もう一つ，メインブログの記事を思い出しました。かけ算の順序論争について（日本語版）です。「かける数が先の文章題」と「a×bとb×a」とで，小節を分けて，説明していました。
事前も事後も不正解が48%の授業実践報告
かけ算の順序論争について（日本語版） - わさっきhb
- 3.1 かける数が先の文章題
- 3.2 a×bとb×a
- 3.3 「倍」と「積」のかけ算
「かける数が先の文章題」「a×bとb×a」「「倍」と「積」のかけ算」をすべて取り扱った，小学校2年の算数（かけ算）の授業があるのかというと，書籍の1ページになっています。『誰もができる子どもに活用力をつけるワクワク授業づくり』のp.69で，白と赤を1本ずつで取り上げています。
「かける数が先の文章題」と「a×bとb×a」を含む，今年の（オンライン）出版物といえば，3×2の，子どもたちの発言で紹介した，算数授業通信284号 (令和4年8月4日)の実践報告①です。「今、教室に5人います。おり紙を1人に6まいずつくばります。おり紙はぜんぶで何まいいりますか。」という問題場面に対して，個の解決時間のあと，5×6と6×5の2つの式があったことを教師（ファシリテーター）が告げて，それぞれの根拠を発表させ，この問題文に合う式は6×5であるへと導いています。
「a×bとb×a」と「「倍」と「積」のかけ算」を組み合わせた授業案が，「板書本」で紹介されています。『板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 算数 小学校2年下』のp.29です*1。
しかしながら，4色の花の絵を3行に並べて「4×3」「3×4にも見える!」という事例は，同書の授業ではこの1箇所のみでした。またこの回の授業では，3×5と5×3とで「しきと絵」の対応付けが異なる事例も含まれています。
「かける数が先の文章題」と「「倍」と「積」のかけ算」の2つを組み合わせた授業というのは，見当たりませんでした。教科書や学習指導案などで，デカルト積でモデル化できる事例は，上の花の絵もそうでしたが，イラストまたは写真で提示されています。そこから「1つ分の数」を設定し，「いくつ分」を見出してかけ算の式にすることが期待されます。
デカルト積は直積とも書かれ，英語で表すとCartesian productです。他の種類の「積」との違いを含め，メインブログで今年，見直しを図りました。
《倍の乗法》に相対するものは《積の乗法》である．[Greer 1992]の分類表のうしろの3つ（Cartesian product：直積, rectangular area：長方形の面積, product of measures：量の積）が該当する．これらに共通する乗法の式は「因数×因数＝積」である．したがって除法の式は「積÷因数＝因数」しかない．
積に基づく乗法の認識について - わさっきhb
《積の乗法》の3つの種別では取り得る数量に違いがある．まず，Cartesian productは2つの因数と積がいずれも分離量である．次に，rectangular areaは，2つの因数が同じ種類の量（長さ）で積はそれらと異なる量（面積）である．最後に，product of measuresは，2つの因数と積がいずれも異なる量である．量の積の場面において，2つの因数は一般に異なる量であるが，除法は，「積÷一つの因数＝他の因数」と捉えることにすれば，1通りのみとなる．
□△○でシンボル化されたお菓子の件や，4色の花を3行にしたような事例は，Cartesian productに基づいていると言えるのですが，算数の（2年の）かけ算を学習でよく見かける，○など同一物の長方形的配置は，Cartesian productとrectangular areaの両方の要素があるように見えます。引用した「rectangular areaは，2つの因数が同じ種類の量（長さ）で積はそれらと異なる量（面積）」のうち，因数と積を「個数」に置き換えます。「3個×4個＝12個」といった種類のかけ算になります（「4個×3個＝12個」も認められます）。
名称としてはrectangular array（長方形的なアレイ）でしょうか。ただし，http://dx.doi.org/10.4236/ce.2013.44038の文献の本文に，rectangular areaと区別してrectangular arrayが書かれています。
「□△○でシンボル化されたお菓子の件や，4色の花を3行にしたような事例」が，2年のかけ算の学習で脚光を浴びないことについて，いくつか理由が考えられます。一つの場面を異なる式で表せるようになること（そのような場面・事例を経験すること）は，主従関係でいうと「従」であり，「主」になるのは，「1つ分の数×いくつ分」の式に表して，その意味を伝えたり，計算して総数を求めたりできることにあります。そしてこの「主」に関しては，Cartesian productでないモデルを通じて習熟がなされています。
また別の理由を，上の学年の学習項目が示唆しています。第4学年のB図形の「ものの位置の表し方」*2です。「平面や空間における位置を決める要素に着目し，その位置を数を用いて表現する方法を考察すること。」*3について，念頭に置かれているのは2次元平面や3次元空間ですが，解説では「下駄箱の位置」を例示しています。Cartesian productのモデルで表された図を数量的に詳しく見ていくのは，4年の学習というわけです。「□△○でシンボル化されたお菓子の件や，4色の花を3行にしたような事例」をはじめ，Cartesian produtctについてかけ算の式で表せることの学習は，6年の「事象の特徴に着目し，順序よく整理する観点を決めて，落ちや重なりなく調べる方法を考察すること。」*4で取り入れるのが良さそうです。
