かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

もし算数で，0が3の倍数なら

　『小学校学習指導要領解説算数編』（平成29年6月）のPDFファイル*1には，「3に整数をかけてできる数を3の倍数という。3，6，9，…は3の倍数である。このとき0は倍数に含めない」とあります。現行の解説でも倍数の列挙に0が入っておらず，また教科書検定では倍数に0が入っていると修正の指示が出ていたのですが，新しい解説で，0は倍数に含めないことが明記されました。
　この件で，先週から今週にかけて，いろいろな記事やツイートが出ました。

　当方の基本的な考え方は，「算数では，倍数や約数を考える際には0を対象としていない」です。このとき，以下の性質が成り立ちます（表記を算数で使用するものに変えれば，倍数・約数を学ぶ子どもたちが帰納的に考えて理解できるものばかりです）。

  • 倍数と約数について，以下の6つは同値
    • aはbの倍数
    • bはaの約数
    • aはbで割り切れる
    • aをbで割ると余りが0
    • \frac{a}{b}を計算すると整数になる
    • 「a＝b×整数」と表せる
  • mが，aの倍数のとき
    • そのようなmの最小値はa
    • そのようなmは無限に存在する
  • mが，aとbの公倍数のとき
    • mはa以上
    • mはb以上
    • そのようなmは無限に存在する
  • mが，aとbの最小公倍数のとき
    • mはa以上
    • mはb以上
    • m＝aならば，bはaの倍数
    • m＝bならば，aはbの倍数
    • aとbの公倍数は，mの倍数
  • dが，aの約数のとき
    • そのようなdの最大値はa
    • そのようなdは有限個
  • dが，aとbの公約数のとき
    • dはa以下
    • dはb以下
    • そのようなdは有限個（上限がある）
  • dが，aとbの最大公約数のとき
    • dはa以下
    • dはb以下
    • d＝aならば，aはbの約数
    • d＝bならば，bはaの約数
    • aとbの公約数は，dの約数
  • mがaとbの最小公倍数で，dがaとbの最大公約数のとき，a×b＝m×d
  • 長方形があり，ある辺の長さが単位長のa倍，隣の辺の長さが単位長のb倍とする。
    • この長方形がいくつもあるとき，敷き詰めによって，単位長のm倍を一辺とする正方形を構成できる．ここでmはaとbの公倍数である（最小公倍数を選ぶこともできる）。
    • この長方形を，単位長のd倍を一辺とする正方形で分割できる。ここでdはaとbの公約数である（最大公約数を選ぶこともできる）。

　上記は，「正の整数（自然数）の間で倍数・約数を定義して，成り立つ性質」です。
　次に，「0以上の整数の間で，倍数・約数を定義して，成り立つ性質」を見ていきます。この段階で，0が3の倍数であるのを認めます。3に限らず，0があらゆる整数の倍数であるとします。ただし小学校の算数に合わせて，整数は0，1，2，…に限定します。0を含む場合の公倍数や公約数は，素朴な方法（0も考慮して倍数・約数の集合を求めること）に基づき，0と整数との最小公倍数や，0どうしの最大公約数は，定義しないこととします。なお，0と正の整数aとの最大公約数は，定義できて，aとなります。
　このときに成り立つのは以下のとおりで，上記よりも減ってしまいます。

  • 倍数と約数について，以下の3つは同値
    • aはbの倍数
    • bはaの約数
    • 「a＝b×整数」と表せる
  • mが，aの倍数のとき
    • そのようなmの最小値は0
  • mが，aとbの最小公倍数のとき
    • mはa以上
    • mはb以上
    • m＝aならば，bはaの倍数
    • m＝bならば，aはbの倍数
    • aとbの公倍数は，mの倍数
  • dが，aとbの最大公約数のとき
    • d＝aならば，aはbの約数
    • d＝bならば，bはaの約数
    • aとbの公約数は，dの約数
  • mがaとbの最小公倍数で，dがaとbの最大公約数（いずれも定義される場合のみ）のとき，a×b＝m×d

　例えば，0の倍数は0のみ（有限個）となる一方，0の約数はすべての（0以上の）整数ですので無限に存在します。また，公倍数が無限に存在することも，公約数に上限があることも，0と0の公倍数・公約数を考えると，成立しないと言えます。
　関連文献を見ておきます。『算数教育指導用語辞典 第四版』*2のp.195には「なお，小学校では0を偶数としては扱うが，発達段階からみて指導上に困難点があるので，0をある整数の倍数として扱うことはしていない。0を整数nの倍数としてみるのは中学校である。」と書かれています。

　倍数・約数の対象として0を取り入れると，上記のとおりいくつもの有用な性質が成り立たなくなるのは，結局のところ「0は倍数に含めない」を支持する方向に進みそうです。

（最終更新：2017-08-19 朝）

*1:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387014.htmから入手できますが，算数編のURLは2017/07/25を含むものに変わっています。乗法の導入のところで，改変がなされていることを，https://twitter.com/takehikom/status/892705568384733185にて報告しました。本日の内容には影響しません。

*2:isbn:9784316802640

0と0の最小公倍数は? 最大公約数は?

