かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

■■■■□＋■■■□□＝■■■■■■■□□□

新しい算数研究 2024年 04 月号 [雑誌]

新しい算数研究 2024年 04 月号 [雑誌]

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　目次の直後の座談会（「現行学習指導要領の成果と課題を整理する」）について，最初のp.4は6名の参加者の氏名・所属と顔写真で，次のページ（2段組）の右カラムには文章題や「96÷1.6」の式，また二重数直線の図を見ることができます。
　本記事では，pp.18-19の，稲垣悦子氏の発言に注目します。なお分数について，見やすさのため（はてなのTeX記法内で）ディスプレイスタイルを採用していますが，原文はテキストスタイルです。

　稲垣　授業参観のある日，\displaystyle\frac15+\frac25の授業をしたことがありました．\displaystyle =\frac35と，附属小の子はほぼ全員，\displaystyle\frac15+\frac25=\frac35と言うのです．でも1人の子が，「それはわかるけれど，今までたし算はブロックを使った．同じようにして（左に5個のブロックのうち1個が白，右に5個のブロックのうち2個が白のブロックを置く）ガッチャーンと合わせたら，\displaystyle\frac3{10}（10個のブロックのうち，白が3個）になる．これも正解だと思う．だって図を使って説明したから」と言い始めたのです．そうすると，学級半分の子どもたちは誤答に賛成し始めたのです．いかに始めの\displaystyle\frac35と言っていたことが，あいまいだったのかがわかります．
　そして，子どもたちで話し合って，私が「どうなったの?」と聞くと，「先生，決まりました．答えは二つになります」と言われたのです．答えが二つ……それだけは勘弁してほしい．ここで，初めて「ん?」という問いが生まれてきました．
　子どもは，「リットルマスの図だと答えは\displaystyle\frac35で，ブロックの図だと\displaystyle\frac3{10}です．なぜなら図で根拠があるから」とまで言うのです．やっとある子が，「いや，こっちのブロックの図も，この1は空で何もないんだ．だからこっちの1が大切で，答えは\displaystyle\frac35」と発言．1の大切さに気づくまで，25分間ぐらいかかりました．でも，それでやっとすっきりします．
　やはり，間違えたときに正解を言われても駄目だと思います．間違えた子には，その子なりの論理があり，「ここまで合ってるよ．ただ持って来たここ（既習事項）が違ったんだ．ここ（1の考え）が大切なんだ」ということに，本人が納得しないといけない．そうでないと，また同じ間違いがずっと続くと思います．

　参観をしたという授業の学年は，明記されていませんが，約分も仮分数の処理もない，分数の加法ですので，第3学年と思われます*1。
　「ブロックの図だと\displaystyle\frac3{10}」について，次のように表せます。

  • 「左に5個のブロックのうち1個が白」は，■■■■□。これが\displaystyle\frac15
  • 「右に5個のブロックのうち2個が白」は，■■■□□。これが\displaystyle\frac25
  • 合わせると，■■■■□■■■□□となり，並べ替えると■■■■■■■□□□。これは\displaystyle\frac3{10}

　数理的には，2つの分数の分母と分子をそれぞれ足して，新たな分数を得るという演算を考えることができます。野球の打率や，バスケットボールのシュートの成功率などに，適用が可能です。wikipedia:ファレイ数列に書かれた「中間数」でもあります。
　しかしながら，「分母と分子をそれぞれ足して，新たな分数を得る」（\displaystyle(\frac{a}{b},\frac{c}{d})\rightarrow\frac{a+c}{b+d}）のは，分数のたし算とは呼ばれません。この授業で期待されるたし算は，\displaystyle(\frac{a}{b},\frac{c}{b})\rightarrow\frac{a+c}{b}です。
　子どもの発言のうち「こっちの1が大切」，上記引用の最後の段落のうち「1の考え」は，単位分数を念頭に置いているように思われます。\displaystyle\frac15は単位分数の一つであるとともに，「\displaystyle\frac15が1つ分」と表せます。同様に，\displaystyle\frac25は「\displaystyle\frac15が2つ分」です。
　「■■■■□を\displaystyle\frac15に対応づける」のではなく，「■■■■□のうち□を\displaystyle\frac15に対応づける」ことにします。そうすると，■■■□□は□が2つなので，\displaystyle\frac25に対応づけられます。
　合併により得られる量は，「\displaystyle\frac15が（これを1と見てその）3つ分」であり，リットルマスでもブロックでも，分数のたし算の結果は，同じ数で表される，というわけです。
　「この1は空で何もないんだ」については，次のように解釈しました。合併して■■■■□■■■□□としたとき，最初に■■■■□と並べた箇所には，■も□もありません（\displaystyle\frac00と，表すわけにもいきません）。これが「空で何もない」の正体です。「この1」は，最初に■■■■□と並べたうちの□のことです。

　以下は創作であることを明記した上で，2年のかけ算の単元の授業に置き換えることも可能です。「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」*2について，1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数に当てはめると，期待される式は「3×5＝15」です。ですがトランプ配りや，りんごの長方形配列を示して，「5×3＝15」でいいじゃないかと主張する子が出現し，「学級半分の子どもたちは誤答に賛成し始めた」という展開になります。子どもたちの話し合いの結果，「先生，決まりました．式は二つになります」を聞いて，参観者が困惑した状況で，やっとある子が，「5×3は，『さらが 3まい あります。1さらに りんごが 5こずつ のって います。』というときの式です」かつ/または「5＋5＋5＝15と計算すると，結果はさらの数になってしまいます」と発言し，最終的に「3×5」のみが正解となります。
　ここまでの創作のうち，授業で「トランプ配りや，りんごの長方形配列を示して，「5×3＝15」でいいじゃないかと主張する子」は現実に見かけません。「やっとある子が」以降のセリフと同様のものは，3×2の，子どもたちの発言で紹介しています。

*1:https://w3id.org/jp-cos/8250233161300000

*2:https://takehikom.hateblo.jp/entry/20131116/1384560000