前回書いたことを，8マス関係表を使って再検討します．
まず，小学校の算数で共有されている，場面（文章題）・図・式の関係は次のとおりです．
「⇔」と「⇒」を乗せました．「⇔」は，同値関係です．左ならば右であり，右ならば左でもあります．
「⇒」は，“ならば”です．左ならば右，だけど逆は真ならずの関係です．実際，「3×5＝15」を表す図や文章題は，他にもたくさん考えられます．
それに対して，「囲い込みなしのアレイ図」を根拠として，3×5＝15も5×3＝15も正解とすべきだという主張は，次の図になります．
この図は，次のことを示しています．すなわち，「さらが ５まい あります。１さらに りんごが ３こずつ のって います」という状況で，5×3＝15がりんごの総数を表す式であるのならば，その式は，「さらが ３まい あります。１さらに りんごが ５こずつ のって います」という状況に対する式でもあるのです．
強調しておきたいのは，“小学校の算数で共有されている”関係を，根拠とすることなく，「囲い込みなしのアレイ図」を根拠として，そのことが言えてしまうという点です．
「2×8ならタコ2本足」（http://www.asahi.com/edu/student/teacher/TKY201101160133.html）にも適用できます．「囲い込みなしのアレイ図」を用いることで，2×8が「タコが2匹います。それぞれ足は8本。全部で足は何本?」という場面になると主張しても，「タコが8匹います。それぞれ足は2本。全部で足は何本?」という場面を表す式でもあるわけです．
そして式と対応する2つの場面のうち，一方を取り出せば，「2×8ならタコ2本足」です．
結局のところ，「2×8をタコ8本足と見ることができると言っても（私はその考え方に賛成しないけれど，あなたがそう主張するなら，そのロジックで），2×8はタコ2本足と見ることができるんだよ」となります．
なお，「囲い込みなしのアレイ図」は本質ではなく，そこを乗法の交換法則や，トランプ配りに置き換えても，同じ流れを得ることができます．かけ算の式で表される，ある種の文章題に対し，被乗数と乗数を逆にした式も認めることによって，発生する課題と言っていいでしょう．
ルート64の件も，図にしてみました．
8マス関係表のPowerPointファイルをアップデートしました．
eightcell.pptx 
（最終更新日時：Sat Jun 30 06:17:02 2012ごろ）