　「最小公倍数は、0を除いた一番小さい公倍数とする」が太字になっていますが，少し説明が足りていないように感じました。0と0の最小公倍数について，検討がなされていないのです。
　素朴な考え方では，0の倍数は0のみです。そこで，公倍数の定義により，0と0の公倍数は0のみ（集合で表記するなら｛0｝）となります。そうすると，「0を除いた一番小さい公倍数」は，ありません。
　0と0の最大公約数について，このブログの依拠するところに従うと，こうなります。倍数と約数再び　～正しい理解のために - 身勝手な主張で画像となっている，「2つの整数a,bについて、ある整数kを用いてa＝bkと表されるとき、bはaの約数であるといい、aはbの倍数であるという」を根拠として，1は，0の約数と言えます。2も，0の約数です．同様にして，0を含む任意の整数が，0の約数です。
　0と0の公約数は，すべての整数（整数の集合全体）です。最大公約数はというと…「最大」は，ありません。
　「最小」をつけない公倍数や，「最大」をつけない公約数も，小学校で学習するものと少し異なります．小学校で学習する際，aとbの公倍数を小さなものから順に並べていくと，その2つの数よりも大きい数がいくつでも書けますが，0と0の公倍数では，そうはいきません。またaとbの公約数には，上限がありますが，上記のロジックに基づく0と0の公約数は，上限なしです。
　といったわけで，「0と0の最小公倍数」や「0と0の最大公約数」は考えない（定義しない），としたほうがいいのではないかとなってきます。実際，wikipedia:最小公倍数では「0ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数をさす」，wikipedia:最大公約数では「少なくとも1個が0ではない複数の整数の公約数のうち最大のものを指す」と書かれていまして，0どうしのみは第1文で除外されています。
　「最小公倍数は、0を除いた一番小さい公倍数とする」という断り書きの追加だけでは，不十分ということです。
　ここまでについて，「0どうしの最小公倍数や最大公約数は考えない」を，ルールに書き加えるだけで，よさそうにも見えますが，そういった例外ルールを加えていく一方で，0を取り入れて倍数・約数，公約数・公倍数，最小公倍数・最大公約数を用いる具体的な場面（小学校の算数の範囲でその意義が分かる事例）が提示されていないことから，結局のところ，算数において倍数や約数を考える際，0を対象とする必要性がないように，思えてきます。
　個人的には，算数では「倍数や約数を考える際には0を対象としていない」と「『整数』と書いたときに0を含むか含まないかは，そのときどきで都合良く選ばれる」が基本になっていると理解しています。
　前者に関して，『算数・数学科重要用語300の基礎知識』*1ではp.207に「約数・倍数・素数」の解説がありますが，自然数に限っています*2。
　『小学校学習指導要領解説算数編』（平成29年6月）のPDFファイル*3のp.231に書かれた「このとき0は倍数に含めない。」は多くの人が指摘しているところですが，これは「約数・倍数を考える際には0を対象としない」「約数・倍数を考える際の『整数』には0を含めない」と考えればよいことですし，p.232の「0以上の整数全体を二つに類別する仕方を考えていく。0，1，3，4，…を順に二つに分けていくと，1，3，5…の集合と，0，2，4，6，…の集合に分けられる」については，偶数・奇数を考える際には0を対象とするとともに，この場合には「整数」に0が含まれる，と読むことができます。小学校の算数では常に，「整数」は0を含むというのであれば，わざわざ「0以上の」と書く必要がないのです。
　なお，新しい解説より読める，整数に0を含めない他の事項には，「整数を整数で割って商が小数になる場合」（p.187，p189）があります。


　takehikomの名前でこれまで情報発信してきたのは：

*1:isbn:4185007183

*2:「自然数」は，同書のp.182によると，「1から始まって，2，3，4，5，…と限りなく続く数を自然数という」と書かれており，0は対象外です。

*3:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387014.htm

4×3の式になる問題，3×4の式になる問題

思考力アップ算数 小2

思考力アップ算数 小2

　奥付を見ると，「初版 第1刷 2017年7月1日 発行」とあり，できたての問題集です。次の出題を見かけまして（p.65，答p.17），書店で購入しました。

□の　2つの　ことばを　つかって，4×3の　しきに　なる　もんだいと，3×4の　しきに　なる　もんだいを　つくりましょう。

　作問課題です。与えられた式に合うような文章題を，答えとして書きます。
　原文では□は点線による箱で，横幅は高さの約2倍の長さです。上記の問題文と右揃えで，「あめ，子ども」が，点線による箱で囲まれています。
　解答欄も，あります。答えを見ると，「4×3の　しきに　なる　もんだい」の下には，「1人の　子どもに　4こずつ　あめを　くばります。3人では　あめは　何こ　いりますか。」が，また「3×4の　しきに　なる　もんだい」の下には，「子どもが　4人　います。1人に　3こずつ　あめを　くばると，あめは　ぜんぶで　何こ　いりますか。」が，それぞれ書かれていました。
　練習問題として，この作問課題と同様のことが書かれた洋書が思い浮かびます。メインブログで[Anghileri 1988] と表記してきた文献で，Luckier! - わさっきより抜粋すると"Give some real-life examples of situations in which a multiplication product a×b (for example, 5×6) is not the same as b×a (6×5)."です。
　上記のような，2つの「もんだい」の対置については，作問から離れ，東京書籍の算数教科書にも載っています。

f:id:takehikoMultiply:20170627051603j:plain

　今回の問題集の「子どもが　4人　います。1人に　3こずつ　あめを　くばると，あめは　ぜんぶで　何こ　いりますか。」と，教科書の「えんぴつを　2人に　5本ずつ　くばります。えんぴつは，ぜんぶで　何本　いりますか。」は，式で表すとそれぞれ3×4，5×2となるのが期待され，「基準量が後に示された問題」のパターン*1である点にも，注意したいところです。
　ところで2つの作問課題について，答えの「4×3の　しきに　なる　もんだい」と「3×4の　しきに　なる　もんだい」のすぐ右には，赤字で「（れい）」と書かれています。それ以外の正解も考えられる場合に，「（れい）」がつけられています。例えば，「3×4の　しきに　なる　もんだい」の答えは，「1人の　子どもに　3こずつ　あめを　くばります。4人では　あめは　何こ　いりますか。」でも良いはずです。
　同じページの「9＋9＋9＋9＋9＝□×□」では，2つの箱には左から順に9と5が書かれ，ここには「（れい）」がありません。
　かけ算から離れると，8つの図形の中から「長方形は　どれですか。」「正方形は　どれですか。」と出題して記号を解答させ，その答えとして長方形は1個，正方形は2個となっています（p.88，答p.23）．ここにも「（れい）」は，見当たりません．
　「（れい）」の有無には意味があるのに加えて，この問題集では図形の弁別にあたり，「正方形は長方形ではない」というスタンスである*2のが読み取れます。

*1:https://www49.atwiki.jp/learnfromx/pages/103.html，http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20121225/1356385599#2

