先日Amazonより取り寄せた，B5判の2冊の本で，「アレイ図」が活用されていました。
平成29年版 学習指導要領改訂のポイント 小学校 算数 (『授業力&学級経営力』PLUS)
- 作者: 『授業力&学級経営力』編集部
- 出版社/メーカー: 明治図書出版
- 発売日: 2017/04/12
- メディア: 単行本
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第2章（事例で見る学習指導要領改訂のポイント）の中のp.54に，「24個のおだんごがあります。そのおだんごを並べます。ひと目でいくつあるかがパッと分かるように，並べてみよう。」という問題文が，角丸四角形で囲まれています。
このページには4つのアレイ図が見られます。上から順に，次のとおりです。
○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○
○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○
○○○○ ○○○○○ ○○○○○ ○○○○○ ○○○○○
○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○
本文では，それぞれの図に対して「8×3」「3×8」「5×5＝2，25－1＝24」「4×2×3」という式を対応付けています。前二者については「8×3＝3×8とまとめていく展開が通常よく見られる」ともあります。
明示されていませんが，最後の式*1の2番目の乗算記号を除き，かけ算の式は「縦の個数×横の個数」で共通しているのは，興味深いところです。
もう一つの本に移ります。
知的にたくましい子を育てる算数の授業づくり (算数授業研究特別号19)
- 作者: 中田寿幸
- 出版社/メーカー: 東洋館出版社
- 発売日: 2017/04/04
- メディア: 単行本
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この本では，2年生の研究授業の3番目(p.45)に，スイカのアレイを黒板に貼り付けた写真が載っています。
「スイカはいくつ?」の問題文と，「しきとこたえ」「6×5＝30」も，書かれています。おおそらくいずれも先生が書いたのでしょう。そして子どもが指をさし，マイク*2を持って，なぜ6×5の式になるかを説明しているような構図です。
ここのかけ算の式は，「横の個数×縦の個数」です。
写真の前後では，5×6の式も出現します。そして「5×横の個数」のほうが計算しやすいこと，もっと言うと，a×5と5×aとで，意味が異なることを示しています。
子どもたちはかけ算の式に表す学習をしており、九九の暗唱はまだしていない状態での授業である。
（上の写真）
そんな子どもたちに教師から「スイカ畑にスイカがいくつあるのか」が問題として提示された。スイカの並びは6×5にも5×6にも見える。
まだかけ算九九の暗唱はしていないので、6×5よりも5のまとまりで数えていく5×6の方が数の確認がしやすい。
このスイカ畑にはさらに奥にもスイカが並んでいた。8×5と5×8のかけ算を考えることになった。
8×5は8＋8＋8＋8＋8
5×8は5＋5＋5＋5＋5＋5＋5＋5
（写真：省略）
5×8は5とび、あるいは2つの5で10とびにして数えていった。
（写真：省略）
さらにスイカ畑は14列まで伸びていった。かけ算の式に表せば5×14である。ただし、5とびの数なのでかける数が12を超えても、10のまとまりをつくって答えを出すことができた。
「5とび」「10とび」について，『小学校学習指導要領解説算数編』では「5ずつ，10ずつ」という表記で，第1学年および第2学年に出現します。すでに授業で学習した上で，かけ算の式の表し方，そして累加による計算をしているのが，上の引用から読み取れます。
そうしたとき，5行6列に並んだスイカの並びを6×5と表現でき，累加で計算が可能だけれど，実はこの場面では，手間を要するのであって，5×6と表すほうが，計算しやすく，「5とび（5ずつ）」から「10とび（10ずつ）」に移行することもできてより良い，ということにもなります。
黒板で先生が書いたと思われる「6×5＝30」の式も，そこへの誘導のためだった，というわけです。
本日取り上げた2つの事例について，ゴールは異なっていますが，「1つのアレイでa×bにもb×aにも表せる」ことを超えた学習を目指している，という共通点があります。当ブログでは引き続き，こういった知見を得ることを目指し，文章にしていきたいと考えています。
