- 大畑智裕: 子どもたちにとっての除法とは. 算数授業研究, Vol.129, p.50 (2020).
算数授業研究 129号: 授業スタンダードは子どもの資質・能力を育てることができるのか
- 発売日: 2020/07/13
- メディア: 単行本
今更で恥ずかしい話だが，包含除と一口に言ってもいくつかの段階があり，乗法の意味が拡張されるように，除法の意味も拡張されるのだろうということに気付かされた。
速さの問題で「道のり÷速さ」で時間を求めるのは包含除であり，「道のり÷時間」で速さを求めるのは等分除というイメージがわく。しかし，「み・は・じ」の図をかいて答えを求めることしか知らなかったらそのイメージはわかず，「なぜ割るのかわからない」となるのだろう。割合の問題で，シュートを10回打って，8回ゴールに入ったときの割合を求める「8÷10」は等分除と包含除のどちらだろうか。そもそも，すべての除法を，等分除と包含除に分けようとすることがナンセンスなのだろうか。そのようなことを考えていると，子どもたちにとって，除法とはどのような計算なのだろうかという疑問がわいてくる。
なぜ「道のり÷速さ＝時間」が包含除，「道のり÷時間＝速さ」が等分除となるのかについて，二重数直線を作ることで検証ができます。例えば次の図は，包含除です：
「12kmを時速4kmで歩いたときの時間」と「12個のあめを1人に3個ずつ配ったときに配れる人数」のいずれの場面にもなります．わられる数とわる数が同種の量---ただし速さは「4km/h」ではなく「（1時間あたり）4km」に読み替えます---，商はそれらと異種の量（3時間，3人）という共通点もあります。二重数直線の図では，求めるべき数は「1」と同じほうの数直線上にあります。
等分除の図は：
こちらは，「12kmを4時間で歩いたときの速さ」と「12個のあめを4人で同じ数ず分けたときの1人分の個数」です。わられる数と商が同種の量で，わる数は異なります。二重数直線の図では，求めたい数は，「1」に対応する，他方の数直線上の値です。
「シュートを10回打って，8回ゴールに入ったときの割合を求める「8÷10」」は，ここまでと同様に考える（または図をかく）ことにより，包含除と分かります。なお，シュートの件では，（同種の量の）割合を求めるのに対し，道のり÷時間で求められる速さは，異種の量の割合となります。
「すべての除法を，等分除と包含除に分けようとすることがナンセンスなのだろうか」について，いくつか検討してみました。
- 等分除・包含除に分けられない，わり算の場面として，Greer (1992)の表*2のうち，"Cartesian product"，"Rectangular area"，"Product of measures"に分類されるものが知られています。
- 等分除にも包含除にもなり得る場面を，作ることができます。「1個90円のシュークリームが2箱あります。全部で540円です。1箱には何個のシュークリームが入っていますか。どの箱にも，同じ数のシュークリームが入っているものとします。」*3です。求めたい数を□として，かけ算の式で表すと，90×□×2＝540となります*4。ここから□を求めるのですが，
- かけ算の式を（90×□）×2＝540と考え，90×□＝540÷2＝270，□＝270÷90＝3とすると，後者のわり算は「1箱のシュークリームの値段は270円です。1個のシュークリームの値段は90円です。1箱には何個のシュークリームが入っていますか。」と解釈でき，包含除です。
- かけ算の式を90×（□×2）＝540と考え，□×2＝540÷90＝6，□＝6÷2＝3とすると，後者のわり算は「6個のシュークリームが，2箱に同じ数ずつ入っています。1箱には何個のシュークリームが入っていますか。」であり，等分除です。
- 同種の数量どうしのわり算でも，等分除の場面を作ることができます。「70cmの高さから落とすと，28cmの高さまではね上がるボールがあります。このボールを1mの高さから落とすと，何mの高さまではね上がりますか。」*5で，単位をメートルに変換した上で式は0.28÷0.7＝0.4と表されます。被除数・除数・商のいずれも単位はメートル（同種の数量）です。なお，二重数直線で関係を表すと，0.28と0.4が，はね上がった高さとして，また0.7と1が，落とす高さとして，それぞれ同じ数直線上に位置付けられます。
はじめに引用したうちの「イメージ」について，教師や児童らがそれぞれイメージを持っていることを前提とし，教師から見て児童の持つイメージが適切でないと判断したときに，することは，イメージの共有化ではないかと思います。引用では，シェマまたは演算決定のための手段に対して，「イメージ」の語が使用されていますが，歯車の回転数，あめの分配，1Lあたりの重さといった，問題を解く対象を起点として，それぞれ絵をかくなどにより共通点・相違点を発見することができ，このプロセスも「イメージ」づくりに役立てられます。
*1:「歯の数が12の歯車Aが3回転すると，歯の数が18の歯車Bは何回転するでしょうか。」と「5.8Lの重さが5.1kgの油があります。この油1Lの重さは約何kgですか。小数第二位を四捨五入して，小数第一位までのがい数で求めましょう。」です。
*2:https://books.google.co.jp/books?id=N_wnDwAAQBAJ&lpg=PR1&hl=ja&pg=PA280#v=onepage&q&f=false, http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2019/09/10/211914
*3:http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2018/08/23/130215からの改題です。
*4:「Greer (1992)に載っていない，かけ算の場面」と言うこともできます。なぜ載っていないのかというと，Greer (1992)は，1回の演算（1個の演算記号）で求められる場面を扱っているからです。
*5:https://takehikom.hateblo.jp/entry/20120127/1327611401からの改題です。