*2:関連：http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20160321/1458560872

東京新聞「掛け算の順序論争再燃」から，「順序」の出現箇所を求める

　「2020年度の新指導要領きっかけで　「掛け算の順序」問題再燃」（東京新聞 2017年7月10日朝刊 11版 22・23面）について，独自にテキスト化したものを対象に，「順序」の語が，前後にどのような表現を伴って出現するかを，取り出してみました。KWIC (keyword in context)形式にしています。

　掛け算の 順序 論争　再燃
ては「式に 順序 がある」と
、掛け算の 順序 を肯定する
たためだ。 順序 否定派から
成り立ち、 順序 は関係ない
が掛け算の 順序 を公式に認
せ、『この 順序 で式を書い
×幾つ分の 順序 でも、５×
、掛け算の 順序 も意味がな
西沢氏は「 順序 にこだわる
。掛け算で 順序 を求められ
「掛け算の 順序 を固定化す
　掛け算の 順序 をめぐる論
かけ算には 順序 があるのか
幾つ分」の 順序 と同じだ。
の子には、 順序 を守るよう
、掛け算の 順序 が明記され
幾つ分」の 順序 を容認した
、掛け算の 順序 について直
掛け算には 順序 がある』と
ため」と、 順序 肯定派と同
ると、式の 順序 で「×」と
。掛け算の 順序 を勧める意
向がある。 順序 を強調した
、掛け算の 順序 にこだわる
のどちらの 順序 が正しいと
本質には、 順序 を入れ替え
師の求める 順序 と違うから

　「順序」の左には「掛け算」がよく出現します。なお，上記に「かけ算には 順序 があるのか」というのも見えますが，これは書籍名だからでして，本文では前後にカギカッコがついています。他にもう1箇所，「かけ算」の表記が見られ，これはコメント（カギカッコ内）でした。それ以外は「掛け算」です。
　「掛け算」の前後は，以下のとおりです。

きっかけ　 掛け算 の順序論争
で教わる「 掛け算 」。５×４
解説書に、 掛け算 の順序を肯
この問題を 掛け算 の式で表す
　しかし、 掛け算 には「交換
「文科省が 掛け算 の順序を公
は「初めて 掛け算 を習う子ど
の区別も、 掛け算 の順序も意
について「 掛け算 でなく、足
てもいい。 掛け算 で順序を求
尋ねると「 掛け算 の順序を固
本文）　　 掛け算 の順序をめ
年代には、 掛け算 を学び始め
導Ⅱ」で、 掛け算 の順序が明
解説では、 掛け算 の順序につ
あくまで『 掛け算 には順序が
、子どもに 掛け算 の意味を理
学二年生が 掛け算 を教わる毎
分もある。 掛け算 の順序を勧
を示して、 掛け算 の順序にこ
摘する。「 掛け算 学習の本質
なければ、 掛け算 を教えたこ
メモ）　　 掛け算 教育の舞台

　「掛け算の順序」の前後は，以下のとおりです。右側の動詞が，この記事の特徴を表していると言ってもいいでしょう。

きっかけ　 掛け算の順序 論争　再燃
解説書に、 掛け算の順序 を肯定する
「文科省が 掛け算の順序 を公式に認
の区別も、 掛け算の順序 も意味がな
尋ねると「 掛け算の順序 を固定化す
本文）　　 掛け算の順序 をめぐる論
導Ⅱ」で、 掛け算の順序 が明記され
解説では、 掛け算の順序 について直
分もある。 掛け算の順序 を勧める意
を示して、 掛け算の順序 にこだわる

　『小学校学習指導要領解説算数編』（平成29年6月）のPDFファイル*1についても，「順序」の出現箇所を取り出してみました。各行の後ろに，ページ番号を添えています。「(p.114)」の行の左側で，「数と乗数の」が3つあるのは，いずれも「被乗数と乗数の順序」の一部です。

数の大小， 順序 と数直線／ (p.12)
する手順を 順序 よく的確に (p.26)
併，増加， 順序 数を含む加 (p.45)
表したり， 順序 を表したり (p.48)
単に指導の 順序 として取り (p.57)
数の大小や 順序 を考えるこ (p.77)
数の大小や 順序 を知り，次 (p.77)
数の大小， 順序 と数直線　 (p.78)
数の大小や 順序 ，系列など (p.79)
める場合（ 順序 数を含む加 (p.83)
める場合（ 順序 数を含む減 (p.83)
を通して， 順序 数を含む場 (p.85)
数の大小や 順序 について理 (p.03)
数の大小， 順序 などについ (p.04)
加法では， 順序 を変えて計 (p.111)
とめたり， 順序 を変えたり (p.112)
うに，表す 順序 を日本と逆 (p.114)
数と乗数の 順序 は，「一つ (p.114)
数と乗数の 順序 が，この場 (p.114)
数と乗数の 順序 に関する約 (p.114)
とめたり， 順序 を変えたり (p.139)
し，大小や 順序 についての (p.149)
に，計算の 順序 についての (p.193)
番目という 順序 数を長さへ (p.205)
つか求め， 順序 よく並べて (p.211)
る値の組を 順序 よく表など (p.212)
ないように 順序 よく数える (p.218)
に着目し， 順序 よく整理す (p.281)
た，文字に 順序 よく数を当 (p.284)
り，文字に 順序 よく数を当 (p.285)
り，文字に 順序 よく数を当 (p.285)
その指導の 順序 や取扱いに (p.300)
得る場合を 順序 よく整理す (p.307)
に着目し， 順序 よく整理す (p.307)
整理して， 順序 よく列挙で (p.307)
得る場合を 順序 よく整理し (p.307)
得る場合を 順序 よく整理し (p.307)
じるような 順序 や組み合わ (p.307)
に着目し， 順序 よく整理す (p.308)
　　　　　 順序 よく整理す (p.308)
効に働く。 順序 よく調べて (p.308)

