- 田中英海: 数量の関係を表す式の理解を促す指導の一考察―第3学年における未知数の□を複数使った式の問題解決―, 日本数学教育学会誌, Vol.102, No.12, pp.2-13 (2020). https://doi.org/10.32296/jjsme.102.12_2
この文献は，https://twitter.com/HSanqyou/status/1580433393535156224で知りました。
かかれている問題場面と式の対応について，独自に作図してみました。
横幅80cmの模造紙に，横幅10cmの「はがき新聞」を，均等になるよう貼り付けます。はがき新聞どうしの間隔を同一にするだけでなく，模造紙の左右端と（端の）はがき新聞との間にも，同じ幅の間隔を設けることとします。ですので，同じ幅になる間隔は，6つあります。本文では「Ⓐ,…Ⓕの間かくをきんとうにしたいです．」として，問題場面に明記しています。
この1個分の長さを，□cmとすると，まず思いつく式は，□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＝80です。しかし式が長いですし，これに当てはまる□の値を求めなさい（6つの□にはみな同じ数が入ります），と言われたとき，解く見通しが立てられません。
授業では，（□＋10）×5＋□＝80や□×6＋10×5を経て，（□×6）＋（10×5）＝80という式に導いています。「10×5＝50 80－50＝30 30÷6＝5」という「求答式」を援用して，□に5を入れ，実際にはがき新聞を貼り直して確かめています。
「求答式」というのは，□を必ずしも使用しない解法で，p.6の表3で式の例が書かれているほか，p.9の図12で，「10×5＝50 80－50＝30 30÷6＝5」の3つの計算で何を求めているかが示されています。それに対し，（□＋10）×5＋□＝80や（□×6）＋（10×5）＝80は「関係式」です。
「□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＋10＋□」を「（□×6）＋（10×5）」と同等視するというのは，授業対象者の3年児童にとって自明ではなく，それを裏付けるように，p.8の場面8で，児童が「本当の場面が変わっちゃうから，□が全部左に寄せられていて」や「意味が変わっちゃっておかしくなっちゃう．」と疑問を呈しています。
「□が全部左に寄せられていて」というのは，上の自作の図の下段真ん中の状況に対応します。このように寄せても，6つ分の間隔の幅と，はがき新聞5枚分の横幅は80cmで変わらない，というわけです。ただし実際のところ，□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＋10＋□＝□＋□＋□＋□＋□＋□＋10＋10＋10＋10＋10＝（□×6）＋（10×5）と式変形したわけではなく，場面8より前に「A〜Fの同じ長さが6つ＋はがき新聞5まい分」の記載があり，その段階で，（□×6）＋（10×5）の式の読みがなされていたこととなります。
本文最初のページの左カラムでも明記されているように，「□を使った式」は，第3学年で学習します。しかしその際に，そして6年生まで，算数に出現する「□を使った式」では，□は1個です（○×□＝□×○のような計算の性質では複数出現するものもありますが）。一つの式に□が複数あり，それぞれ同じ値が入るものとして，求めるための手続きは，中学1年の一元一次方程式で（□はxなどに置き換えられて）学びます。
本実践研究のエッセンスは，□＋□＋□＋□＋□＋□＝□×6と考えることです。それによって□が1個になり，図や求答式と合わせることで，答えが求められる（正しいことを他の人も検証できる）わけです。新たな教え方そして学び方であるように，読んで感じました。今後，算数の教科書に載るかどうかは分かりません。
メインの授業の内容と別に，関心を持った用語・表記を取り上げておきます。「フレーズ型の式」が多数出現するのに対し，その対義語となる「センテンス型の式」が1箇所だけ（p.3左カラム）だったのは面白かったです。「求答式」や「式を計算の過程として，左辺から右辺へ動的な見方で操作を表していると解釈」(p.3)と，「フレーズ型の式」や「1つの数量として捉えること」との対比は，プログラミングにおける「手続き型」と「宣言型」との対比に通じるようにも感じました（「総合式（で表すこと）」は「構造（化）」です）。
