かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

3枚×5円玉


　上のツイートのうち「5円玉×3枚と3枚×5円玉は厳密に等しいと言えます。」について検討します。
　そこで引用されているツイートには「5円玉が3枚あるときの合計金額を求める場合、式は5×3でなければいけないのは分かりますよね。」とあります。読点以降を書き換えて「式は5×3で表すことができる。」としたとき，この文では，2人の間で争点はないように見えます。
　実際，小学校2年のかけ算の単元で学習する「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」に，「5×3＝15」を当てはめると，乗算記号の前の5は，「5円」に対応する「1つ分の数」で，あとの3は，「3枚」であり，「いくつ分」です。なお，「5円玉×3枚」では，合計金額が求められませんので，「5円」に置き換えています。「5円＋5円＋5円＝15円」と書いたり，「ごーじゅーじゅーごで15円」と口にしたりして，合計金額が出ます。
　次に，「5円玉が3枚あるときの合計金額を求める場合，式は3×5で表してもよい。」という文にすると，どうでしょうか。冒頭のツイートでは，「厳密に等しい」ですので，「式は3×5で表してもよい」に肯定的なのがうかがえます。
　元のツイートの方は，「式は3×5で表してもよい」や「厳密に等しい」に対して，直接的な賛否を表明していませんが，「3×5では「3の固まりが5個」、つまり3円玉が5枚というおよそ日本とは思えない遠い国の通貨が誕生してしまいます。」からすると，否定的と考えられます。
　3円玉が5枚というのと別の解釈もできます*1。「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」に，「5円玉が3枚あるとき」から立式したという「3×5＝15」を当てはめます。乗算記号の前の3は，「3枚」に対応する「1つ分の数」で，あとの5は「5円」であり，「いくつ分」です。
　3枚を1つ分として，その5円分*2（または5円玉分）というのでは，積が求められませんので，計算するにあたり累加で考えます。単位を無視すると，3×5＝3＋3＋3＋3＋3＝15と計算できます。ここに単位を添えれば，3枚×5円＝3枚＋3枚＋3枚＋3枚＋3枚と表されまして，そうすると，「＝15」に付く単位は「枚」となります。合計金額を求めたいのに，結果が枚数になってしまっています。
　なお，累加で考えたときに，かける数の「5円」の「円」の情報が落ちているのは，累加だから，2年で学習するかけ算だからというのではなく，累加を含め「倍」に基づくかけ算で共通して，そのようになります。サンドイッチの乗法構造で，国内外の文献を見ながら整理をしています。
　「5円×3枚＝5円＋5円＋5円」と「3枚×5円＝3枚＋3枚＋3枚＋3枚＋3枚」という対置*3が馬鹿げているという主張には，後者の式解釈と同様の事例がいくつも出版されていることを確認しておきましょう。リンゴの上におさらが9個で紹介した中から2件を取り上げます。
　古くは昭和26年の小学校学習指導要領算数科編（試案）のⅤ．算数についての評価，「３は人数を表わしている数である。それを２倍した答の６は何といったらよいか尋ねてみる。それで，６人となって問題の要求に合わないことを説明する。このようにして３×２＝６とするのが誤であることを明らかにしたとする。」です。「問題　３人のこどもに，えんぴつを２本ずつあげようと思います。えんぴつがなん本いるでしょう。どんな九々をつかえばわかりますか。」というのが，箱で囲まれています。
　ただしその後は，この指導の方法ではうまくいかないと続きます。また「今の算数では，かけ算の意味は同数累加ではない」ではないという批判も可能です。その一連の指導においては，「問題解決を，同数累加の形にもどして」が最も重要なところです。同数累加が本質である，これに帰着しなければならないというのではなく，問題解決*4の手段として，同数累加を採用し，成功したということです。
　また別の事例はVergnaud (1988)より得ることができます。[isbn:012444220X]のp.146には"Procedure d is meaningless in terms of cars and costs. Twenty dollars cannot be 5 cars + 5 cars + 5 cars + 5 cars."という連続する文があります。文章題(p.144)は"Connie wants to buy 4 plastic cars. They cost 5 dollars each. How much does she have to pay?"で，累加の式"d) 4＋4＋4＋4＋4＝20"というのがmeaninglessであると述べています。なお，cannotを含む文を"Twenty dollars cannot be 4 cars + 4 cars + 4 cars + 4 cars + 4 cars."に読み替えることで，文意が明瞭になります。
　「5円玉×3枚と3枚×5円玉は厳密に等しいと言えます。」を支持するような，小学2～3年生の算数における授業やテスト問題，国内外の出版物は，思い浮かびません。

*1:https://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2019/10/31/214413のうち，2017年5月の図の【Ｂ－３】が「3円玉が5枚」の不正解理由に対応し，本記事で詳しく述べているのは【Ｂ－４】に基づきます。

*2:ここを「3枚の5円分」と略記すると，"3 times 5円"を意味し，3×5でいいじゃないかと主張する余地ができてしまいます。

*3:「対置」は，『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』に1箇所だけ使われています。

*4:引用元は，教師の指導例ですが，現在だと，「答えが6人になっておかしいよ」と言う子どもを想定するのがいいでしょう。