- 田中英海: 乗法の意味をもとに，除法の意味を創っていく授業, 算数授業研究, 東洋館出版社, Vol.135, pp.26-29 (2021).
授業風景や板書は，表紙裏でカラーになっています。そこには「田中英海 筑波大学附属小学校授業研究デビュー」とあります。編集後記には「青山，田中の両先生が，本校算数部に加わった。今回は，そのお披露目授業研究会の紹介もさせていただいた。」というのも入っており，pp.30-31では，筑波の算数の（授業者を除く）6人の先生がそれぞれ，授業へのコメントを寄せています。
田中英海氏の名前は（1つ分）×（いくつ分）＝（全体）で解釈できない式を認められるのか～「変わり方調べ」の授業事例で取り上げましたが，これを公開した時点では，筑波の算数に赴任されたことを把握していませんでした。今回の雑誌（算数授業研究135号）と合わせて購入した以下の本でも，田中氏の所属は，東京学芸大学附属小金井小学校算数部でした。
授業に入る前のp.29の段落を書き出しておきます。この授業の背景となる，包含除・等分除の考え方が，明快に記されているのです。
単元導入は包含除（a×□＝c）場面とする。子どもたちの生活経験や分けるというイメージを大事にすると等分除（□×b＝c）の導入になる。一方，包含除で導入するよさは，かけ算九九が見えやすく，操作が容易なことである。また，上の2つをわり算として統合する時，包含除の意味や操作をもとに，等分除を捉えることができる。
わり算の導入の授業です（授業を通じて，「÷」の記号が出現しません）。表紙裏で大きく書かれている問題場面は「あめが ふくろに 入っています。一人に 4こずつ 分けていきます。ぼくまで もらえるかな?」です。ここからはp.27を見ていきます*1。条件不足の問題で，黒板を使って分配していくと，あめは全部で24個であり，4個ずつ6人に配れることが分かります。受け取った子どもの，黒板上の絵は，「ニコニコした顔」です。7人目の子は，もらえなかったので，「残念な顔」です。式は，p.28を見ると，もらえなかった子を含む「4＋4＋4＋4＋4＋4＋0＝28」や，同数累減の「24－4－4－4－4－4－4＝0」といったものも出てきます。
ここで，「ぼくまで もらえるかな?」の「ぼく」が，8人目となりました。この子どもだけ紙で描かれていて，最初の配置では控えめな表情でしたが，ひっくり返して黒板に貼り付けると，悲しい表情になっています。「一人に 4こずつ」では，8人目の「ぼく」はあめを受け取れないからです。
これに対し「一人分の数を1個少なくする」という意見が出ます。24個のあめを，一人に4個ずつなら，4×6＝24で，一人に3個ずつなら，3×8＝24です。表紙裏の板書にも，2通りの分け方と，かけ算の式が書かれています。3×8＝24のほうは，8が四角で囲まれていて，「何人分」の吹き出しが添えられています。
条件不足の問題から始めることや，途中で場面を変えて式なども変わることなどは，筑波の算数の授業事例（の出版物）を通じて何度か見てきました。「実践を振り返って」(p.28)の最初が「①同数累減の式を出したい教師のエゴ」というのも，筑波の算数の新人らしさを見せているように思えます。
本文4ページのうち，何度も読み直したのは，「②等分除のイメージに対して」のところです(p.29)。
②等分除のイメージに対して
一人に分ける数を4つから3つに減らした時に，4こずつ6人に配ったあめから1こずつ再分配しようとする発言があった。ノートにはその考えを記した子が複数見られた。
（図省略）
その子たちは，「8人なのか?」という意見に対してねらった 3×□＝24を考えておらず，3人から1個ずつを1セットとして，2人分増える操作をイメージしていた。
物を分けるという行為に対して，多い数から分けてあげる，いる人数で等分しようとする再分配の思い，等分除的な操作は子どもの自然な発想なのだと改めて感じた。文脈の設定として，知らない人同士が並んでいる，お店に並んでいて何人目まではもらえる，別のヒトして新しい袋から配る，などの整理をする必要があった。一方，再分配したいという自然な思いを，等分除場面に活かす展開も考えたい。
次の2点が，気になりました。一つは，除法を包含除で導入しており，等分除の場面を学習していないのに，「等分除のイメージ」を想定しているわけで，等分除の意味や操作をもとに，包含除を捉える可能性があるというのかということ，もう一つは，再分配は実のところ，等分除ではないのではないかということです。
ここで再分配は，分配法則と関連付けられます。式で表すと24（＝3×8）＝3×6＋3×2です。わり算ではなく，かけ算とたし算の組み合わせです。ただし，「3人から1個ずつを1セットとして，2人分増える操作」をより忠実に，式に表すなら（そして除算記号のほか，乗除先行も未習と仮定するなら），「3×6＝18 24－18＝6 3×2＝6」となります。
このように考え，式を作ることで，「等分除のイメージ」が見えてきました。「一人に分ける数を4つから3つに減らした時に」のところを，「24個のあめを，8人で同じ数ずつ分けると考えて」に置き換えればよいのです。式は，4×6＝3×8（＝3×6＋3×2）と表せます。この4×6＝3×8については，2年で学習する（解説のつかない小学校学習指導要領の算数に記載されている）「一つの数をほかの数の積としてみる」を踏まえたものとなります。
「24個」と「一人に4個ずつ」が既知のとき，4×□＝24から□＝6（「6人に配れる」）と求めるのは，包含除に対応します。授業の途中(p.28)の「あめが24個入っているよ。3個ずつ分けるともらえそうだと思う人?」という先生の問いかけも，3×□＝24そして□＝8を期待しており，包含除です。
なのですが，そこまでの授業の展開で，8人目の「ぼく」が見えているので，「あめが24個入っているよ。8人に（同じ数ずつ）分けると何個ずつになる?」と場面を捉える（そのように複数の子どもが解釈した）ことで，□×8＝24から□＝3を求めるという，等分除になるというわけです。
分配の総数は変わることなく，話の途中で，「1人分の数」「いくつ分」を変えるという話の，メインブログの初出は，以下の記事になります。
わり算に特化した記事は，以下より読めます。
「わり算として統合する時，包含除の意味や操作をもとに，等分除を捉えることができる（等分除の意味や操作をもとに，包含除を捉えるような授業や指導は見当たらない）」については，今年，https://twitter.com/takehikom/status/1348249572884107265とhttps://twitter.com/takehikom/status/1398441235061231617（いずれもデッドリンク）のツイートにしていました。
「筑波の算数」で，板書一つに3用法すべてを見出すことのできる授業を，昨年，取り上げていました。
*1:こちらのページで，文中に四角で囲まれた問題場面では，「一人」が「1人」と表記されています。
