multiplied by 4," "3 times 4," and "3 fours." Some people will use the expressions quite interchangeably on the understanding that all three are equivalent; in the domain of mathematics this may be acceptable but in real life there is an important distinction between these different interpretations. On one hand "3 times 4" and "3 fours" usually relate to three sets of four objects and are consistent with "3 lots of 4."
For children, three lots of four and four lots of three are fundamentally different. They think in concrete terms---three children each having four candies are luckier than four children each having three candies although the total number of candies is the same.
（3×4という式が何なのか，大人と子どもが説明すると，たいてい「3に4をかける」「3倍の4」「3つの4」のいずれかとなります。これら3つの解釈を同じものとして理解し，どれを使っても変わりがないように，3×4という式を使う人もいます。数学的には，その扱いで問題ないかもしれませんが，日常生活においては，これらの解釈には大きな違いがあります。「3倍の4」と「3つの4」は普通，4つのモノからなる集合が3つある状態に関連づけられ，「4が3つ」に対応します。
　子どもたちにとって，「4が3つ」と「3が4つ」は基本的に別物です。具体物で考えると---4つずつキャンディを持っている3人の子どもは，3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも，運がいいのです。キャンディの総数は同じなのですが。）

(p.158)
Exercises
1. Give some real-life examples of situations in which a multiplication product a×b (for example, 5×6) is not the same as b×a (6×5).
（練習問題．1. a×bとb×a（例えば，5×6と6×5）が同じでないような，日常生活の例を挙げなさい。）

(p.177)
The balance or symmetry in the multiplication square relates to a very important property called the commutative property of multiplication, which states that for any two numbers a and b, a×b＝b×a (for example, 3×4＝4×3). Note that this is a property of numbers. While it is true that 3×4 is equal to 4×3, 3×4 may not be the same as 4×3 in a real-life situation.
（かけ算の表の釣り合いや対称性は，乗法の交換法則と呼ばれる重要な性質に関連しています。すなわち，任意の2つの数aおよびbに対して，a×b＝b×aです．例えば3×4＝4×3となります。注意しないといけないのは，これは数の性質である点です。．3×4が4×3と等しいのは事実ですが，日常生活においては，同じでない可能性があるのです。）

Vergnaud (1988)

  • Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol.2, pp.141-161. [isbn:0873532651]

(p.144)
1. Connie wants to buy 4 plastic cars. They cost 5 dollars each. How much does she have to pay?
a) 5＋5＋5＋5＝20
b) 4・5＝20
c) 5・4＝20
d) 4＋4＋4＋4＋4＝20
（1. コニーは4個のおもちゃの車を買いたい。1個は5ドルです。いくら払わないといけないですか? 式省略）

(p.146)
The comparative facility of isomorphic over functional properties is even easier to show by considering all four procedures a, b, c, and d. Procedure b is a meaningful concatenation of procedure a. The cost of 4 cars = the cost of 1 car, plus the cost of 1 car, plus the cost of 1 car, plus the cost of 1 car. Expressed formally in terms of the isomorphic property for addition, this is f(1+1+1+1) = f(1)+f(1)+f(1)+f(1), and in terms of the isomorphic property for multiplication, f(4・1)=4・f(1). Procedure d is meaningless in terms of cars and costs. Twenty dollars cannot be 5 cars + 5 cars + 5 cars + 5 cars. Young students apparently are aware of this and never user procedure d. So there is a strong asymmetry between procedures b and c. They are not conceptually the same, although because of the commutativity of multiplication they may be mathematically equivalent.
（同型性は，4つの手続きaからdまでをまとめて検討することで，より容易に示されます。手続きbは，手続きaと意味をもってつながっています。4台の値段とは，1台の値段＋1台の値段＋1台の値段＋1台の値段です。加法における同型性を，式で表すと，f(1＋1＋1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＋f(1)であり，乗法における同型性によって，f(4・1)＝4・f(1)となります。手続きdは，車の数と価格の観点から，無意味となります。20ドルは，5台の車＋5台の車＋5台の車＋5台の車にはなりません。児童たちはどうやらそのことに気づいているらしく，決して手続きdを使いません。そのため，手続きbとcの間には強い非対称性があります。それらは，乗法の交換法則によって数学的には等しいかもしれませんが，概念的には同一ではないのです。

Ohlsson (1988)

  • Ohlsson, S. (1988). Mathematical Meaning and Application Meaning in the Semantics of Fractions and Related Concepts. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, pp.53-92. [isbn:0873532651]

(p.59)
The referential mappings created by the two concepts of growing and of combining are not identical. When addition is interpreted as growth, the arguments are not interchangeable. Incrementing ten by two is not the same process as incrementing two by ten.5 When addition is interpreted as combining, on the other hand, the arguments are interchangeable. Combining five with three is the same process as combining three with five. In the growth interpretation of addition the first argument and the result both refer to the same quantity, although at different points in time, while in the combining interpretation the two arguments and the result refer to three distinct quantities. Neither the sense not the reference is the same in the two applications (see Figure 1).
（増加と合併という，2つの概念から作られる参照の図式は異なります。たし算を増加と解釈するとき，2つの値（被加数と加数）は交換可能となりません。10に2を加えることは，2に10を加えるのと同じプロセスではありません。一方，たし算を合併と解釈すると，2つの値は交換可能となります。5と3を合わせることは，3と5を合わせるのと同じプロセスです。たし算を増加と解釈した場合，最初の値と結果（和）は，異なる時点の同じ種類の量を表します。それに対し，合併と解釈した場合には，2つの値と結果はそれぞれ異なる量を表します。たし算をもとにした2つの応用（増加と合併）に関して，それらは意味も参照の図式も異なります（図1）。）