　「掛け算の順序」と書いて，その問題(issue)や課題(problem)が分かったつもりにならないよう，引き続き情報収集と整備にあたることにします。

*1:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387014.htm

東京新聞「掛け算の順序論争再燃」を読んで思ったこと

  • http://www.tokyo-np.co.jp/article/tokuho/list/CK2017071002000116.html（東京新聞：２０２０年度の新指導要領きっかけで　「掛け算の順序」問題再演：特報（TOKYO Web），デッドリンク）

　この記事について，紙面の複写を得ることができました。東京新聞 2017年7月10日朝刊 11版 22・23面です。Web上で見かける，中日新聞2017年7月13日朝刊記事の撮影画像と異なり，タイトルに「学び始めに必要?」がなく，リードが縦書きになっているなど，見た目の違いもありますが，本文は同じと思われます。Webでは「再演」となっていますが紙面は「再燃」です。「順序」は28回出現します。
　書き方で，気になったところがあります。いずれも後半，芳沢氏のコメントがカギカッコになった箇所です。
　まず「この場合、５×３、３×５のどちらの順序が正しいとも言えない」を目にして，2つの式がともに，正解か不正解か判定できず，にっちもさっちもいかない状況が思い浮かびました。代わりに「この場合、５×３、３×５のどちらの順序のみが正しいとも言えない」と書いてあれば，戸惑いませんでした*1。
　もう一つ，「『三つの角が違う二等辺三角形がある』などと授業中に公言する教師までいる」について，三角形を考えるなら，違うところに3つの角がないと困ります。ここは「三つの角の大きさが違う…」としたいところです。なお，「角」と「角の大きさ」の違いについては，新しい解説のPDFのp.158に書かれています。
　書き方から中身に移っていくことにします。芳沢氏のコメントのうち「掛け算学習の本質には、順序を入れ替えても答えは同じという交換法則を理解することがある」に，違和感を覚えました。算数・数学教育で，そんな「本質」を聞いたことがなく，むしろ，演算の対象を整数，有理数（小数，分数），実数，複素数へと拡張していっても，交換法則などが成り立つことを確かめる活動が期待されています。小学校算数の範囲では，（0以上の）整数および有理数に限られ，新しい解説のPDFで関連する記述を，第4学年のp.196，第5学年のp.238，第6学年のp.283より読むことができます。
　まったく異なる情報源で，「かけ算の本質」という言葉が，2015年に復刊された以下の本に出現します。

復刻版　算数・数学教育と数学的な考え方

復刻版　算数・数学教育と数学的な考え方

  • 作者:中島健三
  • 発売日: 2015/07/06
  • メディア: 単行本

　主要な箇所(pp.77-78)を，かけ算の本質（構造）とは～『復刻版　算数・数学教育と数学的な考え方』を読む - わさっきより孫引きします。

上の図式は，A×p（＝B）という「かけ算の本質（構造）」を，「Aを1としたときpに相当する大きさを表すこと」，すなわち，「pに比例する」という考えでとらえ，それを「関数尺」として表わしているものである。乗数pが小数，分数の場合は，下側の目盛りで，整数点以外のところをよめばよいということで，その一般化が比較的容易とみられるところに一つのポイントがある。（30×2のようなかけ算を「30の2ばい」といって，いわゆる「ばい」で規定していこうというのは，上の考えにのせていこうということを指していると解してよい。）

　この「かけ算の本質」や，A×pと，かけられる数を大文字のA，かける数を小文字のpと書き分けていることなどは，新しい解説にも取り入れられていますし，昨年の5月，日本学術会議数理科学委員会数学教育分科会が出した提言に見られる「乗法の拡張における割合の意味付けを学習指導要領に明記する」とも関連します（日本学術会議も掛算順序固定派 - わさっき）。
　「順序を強調した教材ばかりになりかねない」で終わる，高橋氏のコメントを見ると，今後（批判者からすると）悪化していくような印象を，読者に与えていますが，これまでの教科書や授業事例を通した，「順序」の使われ方や，理解のされ方について，記事に言及がないのが残念です．
　平成27年度から30年度まで使用される，算数の教科書について，開始の前年度の教科書展示会で見た状況を，平成27年度算数教科書読み比べ - わさっきにて取りまとめています。新しい解説に見られる「４皿に３個ずつみかんが乗っている」と同様の問題設定（基準量が後に示された問題）が，6社どの教科書にも載っていることや，「かけ算では，じゅんじょをかえてかけても，答えは同じになります。」は交換法則ではなく結合法則に関するまとめであることなどを，確認してきました。
　ところで算数教科書は，今年度に検定がなされます。これまでと同じスケジュール*2を想定すると，来年度に我々も検定済の教科書を見ることができ，その次の年度（2019年度）から使用開始となります。新しい学習指導要領の適用年度は，それより後となりますが，とくに低学年の「かけ算」の学習に関しては，現行の教科書などに見られる内容を，新しい指導要領が追認した，と考えることもできます。

　上の段落について，算数を含む小学校教科書の検定年度が間違っていました。新しい学習指導要領に基づく教科書検定は2018年度，採択は2019年度，使用開始は2020年度からです。詳細は小学校の教科書検定は2017年度と2018年度に - わさっきをご覧ください。

　批判の立場にある人々が実名である一方*3で，肯定派は氏名なしというアンバランスさも，読んで残念に思います。また西沢氏のコメントのうち「この例題は４個が５回分と捉えることができ、一つ分×幾つ分の順序でも、５×４、４×５のどちらも正しい。」のところや，「この場合、５×３、３×５のどちらの順序が正しいとも言えない」と書かれた，芳沢氏による問いについて，いずれも「どのような式が考えられるか」にとどまっており，授業で子どもたちに出題し，「どのような式を作ったか」に至っていないのは，批判や，それをもとにした東京新聞・中日新聞掲載記事が，学校現場からかけ離れた認識であるように思えてなりません。一つの出題に対して，かけられる数とかける数とが反対になる，2つのかけ算の式を比較している授業の例として，http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130219/1361220251#2にリンクしておきます。


