かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

15÷3は何の段を使って求めればよいか

　図示したのは，以下の2枚の画像です。

f:id:takehikoMultiply:20220112054904j:plain

f:id:takehikoMultiply:20220112054909j:plain

　その後ツイートをしながら，教科書（教育出版，令和2年度）を参照しました。

小学算数３上 [令和2年度] (文部科学省検定済教科書 小学校算数用) [算数306]

小学算数３上 [令和2年度] (文部科学省検定済教科書 小学校算数用) [算数306]

Amazon
　等分除については次の流れで答えを求めるページがありました。なお，以下の図はツイートにはなく，本記事のために作成したものです。

f:id:takehikoMultiply:20220112054914j:plain

　教科書はp.57です。「いちごが24こあります。6人で同じ数ずつ分けると，1人分は何こになるでしょうか。」という文章題から始まり，式を書くための横長の角丸長方形があります。これより前に，除算記号やわり算の式の書き方を学んでいるので，ここで期待される式は「24÷6」です。
　ページ中段の左はいわゆるトランプ配りで，右に，式が並びます。「□×6＝24」から始まって，次の順番です。

  • （箱の中に1）×6＝6
  • （箱の中に2）×6＝6
  • （箱の中に3）×6＝角丸正方形
  • （箱の中に4）×6＝角丸正方形

　図と式の並びの下には，24÷6＝角丸正方形 で，「24÷6の答えは，□×6＝24の□にあてはまる数です。」です。さらに，みなとさんという人の吹き出しで，「□×6＝6×□だから，6のだんの九九が使えるね。」とあります。
　この問題解決（計算）においては，「□×6＝24の□にあてはまる数として4を見つける」ことを行っていますが，「□×6＝24の□にあてはまる数を求めるには，4のだんの九九が使える」のではないことが，見てとれます。
　ツイートのうちhttps://twitter.com/mantennosorani/status/1480912001606221827に対しても同様で，5×3（に該当する九九の表のマス）を想起して，15÷3＝5を求めたのだと主張しても，□×3＝15に当てはまるのは5だけで他にないことを確認するには他の段も見る必要があり（3×□＝15であれば3の段だけでよい），またあまりのあるわり算になると，わる数の段を使わないとうまくいかない事例が生じます。
　ツイッターのやり取りから離れます。教育出版の教科書は包含除先行です。「ビー玉が24こあります。1人に6こずつ分けると，何人に分けられるでしょうか。」という文章題がp.54の上部に，「24÷6の答えは，6×□＝24の□にあてはまる数です。」と，かえでさんという人の吹き出しで「24÷6の答えは，6のだんの九九で見つけられるね。」が，同じページの下部にあります。包含除に基づくおはじきの操作と計算の方法---参照する九九は6の段のみ---を学んでから，等分除にも適用すると，九九は1の段，2の段，...と走査することになります。能率的に求めるには（交換法則も取り入れて），わる数の段を使えばよいと結論づけています。
　関連する見解を，当ブログとメインブログから抜き出します。

ここでなぜ，包含除のほうが分かりやすいのか，そして「被乗数先唱」が出てくるのかを，ミカンの問題を使って確認します．「15個のミカンを5個ずつ配ります。何人の子どもに配れますか」（包含除）に対して，わり算を知らない（または除法を乗法と関連づける活動として）状況で表したかけ算の式，5×□＝15から，□を求めるのは九九の五の段が使えます．すなわち「五一が5，五二10，五三15」として，□は3となります．一方，「15個のミカンを5人に同じ数ずつ配ります。1人は何個になりますか」（等分除）に対する式，□×5＝15から，□を求めるのは，何の段を使えばいいか分からない分，手間がかかるというわけです．(略)

わり算，包含除・等分除，トランプ配り (2016.05) - わさっきhb

　28÷8を求める際に，九九の中から，因数として8を持ち，かつ積が28以下となる，かけ算の式を，8の段以外で探すとなった場合には，3の段の「3×8＝24」だけでは不十分であり，その前後の段を見て，それらが不適であることを確認する必要があります。2の段の「2×8＝16」では，あまり（28−16＝12）がわる数以上となり，4の段の「4×8＝32」では，割られる数の28を超えてしまうのを，把握することが，「探索」のプロセスに含まれます。
　このように考えると，「28÷8は，何のだんの九九を使ってもとめればよいですか。」と問いを立てたとき，その答えとして「3のだん」は，許容できるように思えません。
　それに対し，8の段に着目すると，8×2＝16や8×4＝32は8の段に含まれています。他の数で考えてみても，除数の段を用いる方略は，「九九1回適用の除法計算」で「あまりなし」「あまりあり」のいずれにも利用可能なのが分かります。

あまりのあるわり算で，九九のどの段を使えば能率的に求めることができるか