- Johansson, I.: Collections as One-and-Many on the Nature of Numbers, Grazer Philosophische Studien, Vol.91, pp.17-58 (2015). http://dx.doi.org/10.1163/9789004302273_003
サマリを機械翻訳にかけただけでは，何をする内容なのかが読み取れませんでした。wikipedia:ピーター・サイモンズとwikipedia:エトムント・フッサールという人物名（の主張や著書）があるのは把握しました。数の性質(the nature of numbers)を，哲学的に解明しようという研究のように見えます。
読み進めたところ，最初に数式が出現するのはp.28の「5 + 5」です。かけ算の式の「3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3」はp.41です。「[e,e,e] + [e,e,e] + [e,e,e] + [e,e,e] = [e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e]」やその左辺全体に[と]をかぶせた等式が，p.43に見られます。
本記事で最も関心を持ったのは，p.44です。(Yoshida 2009)という引用があります。抜き出して私訳を添えます。
The positing of apprehensions of levels within second-order collections has also another interesting consequence. It does in a simple way explain the following fact, discussed in mathematical pedagogic (Yoshida 2009). In pure arithmetic, 3 × 4 = 4 × 3, and there is no need to bother about what number is the multiplicand (first factor) and what is the multiplier (second factor). In applied arithmetic, however, things are different. If a child is told to calculate by multiplication how many apples there are in 4 baskets with 3 apples each, it should use the multiplication 3 × 4, three (apples) times four (baskets), but if there are 3 baskets with 4 apples each, it should use 4 × 3, four (apples) times three (baskets).
（2階のコレクションを持つレベルの理解を仮定することで，また別の興味深い結果をもたらす。それは，数学教育学で議論されている次のような事実を簡単な方法で説明する(Yoshida 2009)。純粋算数では，3×4＝4×3であり，どの数字が被乗数（第1因子）で，どの数字が乗数（第2因子）なのかを気にする必要はない。しかし，応用算数では事情が異なる。リンゴが3個ずつ入ったカゴが4つあるとき，何個のリンゴがあるかをかけ算で計算しなさいと言われたら，子どもは3（リンゴの数）かける4（カゴの数）で，3×4を使うが，リンゴが4個ずつ入ったカゴが3つあるというのなら，4（リンゴの数）かける3（カゴの数）で，4×3を使う。）
In the square bracket collection symbolism I have introduced, the difference mentioned is made visible as a difference between two different kinds of second-order collections. That is: the purely arithmetic expression '3 × 4' is abstracted from the applied arithmetic expression [[e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e]], but the purely arithmetic '4 × 3' is abstracted from the applied arithmetic expression [[e,e,e,e] , [e,e,e,e] , [e,e,e,e]]. These second-order expressions are as such distinct, below symbolized as 2≠2 (the subscripts indicate that only second-order entities are related), which means that we can state that
[[e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e]] 2≠2 [[e,e,e,e] , [e,e,e,e] , [e,e,e,e]],
even though these two distinct second-order collections are grounded in one and the same first-order collection, [e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e].
（先に導入した[ ]を用いたコレクションの記法において，2階のコレクションの種類の違いは視覚化できる。すなわち，純粋算数の3×4という式は，[[e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e]]という応用算数の式から抽象化したものであるが，純粋算数の4×3という式は，[[e,e,e,e] , [e,e,e,e] , [e,e,e,e]]という応用算数の式から抽象化したものである。これらの2階の式が異なるのは，2≠2（左右の2は2階の実体のみを関連付けることを表す）という記号を用いて，次のように表せる。
[[e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e]] 2≠2 [[e,e,e,e] , [e,e,e,e] , [e,e,e,e]]
ただしこれらの2階のコレクションは，1階のコレクションにすると同じ[e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e]になる。）
取れるのは，「3×4と4×3，答えは同じでも表記が違う」です。2つの自然数のかけ算は，2階のコレクションにより表現でき，そこから内側の[ ]を全て除去*1して1階のコレクションとすれば，その要素数が積となります。
(Yoshida 2009)の書誌情報は，次のとおり書かれていました。
Yoshida, Makoto 2009: “Is Multiplication Just Repeated Addition?” Lecture at 2009 NCTM Annual Conference: http://www.globaledresources.com/resources/assets/042309_Multiplication_v2.pdf .
記載のURLはデッドリンクでしたが，Internet Archiveで調べてみると，https://web.archive.org/web/20160303173651/http://www.globaledresources.com/resources/assets/042309_Multiplication_v2.pdfより入手できました。PDFの最初のページの下半分が，「3×4を表した図はどっち?」です。進めていきp.10の下のスライドで，4×3＝12の3つの数にそれぞれ"number of object in each group"，"number of group", "total number of objects"を対応付けています。これを根拠にすると，3×4は●●● ●●● ●●● ●●●のほう，(Johansson 2015)の2階のコレクションだと[[e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e]]であることが分かります。
1階および2階のコレクションを用いることで，何が同じで何が異なるかを見ることができました。ただ今回書き出した内容には不満もあります。というのは，[[e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e] , [e,e,e]]は，かけ算ではなく，3＋3＋3＋3というたし算（累加）を表すものではないかということです。コレクションの要素は順序を持たないとすると，[[e,e,e] , [e,e,e,e]] 2＝2 [[e,e,e,e] , [e,e,e]]になるように，思えてならないのです。
