整除と類別，2の倍数と偶数 - かけ算の順序の昔話

　「小学校の算数において，0は偶数だけれど，2の倍数には入れない」件を見直します。はじめにこれまでの情報の整理です。自分が手がけたものではないのですが，以下のページがもっとも分かりやすいと思います。

「0は偶数だが，2の倍数ではない」（算数） | メタメタの日

　当ブログでは2017年の7月から8月にかけて，いくつか記事を書きました。

　一連のツイートを行ったのは，2017年6月，新しい『小学校学習指導要領解説算数編』の最初のバージョンが出て数日後のことでした。

　2018年の出版物として，『算数教育指導用語辞典』の第五版は，第四版と同じ内容でした。算数教育指導用語辞典第五版を読んだより，該当箇所を書いておきます。

　[2] 倍数・約数
　整数の集合を考察する立場としては，ある整数でわったあまりに着目して類別して考察する場合と，整除性に着目して考察するする場合との二つがある。整数を倍数，約数といった観点から考察するのは，後者の立場である。
　倍数・約数は，分数の約分や通分の際に用いられる大切な内容である。
　(1) 倍数
　ある整数の倍数は，次々に幾つでも作られるという性質がある。例えば，3の倍数は3，6，9，12，15，18，21……というように無限に続くことになる。
　なお，小学校では0を偶数としては扱うが，発達段階からみて指導上に困難点があるので，0をある整数の倍数として扱うことはしていない。0を整数nの倍数としてみるのは中学校である。

　倍数を考える際には0を対象としないと読み取れる情報が，昭和33年改訂の小学校学習指導要領に入っていました。http://www.nier.go.jp/guideline/s33e/chap2-3.htmの第5学年の指導上の留意事項，「倍数，約数の指導は，分数の計算に必要な程度にとどめること。」です。数学的に0は2の倍数かつ3の倍数だからといって，3分の2は，0分の0だとするわけにはいきません。
　なお，昭和43年改訂（昭和46年施行）の小学校学習指導要領では，http://www.nier.go.jp/guideline/s43e/chap2-3.htmによると，留意事項（いわば補足）ではなく内容（メインで指導すること）に入り，表現が「簡単な場合について，倍数，約数などについて知ること。」に変わっています。この「簡単な場合について」というのは，桁数の多い数に関する倍数や約数を学習する（公倍数・公約数を計算できる）のを除外すると解釈もできますが，昭和33年の内容と比較すると，表現を変えたとはいえそこでも，倍数・約数を考えるにあたって0を対象としないことを，暗に含んでいるように思えます。

　出版物やWebの情報発信から少し離れ，整除，偶数そして倍数に関して，2項演算および単項演算との関連性を考えてみます。
　2項演算と単項演算の違いは，たし算やかけ算にも現れます。かけ算なら，「5と3をかけると15（5×3＝15）」のように，2つの因数について自由に（小学校算数の場合は0を含む整数の範囲で）値を変えることができます。これが2項演算です。それに対し，「1に3をかけると3（1×3＝3），2に3をかけると6（2×3＝6），…，5に3をかけると15（5×3＝15）」という見方もできます。この場合，「に3をかける（×3）」が固定され，かけられる数を3倍して，かけ算の答えを得るということになります。かける数のほうは固定し，かけられる数だけが可変なので，単項演算となります。かけられる数のほうを固定し，かける数を変えることもできます。被乗数固定は，2年で何の段として学習する際に活用されます。
　かけ算を2項演算と見る場合，「5と3をかけると15（5×3＝15）」と「3と5をかけると15（3×5＝15）」とは同等となります。それに対し単項演算においては「5に3をかけると15（5×3＝15）」と「3に5をかけると15（3×5＝15）」とは概念的に異なる*1ものになります。
　わり算について，5÷3と3÷5を同一視するわけにはいきません。ですが「比」は，2項演算と単項演算を考えることができます。「酢とサラダ油の量は3:5」*2と書くのが，2項演算の見方です。2つの値を自由に変えられるほか，「サラダ油と酢の量は3:5」と書くこともできます。
　この酢とサラダ油の体積比に関して，サラダ油を基準として，酢はどのくらいの割合になるかを考えることもできます。3÷5＝0.6と計算したとき，サラダ油1に対して，酢をその0.6倍の量にすれば，同じ配合になるというわけです。3÷5＝0.6は3:5の比の値と呼ばれます。酢を基準としたときの，サラダ油の割合は，異なる数（逆数）になります。
　整除は，素朴には「aがbで割り切れる」と定義されます。これについて，2つの数をとりますが，加減乗除と異なり，整除の結果は「割り切れる」または「割り切れない」，ですので真偽値です．整除は2項演算というよりは2項関係と捉えるのが自然ですが，wikipedia:二項演算ではベクトルの内積を例に，「2変数の写像f:A×B→Cを形式にこだわらずに二項演算とか積などと呼ぶ場合もある」と述べられており，整除も同様に扱うことにします（AとBは整数全体の集合，Cは例えば{T, F}）。「割り切れる」ための十分条件として，bが0のときにも扱えるよう，「a＝kbを満たす整数kが存在する」と書くこともできます。小学校の算数なら，a，b，kには具体的な数を入れた上で，「a＝b×kと表される」となります。
　整除をもとに偶数を定義するには，b＝2に限定します。1は2で割り切れないので，偶数ではありません。2は2で割り切れるので，偶数です。3は2で割り切れないので，偶数ではありません。4は2で割り切れるので，偶数です…として，まずはすべての正整数について，偶数かそうでない（奇数）かを判別できます。0に関しても，0は2で割り切れるので，偶数とです。負の数も同様に奇偶判定ができます。一つの値を固定して，他方の値を任意に変えるというのは，単項演算の見方となるわけです。
　ところでbは，他の定数にもできます。実際，b＝3とすると，整数全体を，3で割り切れるか，1余るか，2余るか，という3種類に分割することができます*3。このことに関連する用語は「剰余類」です。この語は，小学校の算数では学習しませんが，かわりに『算数教育指導用語辞典』や『小学校学習指導要領解説算数』に出現するのは「類別」です*4。
　かけ算では，2項演算の一つの因数を固定することで，単項演算を考えました。整除から偶数（や剰余類）を考えるのも同様でした。それらは，2年で学習するかけ算や，5年で学習する偶数・奇数について，（数学的背景のもとで）定義する方法の一つであり，それに従う必要がない点にも注意したいところです。2＋2＋2＝6というたし算（累加）の考え方は，かけ算にも，偶数かどうかの判定にも，活用できます。

*1:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140924/1411511070より：「手続きbとcの間には強い非対称性がある．それらは，乗法の交換法則によって数学的には等しいかもしれないが，概念的には同一ではない．」

*4:ただし「類別」は，「ある整数でわったあまりに着目」以外にも考えることができ，例えば（0以上の）整数を，「素数」と「合成数」と「素数でも合成数でもない数」に類別することもできます。数直線を使うと，奇数・偶数や剰余類は，規則正しく表現できますが，素数についてはそうはいきません。