「学校図書版：みんなと学ぶ小学校算数4の下」*1から，正方形の並びの図，「だんの数とまわりの長さ」の表，そして設問が，貼り付けられていました。設問は以下の通りです。
③ だんの数を□だん，まわりの長さを○cmとして，□と○の関係を次のような式で表しました。どのように考えたか説明しましょう。
4×□＝○
形状は異なりますが，説明の仕方が複数あることは，以下で集約を図っていました。
そこに書いた「求め方①」「求め方②」をアレンジすることで，上記の③の答えとして，次の2通りを挙げることができます。
- 1だんふえると4cm長くなり，1だんのときは4cmだから，□だんだと，4＋4＋…＋4＝4×□＝○*2
- 1辺の長さが1cmの正方形（まわりの長さは4cm）の□こ分と等しいから，4×□＝○
冒頭でリンクしたページを読み進めると，気になる記述にぶつかりました。
表から「だんの数」を4倍すると「まわりの長さ」になることは、判断できます。よって・・・
「 ⊡ ×４＝〇」・・・としてもよいです。
数だけを見ると，だんの数を4倍すると，まわりの長さになります。ですが4だんを4倍すると，答えは「16だん」であって，「16cm」にならない，というツッコミをすることができます。
実のところ，この「だんの数とまわりの長さ」の件で，□×4＝○というかけ算の式を認めるにあたり，その根拠として，「1つ分の数×いくつ分」や「基準量×割合」を採用することはできません。これらは，被乗数と積は同種の量で，乗数は（具体的な場面では「4だん」「□だん」であっても）無次元量となるのですが，「□×4＝○」や，例えば□に5を当てはめたときの「5×4＝20」について，被乗数と積は異種の量になっているのです。
とはいえ「ともなって変わる量」の単元の中で，□×4＝○の式に表す活動があることも，把握しています．その際の説明として，小学生の期待される反応は「表から，「だんの数」を4倍すると「まわりの長さ」になる」で，教師向けには「帰納的な考え」を添えるといいでしょう。
学術文献からだと，Vergnaud (1983, 1988)の「関数関係」です。それに対し，4×□＝○も，「1つ分の数×いくつ分」も「基準量×割合」も，スカラー関係に基づきます。当ブログとメインブログ（わさっきhb）から，1件ずつリンクします。
なお，「1㎤あたりの質量である7.87ｇに、（それがどれだけ分あるかということで）体積の125㎤をかける」と「体積の125㎤をｇ単位の数値に変換するため、密度の7.87ｇ／㎤をかける」も，それぞれスカラー関係と関数関係で説明がつきます。
*1:[isbn:9784762555985]と思われます。
*2:左辺には，中カッコを横にした記号と，「4が□こ」を添えたいところです。
