2×3＝6であることは誰も不思議には思わないでしょう．それは掛け算の定義が2×3＝2＋2＋2だからです．つまり3倍するとはおなじものを3つ足し合わせることなのです．より一般に自然数による掛け算の定義は
m×n＝m＋…＋m，mのn個の和
であり，特に1×1＝1になります．しかし掛け算をこのように定義する理由はなんでしょうか? つまり，×にはどんな意味があるのでしょうか? 例を考えてみましょう．毎日2kmのジョギングをする人が，3日間で走る距離は2km＋2km＋2km＝6kmです．これを2×3kmと表わしているのです．つまり，2×3とは2＋2＋2を簡便に表わすための記法といってもよいでしょう．このような具体的な例では，掛け算の定義には何の問題も起こりません．
(『わかっているようでわからない数と図形と論理の話 (学術選書)』p.17)
累加によって自然数のかけ算を定義すること，それによって「2×3は2＋2＋2」となることには，異論ありません．
しかし「2×3km」には，しばらく目を止めて，考えてしまいました．
累加によるのなら，「2km×3」と書きたいところです．すると「2km×3＝2km＋2km＋2km」となります．
そうして，違和感の正体がわかりました．「2×3km」は，「（2×3）km」と構文解析をすればいいのですね．「2×（3km）」ではなく．
この種のかけ算の式は，教科書にもあります．
- http://ameblo.jp/metameta7/image-11120967919-11702746634.html（教科書にある，「いくつ分」×「1つ分の数」の実例｜メタメタの日，http://mackie23450.blogzine.jp/blog/2013/07/post_d9d8.html#comment-55833171経由）
「学校図書小6上89頁」とのこと．あおいさんの吹き出しを，書き出します．
1番目は4人のうちの1人を決めるので，
4通りの決め方があるね。
2番目は，その1人に対して
3通りの決め方があるね。
ということは，2番目までは
4×3通り
あるんだね。
ここの「4×3通り」も，「（4×3）通り」と読むことができます．「4×（3通り）」とするのは，発言の流れから，無理があります．
ただし，「2×3km」と「4×3通り」には，意味上の違いがあります．前者は，「2km×3日間」あるいは「2km/日×3日」と考える*1ことができるのに対し，後者について「4通り×3通り」とできるとしても，パー書きの量で表すのが困難です．
これらの意味上の違いは，Greerの分類に当てはめると，もっと明確になります．「毎日2km，3日間」は同等の量(Equal measures)なのに対し，「2番目までは4×3通り」のほうは，デカルト積(Cartesian product)の一例となります．
「2×3km」と「4×3通り」を統一の枠組で，そして小学校の学習事項をもとに理解するには，「伴って変わる二つの数量の関係」を使うのがよさそうです．2行の表をつくって，どれだけ増えるかを見ていけばいいのです．これはVergnaudの「スカラー関係に基づく乗法」と密接な関係があります*2．
当ブログを設置したきっかけの一つについてもリンク：
