まん中の数のいくつ分～「九九表」の授業提案

小学校 新教科書 ここが変わった! 算数 「主体的・対話的で深い学び」をめざす 新教科書の使い方

　解説編のあと，実践編において各学年で3つずつの単元より，各教科書の状況と，授業例を提示しています。教科書比較の表も多く，p.22の「各社の算数教科書の特徴」では出版社名が明記されています。実践編ではA社などのアルファベット表記で，どうして伏せたのだろうと思いながら，目次に戻ると，p.7の下に，2019年検定済の教科書をもとに解説していることに加えて，A社からF社までの出版社名を明記していました。
　実践編の第2学年の最初は，九九表(pp.50-58)です。それぞれの段は学習済みで，「乗法九九を構成したり観察したりすることを通して，乗法九九の様々なきまりを見付けるように指導すること」（p.50；『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』p.117）に関連する学習内容です。
　授業案における「本時の問題」が，p.53で枠に囲まれていました。

　「かくしたところの合計はいくつでしょう?」という問題です。1の段の答えが4・5・6のところが隠されています．合計は，4＋5＋6＝15ですが，「まん中の数のいくつ分」という見方を通じて，5×3＝15で求めることもできます。ページを進めて，p.55やp.57では，2の段の答えが4から12までを隠しますが，真ん中の数が8であること，隠しているのは5個であることから，8×5＝40で求められます（念のため，たし算だと，Linux端末でecho 4+6+8+10+12 | bcというコマンドを実行し，結果は「40」になりました）。図6(p.57)では，4個，6個，...，12個の長方形をそれぞれ縦に並べたタイルをもとに，移動させる*1ことで8×5のタイルにし，「まん中の数のマス分（○倍）になっている！」という，児童の発言を引き出しています。
　ここから，本書を離れた検討です。九九表は，「倍」と「積」のうち，どちらかというと「積」を視覚化したものと言えます。各行を「かけられる数」または「○の段」，各列を「かける数」として，表を構成することが多いですが，行と列を入れ替えても成立し，中の表の値は変わりません。
　では九九から学べるのは，対称性そして交換法則だけなのかというと，そうではないよ*2，というのが今回の授業例と言えます。表の上で，「1つ分×いくつ分」を作り，たし算よりも早く計算できるというわけです。
　どこを隠すかについて，本書の2つのケースはいずれも「横方向に奇数個」です。縦方向は差し支えないはずです。また偶数個の場合には，「まん中の数」は中央値の定義に基づき求める必要があり，小学2年の内容に適していません。
　もう一つ，制約があって，まん中の数は，任意というわけにいきません。大きな数（例えば4の段の20・24・28）を選んだ場合の，かけ算の式の計算は，3年の学習になります。九九を用いて求めるのなら，まん中の数は9までで，「簡単な場合の2位数と1位数との乗法」としても12程度*3までです。九九の表の中で，該当するのは22箇所*4です。
　「縦も横も奇数個」にしても，差し支えないはずです。以下の画像の塗りつぶしについて，まん中の数は8で，9個ありますから，合計は8×9＝72です。和で求めても72ですし，これもタイルで考えて，均せば，8枚のタイルが9セットになります。

　この画像の作成にあたり，啓林館ＷＥＢでリンクされている九九の表を使用しました。
　縦も横も奇数個にした場合，まん中の数は，視覚的に中央の数を選ぶ必要があります。「中央値」ではうまくいかない，最も小さなものは，{1,2,3}×{1,2,3}を選んだ場合です。まん中の数は4なのに対し，中央値は3です。そのほか，九九表の積に出現するすべての数値を考えたとき，その中央値は20（ふたたびLinux端末にて，ruby -e 'puts (1..9).map{|i|(1..9).map{|j|i*j}}.flatten.sort[40]'というコマンドの実行で確認しました。最後の40を0に変更すると，出力は最小値の「1」に，80に変更すると最大値の「81」になります）となって，まん中の数の25ではありません。

*1:均しています。「均す」「平均」の概念は，5年での学習ですが，具体物・半具体物を移動させて，同数グループを作り，1つ分の数×いくつ分に基づき，かけ算の式に表す活動は，九九の各段の学習より前に行われていると想定できます。

*2:図2(p.51)には，乗法九九のきまりの共通点として，「乗数と積の関係（乗数が1増えると，積は被乗数だけ増える）」「交換法則（カッコ書き省略）」「分配法則（同）」の3項目が記されています。

*3:『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』p.116より：簡単な場合についての2位数と1位数との乗法として，12程度までの2位数と1位数との乗法を指導する。

*4:「横に並ぶ3個を隠して，中央の数は12以下」となる場合の数は，1の段では7通り，2の段では5通り，3の段では3通り，4の段では2通り，5の段と6の段は1通りずつです。