「5＋4」とは，＋5と＋4

• 齋田雅彦: 教え方のコツがわかる! “なぜ"に答える 小学校6年分の算数, ナツメ社 (2017).

教え方のコツがわかる! “なぜ"に答える 小学校6年分の算数

　奥付によると，著者は「齋田算数理科教室」塾長とのこと。http://sansu-rika.com/が見つかりました。算数と理科に加えて「工作」があること，飲食自由・ノート非推奨で撮影推奨といった授業ルール，そして小4～小6は中学受験をしない子の方が多いなど，小学生向けの「塾」の既成概念を破っているように感じました。
　本の内容ですが，「3＋2×4は、どうして20にならないの?」の項目(pp.36-38)に違和感を覚えました。この質問への答え（理由）については，p.36に赤字で，「かけ算やわり算の方が、たし算やひき算よりも強いので、先に計算しないといけない」とあり，42ページでは，「バラ売りの桃を3個と、2個パックの桃を4パック」を使って，3＋2×4＝5×4＝20と計算することのおかしさを解説しています。これらは納得できます。
　違和感というのはp.37です。最初の段落を書き出します。

「5＋4」とは、より正しく言うと、＋5と＋4のことを示しています。そして、＋5と＋4につながりはありません。同じように、「5－4」は、正しくは＋5と－4のことを示しています。つまり、＋5と－4につながりはありません。それぞれを入れ替えると、こうなります。

　　＋5＋4　　＋5－4
　　＋4＋5　　－4＋5

　原文では，本文中，入れ替えを行う式のいずれも，「＋5」は緑で，「－4」は赤で，丸囲みされています。すぐ下には，男の子らしき顔の絵と，「中学生になってから習う項という考え方です。」と発言する，吹き出しがついています。
　中学以降に学んだことと，合いません。正負の数を意識するなら，「5＋4」は「（＋5）＋（＋4）」と書きます。この「（＋5）」や「（＋4）」が，項です。
　そして，5と4の前につけた＋記号は，符号なのに対して，真ん中の＋は，加法（たし算）を表す記号です。プログラミング*1ではそれぞれ，単項演算子・2項演算子として区別されます。
　このように表記することで，負の数を含めた交換法則により，（＋5）＋（＋4）＝（＋4）＋（＋5）が成立します。交換して計算を行うまでの流れは，5＋4＝（＋5）＋（＋4）＝（＋4）＋（＋5）＝4＋5＝9と表せます。
　ひき算は，5－4＝（＋5）＋（－4）＝（－4）＋（＋5）＝－4＋5＝1となります。最後の－4＋5＝1については，計算ではなく，例えば「数直線で－4のところから正の向きに5だけ進むと1に着く」ことにより求められます。
　かけ算とわり算からなる式についても同様です。同書のp.38では，12÷3÷4について「＋12÷3÷4＝＋12÷4÷3」という式変形を行っていますが，かけ算（そして逆数と，乗法の単位元である1）を用いて，12÷3÷4＝1×12××と表すことにします。
　そうすると，乗法の交換法則より1×12××＝1×12××が成立し，この右辺は12÷4÷3のことです。1××12×や1×××12といった式も得られ，それぞれ1÷3×12÷4，1÷4÷3÷12に対応づけられます。
　上記で「1×」が出現するのは，＋5は「プラス5」という数を表すことにも，「5を加える」というオペレータとしても使用できるのに対し，「×12」はオペレータ（12をかける，または，12倍する）に限定されるためです。＋数または－数を，常にオペレータと見なすなら，加法の単位元0を入れて，0＋（＋5）＋（＋4）や0＋（－4）＋（＋5）と書くことにすれば，統一的に扱えます。

　「「0」も3の倍数に入るって本当?」(pp.49-50)のところで「「0」も、立派な3の倍数なんです。」「なるほど～。「0」も3の倍数に入るんだね。」と吹き出しにした直後，p.51では6と8の公倍数を求めるにあたり，6の倍数と8の倍数を小さい数から書き出すとなると，0が出現しないのには，しばらく唖然としました。ゼロ除算に関する，「正しくは、次のようになります。」(p.220)の2番目の式として書かれた，「5÷0＝∞（無限大）」(同)のところもです。

*1:同書のp.221は「ちなみに、コンピュータプログラミングの世界でも、「0 Devide」（0でわるという意味）は、プログラムが異常終了してしまうので禁止されています。」で締めくくられています。えっと，「禁止」ではなく，ランタイムエラーとするなど，いまのプログラミング環境ではそれなりに対処がなされています。