かけ算の性質は，a×bc＝abc

発想の源を問う

　「かけ算の性質」と書いて，特定の意味でその性質を記している(pp.100-101)のに，戸惑いを覚えました。

　第3学年以降でかけ算を学習する際に使う主なきまりは、分配法則とかけ算の性質が多い。分配法則とは、a×c＋b×c＝（a＋b）×c、もしくは、a×b＋a×c＝a×（b＋c）とする計算のきまりである。
　かけ算の性質とは、以下のように、かける数をc倍すると、積もc倍になるというものである。

　分配法則は筆算の形式を考える際に必要になる。かけ算の性質は、かける数が小数や分数のとき、小数や分数を整数にするために必要になる。80×2.3という計算をするために、「そのままでは計算ができないので、2.3を10倍して23という整数にして80×23をして積を求め、その積を÷10して答えを求める」ということである。

　「かける数をc倍すると、積もc倍になる」を，性質あるいは定理（とは小学校では言わないけれども）と見なすことは，理解できます。かける数が小数のときの計算の仕方として，まずは整数で計算（筆算のことも）してから，小数点の処理を行うというのも，cが整数のほかに，，...をはじめ単位分数となることも認めれば，この性質で説明がつきます。
　戸惑ったのは何かというと，上記の「かけ算の性質」は，実のところ「乗法の結合法則」なのです。しかし引用の前後を見ても，この語句は記載されていません。
　左辺がa×bcの等式を，以下のように書き換えれば，結合法則なのがより明確になります。

• a×（b×c）＝（a×b）×c

　そしてこの式も，「かける数をc倍すると、積もc倍になる」と読むことができるのです。
　とはいえその式だけだと，二項演算としての乗法に関して成り立つ性質です。そこに「p×qと書いたら，pはかけられる数，qはかける数，p×qは積」と「p×qは，pのq倍」という読み方を合わせることで，「かける数をc倍すると、積もc倍になる」を得ることができます。
　わり算が入った場合には，次のようになります。

• a×（b÷c）＝（a×b）÷c
• a÷（b×c）＝（a÷b）÷c
• a÷（b÷c）＝（a÷b）×c

　このうちa×（b÷c）＝（a×b）÷cは，2回出現する「÷c」を「」に取り替えることで，上の「単位分数になることも認めれば」が該当します。小学生向けには「かける数をcでわったら、積もcでわる」と表せます*1。
　残り2つも，同様に言葉にできそうですが，「かけ算の性質」ほどには使えることを期待できません。なお，箇条書きにした合計4つの式は，乗法・除法の記号を加法・減法の記号にそれぞれ置き換えても成立します。

• a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c
• a＋（b－c）＝（a＋b）－c
• a－（b＋c）＝（a－b）－c
• a－（b－c）＝（a－b）＋c

*1:aやbやcという文字ではなく，○や□や△といった記号を使うべきなのですが。