（2020年7月追記）
　東京新聞の算数教育批判記事は，2018年4月にも出ています。複写を取り寄せ，思ったことを書きました。

　またhttps://twitter.com/tokyobunkabu/status/1278558301005860865によると，2020年7月2日付の東京新聞夕刊文化面に，西沢宏明氏の寄稿が掲載されたとのことです。記事全文をtwitterで見ましたので，思ったことを書きました。

*1:ただし、「Ａ地点にたどりつくと、道は５つに分かれる。そのどの道を進んでも、途中からは道は３つに分かれ、どの道に進んでも『行き止まり』になる。Ａ地点から『行き止まり』まで、全部で何通りの道があるか」という問いを，小学校低学年の子どもたちに与えて取り組んでもらうことの是非については要検討です。

*2:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/kyoukasho/010301.htm（Q4の回答に，検定・採択の周期の表があります），http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/kyoukasho/kentei/1369049.htm

*3:記事本文に「一方」が3回，「指摘」が3回出現し，いずれも否定派を利する使われ方です。

3行4列のアレイと，かけ算の式について―3×4か，4×3か，両方か―

　はじめに，作成した図を：
f:id:takehikoMultiply:20170713062143j:plain
　『小学校学習指導要領解説算数編』（平成29年6月）のPDFファイル*1には，第2学年の数学的活動の中に，「ものの個数を数える際に，数のまとまりに関心をもつ活動～乗法との出合い～」という小見出しで，学習例が示されています（pp.126-127）。

ものの個数を数える際に，数のまとまりに関心をもつ活動～乗法との出合い～
　この活動は，｢A数と計算｣の(3)の指導における数学的活動であり，同数累加の簡潔な表現として，かけ算の式と出合う活動である。第1学年では，10のまとまりが幾つあるかを数えたり，2とびや5とびでものの数を数えたりするなどして，数のまとまりに着目する経験をしてきている。ここではこれらの経験を踏まえて，ものの数をまとまりとして捉えることで構成を再現しやすくなることに気付き，乗法的にみることへとつなげていくことをねらいとしている。
　例えば，映像を見て，そこに表されたものの数をブロックで並べる活動を行う。左のような映像を見て全部で幾つあるかを考える際，「同じ数ずつ」あることに気付くことができれば，それが幾つあるのか，まとまりの個数を数える必要性が生まれる。串が3本あること，団子が4個ずつ並んでいることを見いだせば，同じようにブロックで並べることができる。全部の数も，並べた後で数えることができる。
　この団子の数は，数えると12個である。式で表現すれば，4＋4＋4と表現できる。しかし，その式では3本と見いだした数を直接表現できていない。そのことを表すためにかけ算を使って4×3という式に表すことを知る。
　また，右のような場面では，「同じ数ずつ」縦横に並んでいることが共有できれば，何をみればよいかが焦点化できる。「縦は何段かな。」「横は何列あったかな。」などである。それらが分かれば，ブロックを並べることができる。縦に3段あること，横に4列あることが見いだせれば，3×4，又は4×3と式で表すことができる。答えは，3＋3＋3＋3として求めることもできるし，並べたブロックを数えて求めることもできる。

　「映像」と「右のような場面」について，それぞれ写真があるのですが引用では省略しています。右のような場面というのは，壁の掲示物で，3段・4列に並んでいます。こちらについて，冒頭で示した画像の左列のように，「●」を用いて構成することができます。それを列ごとに見れば，1つの列に3個，それが4列あるという分け方ができ，このとき，式は4×3＝12となります。また，段ごとに見れば，1つの段に4個，それが3列あるという分け方になり，式は3×4＝12です。
　団子を含む映像のほうは，クォータービューによる団子のアレイと見ることもできますが，掲示物と異なる点があります。串にささっているのです。「串が3本あること，団子が4個ずつ並んでいることを見いだせば」，1つ分の数は4，いくつ分は3がそれぞれ対応し，式は4×3＝12です。
　この団子の並びでは，3×4＝12と式に表すことが期待されていません。これは冒頭の画像からいくつかを隠した（使用しないようにした），次の画像で説明ができます。
f:id:takehikoMultiply:20170713062154j:plain
　「1つ分の数は3，いくつ分は4」と認識したときに，そこから，囲い込みのないアレイや，「1つ分の数は4，いくつ分は3」の場面に移動することは，『小学校学習指導要領解説算数編』や，小学校算数の教科書・書籍・学習指導案などから読み取れる状況をもとにすると，期待されていないのです。
　本日の記事を作るきっかけとなったのは，以下の2つのツイートです。個人的には後者に賛同します。

　アレイについては，米国Core Standardsの数学のTable 2も見ておきたいところです。表中の"There are 3 rows of apples with 6 apples in each row. How many apples are there?"は，団子の映像と関連し，脚注の"A harder form is to use the terms rows and columns: The apples in the grocery window are in 3 rows and 6 columns. How many apples are in there?"は，掲示物の並びと同じ構成です。
　アレイという用語は，『小学校学習指導要領解説算数編』で使用されていませんが，中島健三が1968年の論説で紹介しています。遠山啓が1971年に書いた中に「「教室の机は1列に6つずつ4列ならんでいます．机はみんなでいくつありますか」という問題では，4×6でも，6×4でもいいとせざるをえないだろう」と述べていることや，ある問題集には「こしかけを ならべています。1れつに4こずつ 5れつ ならべると，ぜんぶでなんこになりますか」が絵入りで出題され正解は「4×5＝20」のみであることなどにも，注意したいところです。

*1:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387014.htm

小学校学習指導要領解説算数編と合わせて読みたい，2010年・2011年の文献

　『小学校学習指導要領解説算数編』（平成29年6月）のPDFファイル*1では，「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を式で表す際に「一つ分の大きさである5を先に書き5×4と記す」と明記しているほか，数ページ進めた先では，「4皿に3個ずつみかんが乗っている」場面に対する式は3×4となると書かれています。交換法則は，式で表現するときではなく，計算の結果を求める場合に活用してよいとしています。「プリンが3個ずつ入ったパックが5パックあります。プリンは全部で何個ありますか。」と「プリンが5個ずつ入ったパックが3パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」の対置や，「4×100mリレー」という書き方にも，言及がなされています。串にささった団子と，アレイ（長方形的配置）の掲示物の写真について，前者はかけ算の式が1通り，後者は2通りあるのが読めます。これらは現行の解説*2にはなく，新しい解説は，踏み込んだ記述をしていると見ることもできます。
　上記の特徴的な記述が，2010年から2011年の出版物（書籍・論文）にも現れているのに気づきまして，この記事にて紹介していくことにします．