(p.92)
5 This fact is sometimes described as a lack of commutativity on the part of the addition function. But the mathematical construct of addition cannot have the property of commutativity in some contexts and lack it in others. Addition is defined to be commutative. But when the addition construct is interpreted as describing growth, (5 + 3) and (3 + 5) refer to two different growth processes. The difference between the two cases resides in the real world, not in the mathematical construct.
（5 この事実はときどき，たし算の関数が可換性を欠いていると記述されることがあります。しかし，たし算の数学的構成について，ある文脈では可換性を持ち，別の文脈では持たないということはありえません。たし算は可換であると定義されています。しかし，たし算が成長を表すと解釈した場合，（5＋3）と（3＋5）はそれぞれ異なる成長過程を意味します。この2つの事例の違いは，数学的構成ではなく，実世界に存在します。）

Daroczy et al. (2015)

Mathematical solution strategy variations have been studied extensively, and can be a function of linguistic factors like wording, semantic categories and propositions. However, how individuals come up with mathematical solution strategies can be also be influenced by numerical factors like number magnitude (Thevenot and Oakhill, 2005). Such variables, which are independent of other factors, make WPs harder and/or influence numerical representations, have rarely been studied. The position/place of the unknown variable has an effect on representation (Garcia et al., 2006). Even studies about working memory also investigated the position of the unknown variable (Swanson, 2004). The strategy of counting on from larger is easier if the bigger number is represented first (Wilkins et al., 2001). Even for adults: 4 + 2 = 6, and 2 + 4 = 6, which are mathematically equivalent, may psychologically imply different meanings (Kaput, 1979). The sequence of the numbers, e.g., whether a problem starts with the smaller or with the larger number (Verschaffel and De Corte, 1990), the position of the numbers and particular words (Schumacher and Fuchs, 2012) influence children's solution of elementary addition and subtraction problems. For example, in change problems children typically look for a specific number to begin with, depending on task features, like the first mentioned number (Lean et al., 1990; Wilkins et al., 2001), the type of problem (start or change set), and the size of the numbers (Verschaffel and De Corte, 1990).
（数学的な解法方略のバリエーションは，これまで大規模にわたって研究されてきており，語法や意味カテゴリー，命題と同様に，言語的な因子の機能となり得ます。しかしながら，各個人がどのようにして数学的な解法方略を考え出すかというは，数の大きさといった数的な要因にも影響されます。他の要因と独立であり，文章題を難しくし，数的表現に影響を及ぼすような変数というのは，ほとんど研究されていません。未知の変数の位置は，答え方に影響します。作業記憶に関する研究でも，未知の変数の位置について調査がなされてきました。大きな数から始めて数え足すという方略は，大きな数が先に出現するならより簡単と言えます。大人にとってみれば，数学的に等価な4＋2＝6と2＋4＝6という式が，心理的には異なる意味となることもあります。数の並び，例えば問題で先に来るのが小さな数か大きな数か，また数や特定の語句の配置が，初歩的な加減算の問題を子どもたちが解く際に影響を与えます。例えば，変化の問題において子どもたちはよく，最初に出現する数，問題の種類，数のサイズのような，課題の性質に応じて，決まった数をはじめに探します。）

Courant et al. (1996)

  • Courant, R., Robbins, H., and Stewart, I. (1996). What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Second Edition. Oxford University Press. [isbn:0195105192]

　wikipedia:en:What_Is_Mathematicsによると，最初の版は1941年に出版され，そのときの著者はCourantとRobbinsでした。
(According to wikipedia:en:What_Is_Mathematics, the first edition was published in 1941, when the authors were Courant and Robbins.)

(p.2)
1) a + b = b + a, 2) ab = ba,
3) a + (b + c) = (a + b) + c, 4) a(bc) = (ab)c,
5) a(b + c) = ab + ac.
The first two of these, the commutative laws of addition and multiplication, state that one may interchange the order of the elements involves in addition or multiplication. (snip)
These laws of arithmetic are very simple, and may seem obvious. But they might not be applicable to entities other than integers. If a and b are symbols not for integers but for chemical substances, and if "addition" is used in a colloquial sense, it is evident that the commutative law will not always hold. For example, if sulphuric acid is added to water, a dilute solution is obtained, while the addition of water to pure sulphuric acid may result in disaster to the experimenter. Similar illustrations will show that in this type of chemical "arithmetic" the associative and distributive laws of addition may also fail. Thus one can image types of arithmetic in which one or more of the laws 1)-5) do not hold. Such systems have actually been studied in modern mathematics.
（最初の2つは，たし算とかけ算の交換法則で，たし算やかけ算に含まれる要素の順番を入れ替えてもよいというものです。(略)
　算術に関するこれらの法則は非常にシンプルであり，自明であるように思えるかもしれません。しかし整数以外の対象には適用できない可能性があります。aとbが，整数ではなく化学物質を表す記号であるとし，かつ「たし算」を口語的な意味で使うとすれば，交換法則は常に成り立つとは限りません。例えば，硫酸を水に加えると，希薄な溶液が得られるのに対し，水を純粋な硫酸に加えると，実験者に大惨事をもたらすかもしれません。同様に，化学的な「算術」によって結合法則や分配法則が成立しないような例も示せるでしょう。ですので，1)から5)までの法則のうち一つまたはそれ以上が成り立たないような算術を考えることができます。実際，そのような体系が現代数学で研究されています。）

補足

　本記事のいくつかの日本語訳および英訳では，DeepL翻訳ツールの生成結果を下訳として使用しています。