じゃんけんゲームの時系列処理 - かけ算の順序の昔話

山本良和: 言語としての式の機能の意識化に関する一考察―1年「たし算」―, 算数授業研究, 東洋館出版社, Vol.118, pp.68-71 (2018).

作者: 筑波大学附属小学校算数研究部
出版社/メーカー: 東洋館出版社
発売日: 2018/08/13
メディア: 単行本
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　「研究対象授業」について見ていきます。以下のルール（p.69を改変）で「じゃんけんゲーム」を実施します。

【ルール①】

2人組でじゃんけんを2回する。

1回につき，勝ち3点，引き分け2点，負け1点。

合計点を求め，「x対y」で表す。

【ルール②】

2人組でじゃんけんを2回する。

1回につき，勝ち3点，引き分け1点，負け0点。

合計点を求め，「x対y」で表す。

　これら2つのルールは，異なる授業時間での適用となります。具体的には，【ルール①】のじゃんけんゲームは，「ふえるといくつ」として配当した4時間の授業のうちの最後に実施し，【ルール②】についてはその次，「0のたし算」での実施となります。
　さて，【ルール①】に基づき，クラスの子どもたちが2人組になってじゃんけんゲームを行います。先生（著者の山本氏）が，全員の結果を確認したとしながら，「2対6」「4対4」「3対5」「5対7」「5対5」「5対3」「6対0」「4対3」を黒板に書きます*1。
　ですが子どもたちはすぐに，「6対0」はおかしいと指摘します。1回すれば，負けても点数がつくので，2回やって「0点」にならないからです。要は先生による捏造です。
　そこで他の対戦結果についても，起こり得るか否かを，授業を通じてチェックしていきます。上で8つ挙げたうち，「6対0」のほかに「5対5」と「4対3」も起こり得ないと言えます。というのも【ルール①】では，1回のじゃんけんで2人が獲得する点数の合計は必ず4点であり，2回だと合計8点です。「6対0」も「5対5」も「4対3」も，この必要条件を満たさないのです。
　【ルール②】でも同様に実施したのち，先生は「4対1」「3対3」「0対6」「2対2」を提示します。これらはいずれも起こり得ます。その検証に（【ルール①】の授業でも見られましたが），増加の意味の加法が有効活用できます。「4対1」について，1回目は一方の勝ち，2回目は引き分けとすれば，3＋1＝4と0＋1＝1という式に表せます。「3対3」については，2人が1回ずつ勝ったという状況が考えられ，式は3＋0＝3と0＋3＝3です。「0対6」は，一方が2回勝った場合が該当し，式は0＋0＝0と3＋3＝6です。「2対2」は，2回とも引き分けで，1＋1＝2と1＋1＝2です。
　加法の記号「＋」の左側に，1回目のじゃんけんで獲得した得点を書き，右側には2回目のじゃんけんで獲得した得点を書くことで，合計得点が求められます。また2人のたし算の式を上下に並べて書けば，「＋」の左側の（上下に並んだ）2つの数は，「3と0」「1と1」「0と3」のいずれかであり，「＋」の右側についても同様です。そうでない場合には，書き間違いがあるよと，指摘をすることもできます。2人が1回ずつ勝ったときに，3＋0＝3と3＋0＝3という式を書いたときにも，おかしいんじゃないのと，ツッコミを入れられるわけで，これは昨日付けの記事で引用した「始めにAあったところにBが追加されると「A＋B」という式になる。「B＋A」としたら変だと子どもが感じられるようになったとき，増加の加法の意味と式という表現が理解できたと言える」と関係してくる話です。
　ここから元の文章を離れた検討を行います。目的は，「＋」の左側に1回目，右側に2回目を書かないような，定式化です。ルールを次のように変更します。

〔ルール〕

2人組でじゃんけんをn回する。

1回につき，勝ちp(w)点，引き分けp(d)点，負けp(l)点。

合計点を求め，「x対y」で表す。

　勝敗について，G＝｛w,d,l｝という集合を定義しておきます*2。nは正整数，pはGから実数への写像とします。n＝2, p(w)＝3, p(d)＝2, p(l)＝1と割り当てれば【ルール①】に対応し，【ルール②】についても同様に割り当てを決めることができますので，〔ルール〕は，【ルール①】および【ルール②】の一般化となっています。
　各回の勝敗に関する制約条件も，取り入れないといけません。2人組でじゃんけんを1回行ったとき，一人が勝ちならもう一人は負け，引き分けなら相手も引き分けとなることです。これに関しては，一方の勝敗に対する他方の勝敗を，写像として導入します。すなわちoをGからGへの写像とし，o(w)＝l，o(d)＝d，o(l)＝wとします。
　2人組の一人に着目して，n回，じゃんけんを実施したときの勝敗を順に，g1, g2, ..., gnと表します。それぞれの回に得た点数は，a1＝p(g1), a2＝p(g2), ..., an＝p(gn)です。相手の勝敗は，順にo(g1), o(g2), ..., o(gn)であり，得点は，b1＝p(o(g1)), b2＝p(o(g2)), ..., bn＝p(o(gn))です。
　着目した人の合計得点は，x＝Σai＝Σp(gi)（範囲を明示するなら， $\displaystyle\sum_{i=1}^n ai$ ＝ $\displaystyle\sum_{i=1}^n p(gi)$ ）であり，もう一人の合計得点はy＝Σbi＝Σp(o(gi))（＝ $\displaystyle\sum_{i=1}^n bi$ ＝ $\displaystyle\sum_{i=1}^n p(o(gi))$ ）です。総和を求める手順は関知しない（先頭から足していく必要はない）とすれば，これによって，「たし算の順序」なしに，このじゃんけんゲームの各回の勝敗・得点および合計点を，記述もしくは算出できるというわけです。
　ここまでの流れを，1枚の画像にしました。
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　時系列の扱いは，加法という演算ではなく，「g1, g2, ..., gn」という記号を導入したところで，対応がなされています。1回分のじゃんけんゲームの勝敗を，得点計算のためのルールと分離した，と言うこともできます（それに対し1＋3＝4といった式には，勝敗を数値化したものと，得点計算のルールの両方が含まれています）。とはいえ，「たし算には順序がない」と主張するときの，このじゃんけんゲームの得点計算に関する認識が，ここまで書いてきた通りであるかどうかは，定かではありません。