書誌情報および抜粋

　ブラジルに行ったときに6の目のサイコロを見せて，「サイコロの目の数はいくつですか」と言うと，みんな「6」と言った。「どうして6と考えたの」と尋ねるとある子が出てきて，「3×2」と書いたんです。これを3×2と見たわけを聞きました。私がどうしてそんなことを聞いたかというと，式の後ろに潜んでいる感覚は，日本語圏以外では普通意味が逆です。3×2と言えば，日本では「3個のかたまりが2個ある」という意味ですが，英語圏も中国語圏もみんな「3個ありますよ，2つのものが」という意味です。
　一番わかりやすい例は，陸上競技で4×100mリレーという表示がありますね。日本で正しく勉強している子なら，4mを100人で走ると言うことになる。でも，誰もそう解釈しませんね。これは世界共通で4人で走りますよ，100mずつを，という意味の表示です。日本とは式の意味が逆なんです。だから，3×2とブラジルの子が書いたから，あえてちゃんと聞いてみたいと思ったんですね。そうしたら，はじめに出てきて説明した子は3個ずつのかたまりを作ってそれが2つ分と言いました。おやっ，これは日本と同じだぞと思っていると，他の仲間みんなが違う違うと言うのです。要するに間違っていたのです。どこの国も同じですね，間違える子がいるのは。本当は2個のかたまりが3個分だと別の子が説明してくれました。(p.138)

算数の基礎基本とは何か
　ここ数年は、基礎基本の徹底が声高に叫ばれ、九九の暗記に力を入れている学校や家庭が増えています。でも私の目には、単なる計算のトレーニングになってしまっているように見えるのです。どういうことかというと、「8×4は?」と聞くと「32!」と即答できるけれども、「8×4」と「4×8」の違いがわからない。この違い、あなたは説明できますか?
　ではここで問題を出してみましょう。「ガラス戸が8枚あります。1枚のガラス戸につき、4枚のガラスが入っています。ガラスは全部で何枚あるでしょうか。式を立てて、答えをもとめなさい」。今の子どもは、32という答えはすぐ出せます。しかし、式を「8×4」と間違える子どもがとても多いのです。
　かけ算とは、（1あたり量）×（いくつ分）＝（全体の量）です。よって、この問題なら、式は「4×8」が正解。今の教育は、九九の暗記には力を入れているけれども、こういう本当の基礎基本を省く傾向にあります。かけ算が（1あたり量）×（いくつ分）＝（全体の量）である、という基礎基本をしっかり理解していれば、その後の学びも楽になります。子どもがつまずきやすい割り算や小数、最大の難関である分数だって、へっちゃらなのです。「割り算とは、1あたり量を求めるのか、いくつ分を求めるのかの二通りしかない」と気づけます。しかし、この基礎基本を理解せずに九九の計算能力だけを鍛えて通過してしまうと、割り算や小数、割合、分数などが登場したときにつまずきます。つまずくと、今度は公式や計算方法を暗記させて乗り越えさせようとする。そのときはわかった気になるかもしれませんが、また別の問題が出たときにつまずくという悪循環になってしまいます。
　本当の基礎基本とは何かを見抜き、しっかり身につけることが大事なのです。(pp.123-125)

　昭和40年（1965年）ころ，「5円の品3個の代金の立式は，3×5ではダメなのか」の論争が大阪や神戸から湧き起こった。それは海外で教育を受けた子どもが日本に帰国して授業に臨むと，上記問題の正答は，5×3のみで，3×5はダメという指導に遭遇した。そこで，帰国した子どもの親たちから担任教師に対する反発が起こり，問題化していった。
　さて，教育現場ではこれらの指導は文部省発行の学習指導要領に基づくので，もし上記の問題が設定されたとしたら，学習指導要領の立場からすれば，正答はこうなるのだということをみていこう。(p.46; 執筆者は佐藤俊太郎，以下同じ)

0 『昭和22年学習指導要領 算数科 数学科 編』文部省 昭和22年5月1日 日本書籍 正答 3×5
1 『算数数学科学習指導要領改訂』文部省 昭和23年9月30日 日本書籍 正答 書いてない
2 『小学校学習指導要領算数科編（試案）』昭和26年改訂版文部省 昭和26年12月5日 大日本図書 正答 書いてない
3 『小学校算数指導書』昭和35年3月25日 大日本図書 正答 5×3
4 『小学校指導書 算数編』文部省 昭和44年5月30日 大阪書籍 正答 5×3
5 『小学校指導書 算数編』文部省 昭和53年5月10日 大阪書籍 正答 5×3，3×5
6 『小学校指導書 算数編』文部省 平成元年6月15日 東洋館出版社 正答 5×3，3×5
7 『小学校学習指導要領解説 算数編』文部省 平成11年5月31日 東洋館出版社 正答 5×3，3×5
8 『小学校学習指導要領解説 算数編』文部科学省 平成20年8月31日 東洋館出版社 正答 5×3，3×5 (pp.46-47; 番号間の説明は省略した)

乗法とは
（1つ分の大きさ）≡a，（いくつ分）≡bが認知できたあとで，（全体の大きさ）≡cを求めること　であって，a×b＝cまたはb×a＝cと書く。(p.47)

