LSはLesson Study（授業研究），DNLはDouble Number Line（二重数直線）の略です。
ツイートで本を知り，Kindle版を購入しました。
なのですが，https://books.google.co.jp/books?id=bHnpDwAAQBAJ&hl=jaの「書籍のプレビュー」からでも（すべてではないですが）無料で読むことができます。
Kindle版の巻頭（目次の前）には，「First published 2021」「© 2021 Rosa Archer, Siân Morgan and David Swanson」と書かれていて，驚きました。しかし実際の出版年としては，AmazonやGoogleブックスで表示されているとおり，2020年と見るべきでしょう。3名の著者はみな，英国マンチェスター大学の所属となっています。
"lesson study (LS)"と書いて，以後はLSで授業研究を表すのは，前書きと，1章の最初のページに出てきます。
1章には，いくつかの言葉が斜体字になっていました。いずれも，日本の指導方法に由来するものです。出現する語句と，（本書にはない）対応する日本語は次のとおりです。
- kyozai：教材
- kenkyu：研究
- kenkyu jugyou：研究授業
- kenkyu kyougikai：研究協議会（会や組織ではなく，研究授業実施後の意見交換のこと）
- koshi：講師（研究授業の指導者や，研究協議会におけるコメンテーター。"knowledgeable other"）
- kikan-shido：机間指導
- hatsumon：発問
- neriage：練り上げ（"pronounced with a hard 'g'"がカッコ書き）
- matome：まとめ
4章に移ります。章題は"Proportional relationships and the double number line"で，訳すなら「比例関係と二重数直線」です。章の最初の文(p.63)には，"Within this chapter, we describe a lesson where the Double Number Line (DNL) was used in order to develop multiplicative and proportional reasoning."（この章では，かけ算の考え方・比例の考え方を育成するための二重数直線(DNL)を用いた授業について述べる）とあります。
「二重数直線は，こんなのです」という写真は，p.64です。
この図から，「?＝6.7×8.7」を認識することができます。なお「かけ算の順序」としては，乗数は乗算記号の右とする表記を採用しており，章を読み進めると「×1.5」というのも出てきます。乗算記号を省略する，文字式においては，その限りではなく，他書を紹介する中で"x→1.5x, or y=1.5x"というのが書かれています。
興味深い，かけ算の関係も，この章にありました(p.69)。
本文ではある生徒が発言しており，和訳すると「Aは1リットルで216円ですが，Bは2リットルで420円，これは1リットルだと210円ですので，Bのほうがお買い得です」となります。
Figure 4.5を見直してみると，「1L 216 yen」と「2L 420 yen」は，比例関係になっていません。かさを1リットルから2リットルにしたとき，値段は（ちょうど）2倍ではないのです。
とはいえ「1L 216 yen」と「2L 420 yen」のどちらがお買い得("better buy")かは，Figure 4.5からはただちに分かりません。この次のページには，「2リットルで420円のとき，1リットルだと何円か」を表す，作成途中の二重数直線の写真が載っていました。
4章のはじめに戻りまして，この章は，著者の一人（Archer）が日本の授業を参観して得た経験であることが書かれています。章末の文献リストの最初のものは，ダウンロード可能でした。
訪問先は東京学芸大学です。この訪問報告ではFujii (2014)という文献が引用されていますが，連想するのは藤井斉亮氏（東京書籍の算数教科書の編集代表者で，現在は東京学芸大学名誉教授）です。
4つの写真は，授業の実際の状況なのに対し，p.39の右カラム中央の二重数直線は，著者が作成したものと思われます。
問題は，「Aさんの家から学校までは4kmあります。我が家から学校までは3kmあります。これと比較して（我が家から学校までの道のりを基準として），Aさんから学校までの道のりは何倍ですか」と表せます。図について，「4」まで伸びている方のテープは，Aさんの家から学校までの道のり（比べられる量）です。「3」まで伸びている方のテープは我が家から学校までの道のり（もとにする量）です。そして"Times"（割合）は，3kmのほうを1と対応付けます。「4÷3＝4/3」の計算により，4kmのほうの割合は，4/3となります。
冒頭の本の4章の途中，"Suggested reading"として紹介されている文献*1からも，さまざまな形態の二重数直線を見ることができました。2つの（横向きで，右に行けば大きくなる）数直線どうしの対応付けについて，「縦線を入れないもの」「0だけ縦線を入れて揃えているもの」「0および着目する数量ごとに縦線を入れているもの*2」「帯図*3にしているもの」といったバリエーションがあるわけで，機会を設けて，国内外の文献整理をしておくのがよいように思えてきました。
*1:ただしそこに記載のURLでは，うまくアクセスできませんでした。https://nottingham-repository.worktribe.com/output/999043から，PDFが無料でダウンロードできました。
*2:Aecher (2016)にホワイトボードの写真が載っていますが，PDFで見ている限り，鮮明とはいえません。代わりに『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』のp.239，https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf#page=245にある図が分かりやすいです。
*3:http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2018/05/03/024253でも紹介しています。
