板書本における順列・組み合わせの扱いについて

　小学6年の「場合の数」について，今月出版された2冊の「板書本」の内容を紹介します。

• 宮本博規, 松本公一, 淸水修(編著), 熊本市算数教育研究会(著): 板書＆イラストでよくわかる 365日の全授業 小学校算数 6年下, 明治図書出版 (2020).
• 田中博史(監修), 夏坂哲志(編著), 筑波大学附属小学校算数部(企画・編集): 板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 算数 小学校6年下, 東洋館出版社 (2020).

　先に算数における順列・組み合わせの扱いについてをご覧ください。「順列の総数がで表される場面」のことを「の場面」と表記し，左右の4は他の数値に，中央のP（順列）はC（組み合わせ）に変わり得ることも，本記事で使用しています。
　概況としては，まず，今回の2冊でも，に対応する（黒板に書かれる）かけ算の式は「6×4＝24」でした。の場面を扱った授業では，かけ算の式は見当たりませんでした。先日の記事との違いとしては，（ただし）の場面や，求めるのが金額などの（「～通り」ではない）問題を挙げることができます。

板書＆イラストでよくわかる 365日の全授業 小学校算数 6年下

板書＆イラストでよくわかる　３６５日の全授業　小学校算数　６年下 (板書&イラストでよくわかる)

　紙版のみです。Kindle版はなく，https://www.meijitosho.co.jp/detail/4-18-490611-2にも「電子書籍版: 未販売」となっています。
　「並べ方と組み合わせ方」が，pp.100-119にあります。単元の指導計画は，全8時間です。
　第1時は「鬼ヶ島に鬼退治へ! 並び方は?」と題した授業で，桃太郎を先頭として，イヌとサルの並び順は，の場面で2通り，桃太郎・イヌ・サルの並び方はの場面で6通りですが，いずれも列挙によります。
　第2時は「キジも入ると何通りかな」で，の場面です。3つのものの並び方は列挙で6通りなのを，左に板書したあと，4つにした場合には，「桃太郎が先頭に並ぶ並びは6通り」と「イヌ、サル、キジが先頭になる場合も同じように6通りずつあるので、」のあとに，「6×4＝24」「全部で24通り」です。黒板の右には，「0、1、2、3の4つの数字を並べて4桁の整数をつくろう。」という適用題です。「0は千の位にはならない」が，吹き出しで添えられています。
　第3時は「凧をつくろう」です。長方形の上下に色を塗るのですが，「上に赤，下に青」と「上に青，下に赤」は区別されます。黒板の左では，4色からなのでの場面，中央と右は5色からなのでの場面と言えます。それぞれ，列挙により「12通り」「20通り」と求めています。ただし黒板の外の解説(p.106)には，の場面に関して「4×3という計算で答えを出す子どももいます。このときの4は何を表していて，3はどれに当たるのかを必ず確認し，答えを形式的に出すことだけにならないようにさせます。」という文章があります。
　第4時はの場面で，さまざまな図が黒板に見られますが，答えとなる組み合わせの数も，かけ算の式も見当たりません。第5時は，との場面です。列挙のあと，「選ばなかった色に目をつけた」により，の場面をの場面に変換し，「4色できる」としています。
　第6時以降は，順列・組み合わせにとらわれない応用問題です。第6時と第7時は最短経路問題で，第7時は簡単な巡回セールスマン問題と言えます。第8時は共通集合を考慮した問題です。ベン図や，共通部分を考慮したテープ図が使用されています。

板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 算数 小学校6年下

板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 算数 小学校6年下 (板書シリーズ)

　Kindle版を購入して読みました。
　「場合の数」はpp.52-63で，5時間扱いです。
　第1時は「リレーの順番を考えよう」で，いきなりの場面です。子どもたちに1人1つずつ言ってもらうのでは，重複が出ます。「1番目をAに決める」ことで，列挙により「6通り」を得て，1番目がB・C・Dの場合についても列挙したあとに，「6×4＝24　24通り」を書いています。
　第2時は「旗の色のならび方を考えよう」で，黒板の左と中央はの場面です。「24通りより少ないかな」という吹き出しもありますが，樹形図を用いると，第1時と同じ場合の数になることが分かり，「Aが左のとき6通り」「6×4＝24」「24通り」としています。黒板の右は，の場面で，Aが左の場合の樹形図で12通りになるのを用いて，「12×5＝60」と書いています。
　第3時は，0，1，1，2，3，4のカードから3枚選んで3桁の数を作るもので，0が百の位に使えないことを入れながら，列挙により何通りあるかを求めています。
　第4時は「全部で試合は何試合?」で，，，の場面です。図や表を用いて「3試合」「6試合」「10試合」を得ています。かけ算の式はなく，の場面では「3＋2＋1＝6」，の場面では「4＋3＋2＋1＝10」という，たし算の式があります。
　第5時は「選んでできる金額はいくらかな?」で，の場面と言えます（実際に求めるのは「何通りか」ではなく「金額の組み合わせ」です）。
　さらに読んでいくと，「場合の数」以外の単元にも，関連する授業がありました。「6年のまとめ」はp.86以降で25時間扱いです。この中の第18時は「電話線は何本?」で，（n＝1,2,...,6）の場面です。第21時は「平均はいくつ?」で，の場面に基づいています。第25時は「分け方は何通りあるのかな?」で，の場面です。
　「数学へのかけ橋」はp.138以降で13時間扱いです。第1時（長方形が1種類しかできない数（素数）），第2時（2㎠の正方形の1辺の長さは?）に，場合の数の考え方が含まれていました。

順列・組み合わせ以外から

　2冊の本で，同じ内容を扱っている授業がありました。
　『板書＆イラストでよくわかる 365日の全授業 小学校算数 6年下』では，「仲よし分数を見つけよう」(pp.140-141)として，積と差が等しくなるような分数の組を探す活動があります。黒板に書かれている式には，と，とがあります。
　『板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 算数 小学校6年下』では，「分数神経衰弱をしよう」(pp.98-99)です。こちらにも，との式があります。そのほか，「分母の差が1で分子が1のとき」に＝＝となるという，文字を使った式の計算も，板書されていました。