　2年生の導入時では，被乗数と乗数を明確に区別して扱っているが，これもかけ算の意味の理解を確かにするためと考えられる．図1のみかん全部の個数を4×6＝24と表すときに，被乗数4が一つ分の大きさ，乗数6が幾つ分を表していることを大切に扱う必要がある．ただしこの意味は世界共通でなく，例えば英語ではこれを6×4＝24とするので，被乗数，乗数の意味は逆になる．なお昭和44年の「小学校指導書算数編」では，基準にする大きさのいくつ文かにあたる大きさを「表わす」ことに触れているが，表現という側面からは被乗数と乗数の意味が特に重要となる．またかけ算の学習は，例えば2の段では被乗数が2の場合に乗数を1から9まで系統的に変化させ（図2），8×2などはここで扱わないが，これもかけ算の意味を大切にしていることの一つの現れであろう．(p.50)

Students are required to clearly distinguish between multiplicands and multipliers at this stage because this distinction helps them understand the meaning of multiplication. Teachers pay attention to whether their students understand that multiplicands express sizes of units and multipliers express numbers of groups. These meanings are reversed from the viewpoint of some educators elsewhere in the world. The amount of oranges in Figure 1 is expressed as 4×6＝24 in Japan. The expression 6×4 is not usually allowed at the introductory stage. (p.122)

  • 新算数教育研究会: 整数の計算 (リーディングス 新しい算数研究), 東洋館出版社 (2011). [isbn:9784491026343]
  • 内海庄三: 「整数の乗除」の意味と計算指導のキーポイント, 新しい算数研究1980年7月号, No.112 (1980). 『整数の計算』pp.121-125.

(2) 算数指導の立場から
① 同数累加の短縮形
(略)
② 同数群の同時的存在（併存）
(略)
　しかし，①の場合でも，②の場合でも乗数と被乗数のもつ意味や働きは異質的であるから，これらの意味から，乗法の重要な法則である「交換法則」を理解させることは困難であり，それには次の③の意味がどうしても必要である．
③ 同数列の長方形的配列（array）
　例えば，右のような図では，縦に3個ずつ並んだ列が4列あるとみれば，○の数は3×4であり，横に4個ずつ並んだ列が3列あるとみれば，○の数は4×3と表されるから，交換法則は容易に理解されよう．
　また，このようなarrayの考えを指導しておくことは，後に長方形の面積公式を指導する下地ともなるので，2年のときに是非とも指導しておきたい内容である．(『整数の計算』pp.121-122)

  • 新算数教育研究会: 小数・分数の計算 (リーディングス 新しい算数研究), 東洋館出版 社 (2011). [isbn:9784491026350]
  • 中島健三: 小数のかけ算（導入）（5年）, 新しい算数研究1979年7月号, No.100 (1979). 『小数・分数の計算』pp.84-93.

T 今日の勉強は小数のかけ算です．

連休にお父さんやお母さんと遠くにドライブに行きました．満タンにするのに車にガソリンを入れたら，3.4Lでいっぱいになりました．ガソリンの値段は，1L120円です．ガソリン3.4Lでいくらになりますか．（会話を通して）

(略)
T どんな式で考えられますか．
C 120円×3.4
T ほかに違う式の人はいませんか．（声なし）
T この式でいいですか．
C ハイ．(『小数・分数の計算』p.85)

山田　私も，帯小数から入ることには賛成なんですが，子どもたちが答えを出す時に，4年生の時に習ったことを使って，3.4×120と逆にしたらどうか．もし，そういう答えを取り上げた時に，後でご指導いただきましたテープ図のメリットが消えてしまうような感じを与えるのですが．
授　そのことは，出るのではないかと予想されたんです．そこでは，いちいちひっくり返したやらなければならないのは不便だから，そうでなくてもできないかという問題と，120×3.4と3.4×120とが答えが本当に同じかということで，いわゆる交換法則が成り立つかということを確認させる必要があるわけですね．(『小数・分数の計算』p.92)

　乗法の場面、「1ふくろにミカンが3こずつ入っています。5ふくろでは、ミカンは何こでしょう。」は、3×5と立式される。立式は、「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」とまとめられ、それぞれを被乗数、乗数という。ところで、「オリンピックの400メートルリレー」や「このDVDは16倍速で記録できる」、「xのk倍は」の式は、どのように表されるであろうか。それぞれ、一般的には「4×100mリレー」、「16×」、「kx」と表される。被乗数と乗数の位置が教科書の書き方と逆になっていることに気付くであろう。この例から分かるように、乗法では、数の位置ではなく、数が意味する内容に注目して、どの数が1つ分の数であるか、いくつ分はどの数かをしっかりと読み取ることが大切である。第2学年や第3学年では、読み取った数を、「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」と表現できることが重要であり、逆に、この立式ができているかで、数の読み取りができているかを判断できる。しかし、高学年になり、乗法では交換法則が成り立つことや外国での立式を知り、数の意味をしっかり理解できていれば、必ずしも第2学年で学んだ順序で立式することを強制しなくてもよい。(pp.91-92)

2. 「子どもが7人います。1人に4個ずつアメをくばります。アメはみんなで何こいりますか」という問題に対して、7×4＝28答え28こ、と解答した小学校2年生の子がいました。この解答をどのように解釈して、どのような対応をしたらよいか、乗法の意味と関連させてまとめてみましょう。(p.96)

　Yが立式を躊躇した理由を考えるうえで，Yの保護者の見立てが参考になった。支援教室終了後に保護者からスタッフに，Yがかけ算の「かけられる数とかける数」についてよく分かっていないらしいとの話があった。かけ算の「かけられる数とかける数」とは，「一あたり量がいくつ分」というかけ算の意味を指す。これに関連して，小学校ではしばしば，かけ算の式を「一あたり量×いくつ分」のように，「一あたり量」を先に書くように指示する場合がある（e.g.，遠山，1978）。保護者の話を受けて，Yの取り組んだ問題を後日スタッフが確認すると，Yは問題文中に出てくる順に数値を並べて立式しており，必ずしも「一あたり量×いくつ分」の順で立式しているわけではないことがわかった。このことからYは，かけ算の意味と式の順序との対応がついておらず，「一あたり量×いくつ分」という順序で書かれた式に「一あたり量がいくつ分ある」との意味があることを理解せずに立式していると考えられた。また，支援教室でYが式を書くのを躊躇したのは，かけ算の意味理解が不十分な状態で，式の順序だけを守ろうとしたためではないかと推察された。(pp.54-55)

