順列のかけ算 - かけ算の順序の昔話

ABCDEの２文字並び方の場合は、5を１つ分と見なすのは、難しいとしても、不可能ではありません。次のようなグループ化のルールを作ったらどうでしょうか。各グループでは１番目の文字として、A, B, C, D, Eをそれぞれ１回ずつ使います。
— kistenkasten723 (@flute23432) September 2, 2019

　このツイートより前，https://twitter.com/flute23432/status/1168399984082833408において，「A～Eの5人から2人が並ぶ方法はいく通り?」という問題に対し，小学校の算数の考え方だと，「構成員数が4のグループが5つ」できて，式が4×5となります。ですが上記から始まる4つのツイートにより，「構成員数が5のグループが4つ」できること，したがって5×4という式に表せることを示しています。
　興味深かったので，図にしてみました。
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　ツイートに合わせて，A-B-C-D-E-A-B-C-Dと鎖状に並べました。2回目のE，および3回目以降については，そこを行き先とすることがないため，図に入れていません。
　この関係は，巡回群で表せそうです*1。wikipedia:1の冪根の表記を用いて， $n=5$ ， $\zeta_n=\zeta_5=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}$ としたとき，AからEまでは $\zeta_5^1$ *2から $\zeta_5^5$ （＝1）までに対応づけられます。そして，ABという並びは， $(\zeta_5^1,\;\zeta_5^1\cdot\zeta_5^1)$ という順序対*3に，他の例としてCEだったら， $(\zeta_5^3,\;\zeta_5^3\cdot\zeta_5^2)$ に，対応することになります。
　別のアプローチを紹介します。「1つ分の数×いくつ分」を（表面上は）用いずに，また（場合の数の）積の法則や，直積も，根拠とせずに，小学校算数の範囲で，区別される5人に対し2人を並べる方法としては，以下の表がよいかもしれません。*4
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　最初の文字はAからEまで，そして次の文字もAからEまで，という2文字を並べると，AA，AB，AC，...，EEの25通り*5ができます。しかしAA，BB，CC，DD，EEは「2人を並べる」に反するので取り除きます。ということで答えは25－5＝20通りとなります。
　一般化して，n人において2人を並べる場合の数も，同じように表にすることで， $n^2-n$ 通りとなり，nの括り方次第で，n(n-1)も，(n-1)nも（n=5のときは，5×4も，4×5も），式として認められます。
　集合で表してみます。S={A,B,C,D,E}とおいたとき，長さ2の順列は{xy|x,y∈S}－{xx|x∈S}と表せます。長さ3の順列（区別される5人から3人を並べる）について，集合としては，{xyz|x,y,z∈S}－{xxz|x,z∈S}－{xyx|x,y∈S}－{xyy|x,y∈S}となるのですが，この要素数を求める際には，差演算における{xxx|x∈S}の重複回数に注意すると，|{xyz|x,y,z∈S}|－|{xxz|x,z∈S}|－|{xyx|x,y∈S}|－|{xyy|x,y∈S}|＋2|{xxx|x∈S}|となり*6， $n^3-3n^2+2n$ ＝n(n-1)(n-2)を得ます。4人を並べる場合の求め方，および冒頭のツイート（鎖状表現）に基づき3人を並べるような図示と立式は，断念しました。

　順列のかけ算については，メインブログの以下の記事でも，ある算数の教科書で期待される「4×3×2×1」の式がどうしてそうなるのか，検討していました。

順列のかけ算，配るかけ算 - わさっきhb

　ただ，記事中の以下の表は，不十分に思えました。

　作り直すと，次のようになります。
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　「何番目まで」と「何通り」の関係は，比例ではないわけで，この特性もまた，順列や組み合わせが，「1つ分の数×いくつ分」と相容れないことを，示唆するものとなります。

（最終更新：2020-02-22 朝）

*1:「n人から2人を選ぶ組み合わせ」は，正n角形の辺および対角線として，図示できること，そして「n人から2人が並ぶ方法」（順列）に関しては，それぞれの辺と対角線に向きを持たせればよいことを，活用しています。

*2:これは $\zeta_5$ と等しくなります。上付き数字はべき乗を表します。

*3: $(\zeta_5^1,\;\zeta_5^1,\;\zeta_5^1)$ ではありません。 $(\zeta_5^1,\;\zeta_5^1\cdot\zeta_5^1)$ ＝ $(\zeta_5^1,\;\zeta_5^2)$ であり，この左辺は，「AとAの1つ先」，右辺は「AとB」を表します。

*4:表にして，「同じものどうし」は斜線を引く，というのは，現行および次期の『小学校学習指導要領算数編』でも，http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf#page=152とhttp://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf#page=319より，見ることができます。

*5:目で見て数えれば「25通り」なのですが，「5×5＝25」と計算するのであれば，「1つ分の数×いくつ分」が暗黙のうちに使用されることとなります。

*6:この式のそれぞれの|...|は，重複順列の総数となります。元になる集合はS（本記事で書いた例では|S|＝n＝5）で，ちょうど1個を選ぶ場合も重複順列と見なすことにします。