　それでは，本稿の学習支援プランには，文章題解決におけるどのような困難を克服する効果があったのだろうか。Mayer (1992)は，算数文章題を解決する際の心的過程を4段階―解釈段階，統合段階，プランニングとモニタリング段階，実行段階―に分けた。このうち，Yが困難とした，式の順序とかけ算の意味との対応づけは，統合過程におけるつまずきである。統合過程では，問題タイプについての知識（スキーマ的知識）に基づいて，文章題から読み取った情報のうちの適切なものが選択・統合されて，文章題全体についての心的表象が構成される。Mayer (1992)によれば，スキーマ的知識には，例えば「面積の問題は，面積＝縦×横という公式に基づく」のように，式についての知識が含まれる。「一あたり量がいくつ分」というかけ算の文章題で言えば，スキーマ的知識は「一あたり量がいくつ分というかけ算の問題は，全体量＝一あたり量×いくつ分という式に基づく」のように表現できる。一方，Yは式の順序とかけ算の意味との対応づけが不十分であったことから，Yが有していたスキーマ的知識は「かけ算の問題は，全体量＝ある数×他の数という式に基づく」のような不十分な状態であったと考えられる。そこで，問題の状況を表す絵を取り入れた教材に即して学習することにより，式の順序とかけ算の意味とが正しく対応づけられ，スキーマ的知識がより精緻なものになったと考えられる。以上のことから，問題の状況を表す絵に即して，式の順序とかけ算の意味とを対応づける学習支援プランは，算数文章題解決の統合過程における困難を克服する効果があったと考えられる。(p.59)

　もうひとつ大切なことは、かけ算の式は、
　　1あたりの数×いくつ分＝ぜん体の数
というようにしなきゃいけないことだ。たとえば「1人に3こずつ、4人にくばるときのぜんぶの数は?」というとき、
　　3（こ）×4（人）＝12（こ）
とするんだ。3×4も4×3も答えは同じだけど、式をたてるときはかならずこのじゅん番でたてようね! 4（人）×3（こ）＝12（人）は、まちがいだよ。(p.45)

（ジャイアン）いいこと聞いたぞ。オレは7のだんが苦手だから、7×6が思い出せないときは、6×7の九九を思い出せばいいんだ。
（ドラえもん）そういうこと。でも、文章題で式をたてるときは、ちゃんと「1あたりの数×いくつ分＝全体の数」としなきゃ、まちがいだよ。(p.52)


(p.16)

　乗法の数学的定義についても，集合の要素の数という観点からの定義と，順序という観点からの定義がある。
　算数科では，整数の乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かにあたる当たる大きさを求めるという場面で導入される。整数の世界では，その値を求めるためには，同数累加を行うことになる。つまり，乗法は同数累加の簡潔な表現として用いられることになる。この定義では，3×4＝3＋3＋3＋3，4×3＝4＋4＋4となる。つまり，被乗数と乗数の順序に意味がある。また，交換法則（a×b＝b×a）やa×（b＋1）＝a×b＋aが成り立つことにも気づかせたい。例えば3×5の場合，3を5個足す代わりに，3を4個足したもの（3×4）に3を1個加えればよい。つまり，3×5＝3×4＋3となる。この性質を活用して1位数同士の乗法を考えていく（乗法九九の構成）。なお，平成20年改訂の学習指導要領においては，これらの乗法九九の構成の延長として，被乗数や乗数が12程度までの乗法を扱うこととなっている。(p.113; 執筆者は清水紀宏)

  • 清水静海: 小学校算数 これでバッチリ! 計算指導, 文溪堂 (2011). [isbn:9784894237292]

1mの重さが3kgの鉄のぼうがあります。この鉄のぼう12mの重さは何kgでしょう。(p.127)

6つのはこに、ケーキが8こずつはいっています。ケーキはぜんぶでなんこあるでしょう。
（正解）8×6 (p.72)

多い誤答
かける数とかけられる数を逆に立式してしまう。
問題文に出てきた数の順に立式してしまった子どもが、34.7%みられました(p.72)

（表）5×8
（裏）
1はこに5こ入りの
チョコレートが
8はこあります。

（表）8×5
（裏）
チョコレートが
5はこあります。
1はこは8こ入りです。

（九九カルタ　文溪堂より）(p.48)

第2次 第10時 基準量が後に示された適用問題
１　問題を知り，めあてをつかむ。

おかしのはこが4つあります。
1つのはこには，おかしが5こずつはいっています。
みんなで何こになりますか。

5×4か4×5のどちらになるか考えよう。

５　学習のまとめをする。

「何のいくつ分」に気をつけてもんだいをとくとよい。
5この4つ分。
5×4＝20　20こ

(p.104)

次の①問題は，ほとんどの子どもが正解します。ところが，②の問題では逆に多くの子どもが間違います。

問題①　1はこに6こずつ入ったせっけんが4はこあります。せっけんはぜんぶで何こありますか。 問題②　せっけんの入ったはこが6はこあります。1はこに4こずつ入っています。ぜんぶで何こありますか。
正答　6×4＝24　答え24こ 誤答　6×4＝24　答え24こ

②の誤答には，「かけ算の意味が理解できていないため，数値の出てきた順にかけた。」「①のような文章題の経験しかなく，数値の出てきた順にかけた。」の2つの原因が考えられます。
問題の様子を図に表してみる，数量の関係をかけられる数（基にする数，1つ分）やかける数（いくつ分，何ばい）で捉えてみることなどかけ算の意味の理解を深める学習をさせます。また問題①と②を比べさせ，図で表した場面と式を対応させて違いを理解させることも有効です。問題の理解，立式，計算，答えを総合的に練習させる必要があります。(p.40)

他の文献・情報源

　以下は，今回の趣旨（新しい解説との関連）からやや離れますが，2010年～2011年に出版・公開されたものであり，「かけ算の順序論争」を知る一助にもなります。

*1:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1387014.htm

*2:http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syokaisetsu/index.htm