かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

ヒトッツ，オナジン，演繹的

　後ろ2つについて，URLの終わりは「.pdf」ではありませんが，それぞれリンクを進むと，拡張子が.pdfのファイルをダウンロードしました。
　《かけ算のいみやしかたを考えよう.pdf》を見ると，令和3年10月26日6校時の学習指導案となっています。はじめのページに「順序」が2度，出現し，いずれも「被乗数と乗数の順序」です。
　本時の学習活動に書かれているのは，「12個のレモンを同じ数ずつ袋に入れる場合を考え，乗法の式で表す。」です。次のページの「(3)展開」は，授業実施前の計画となっています。「T4:2個ずつ入れる分け方をかけ算の式で表してみよう。」という教師の問いかけのあと，発表させると，「C10:式で表すと2×6です。」「C11:6×2だと思います。」が出ます（右には「※6×2が出ない場合は教師から出す。」ともあります）。「T5：2×6でも6×2でも,どっちでもいいのではないかな。」もまた，教師からの質問になります。これには「C12:だめだよ。絶対2×6が正解だよ。」「C13:どっちでも良くない。2×6が正しい。」という反応を予想しています。
　実際の授業の状況は，《演繹的な考え方を使って問題解決していく指導の工夫.pdf》の最初のページで，枠で囲まれています。「ふくろ」から「皿」に替わり，累加の式はありません。「一つ分の数×いくつ分で立式」に基づき，2個ずつ6皿のときのレモンの数を表す式は「2×6」であって「6×2」ではないと結論づけています。
　両方のファイルに「ヒトッツ」「オナジン」というカタカナ書きが出現します。《かけ算のいみやしかたを考えよう.pdf》の最初のページで，詳しく書かれていたので抜き出します。

４ 数学的な見方・考え方について ～一つ分の数を捉える「ヒトッツ」，演繹的に考える「オナジン」～
　本単元を通して，２つの数学的な見方・考え方を働かせて，問題解決していく。１つ目は，一つ分の数に着目して立式することである。一つ分の数を捉える「ヒトッツ」という見方を用いると，被乗数と乗数の順序を（一つ分の数）×（いくつ分）と正しく求めることができる良さに気付かせていきたい。
　２つ目は，常に乗法は（一つ分の数）×（いくつ分）で立式するといった既習事項に基づく演繹的な考え方である。演繹的に考える「オナジン」という考え方を用いると，正しく乗法の立式ができる良さに気付かせていきたい。そして，どの問題場面でも「オナジン」を使って考えることで，全ての乗法の式が（一つ分の数）×（いくつ分）であるという式の意味理解と，具体的な場面と関連付けて表現することができるようにしていく。

　「ヒトッツ」は一つ分の数，「オナジン」は「同じ数ずつ」に由来する，この文書（というよりは学級でのかけ算指導）のオリジナル表現と思われます。
　上の引用の中に，少し気になる書かれ方もあります。演繹的な考え方の対象として，「乗法は（一つ分の数）×（いくつ分）で立式する」のほか，「オナジン」に限定しているところがあります。
　「乗法は（一つ分の数）×（いくつ分）で立式する」を言い換えると，こうなります。「『一つ分の数』と『いくつ分』が分かっているとき，（一つ分の数）×（いくつ分）という式を立てて，全部の数をかけ算で求めることができる」です。「一般的な原理や原則などから、個別の事項や派生的な事柄を導き出すさま。」（Weblio辞書）という，「演繹的」の定義に，合っているものと言えます。
　それに対し，「オナジン」のみを対象として，「演繹的に考える」のは，自然でないようにも思います。
　少し考えて気づいたのは，「一つ分の数」は，乗法の場面でなくても使用できるということです。6つの袋にそれぞれ，4個，3個，2個，1個，8個，0個（最後の袋はからっぽ）のレモンが入っていたとき，4個入りの袋を手に「一つ分の数は4」と言うことは，できます*1。「6ふくろあるから，式は4×6，答えは24個」は，間違いです。
　4個，3個，…と不揃いなときには，「かけ算」は使えません*2。かけ算たらしめるのが「同じ数ずつ」であり，そこで---子どもたちが認識して，言葉で表し，かけ算の立式につなげるよう---，「オナジン」と「演繹的に考える」とを結び付けた，というわけです。
　今回の2つのPDFファイルを見ながら，思い浮かんだ記述をいくつか，挙げておきます*3。

2年生の導入時では，被乗数と乗数を明確に区別して扱っているが，これもかけ算の意味の理解を確かにするためと考えられる．図1のみかん全部の個数を4×6＝24と表すときに，被乗数4が一つ分の大きさ，乗数6が幾つ分を表していることを大切に扱う必要がある．(p.50)

第2学年や第3学年では、読み取った数を、「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」と表現できることが重要であり、逆に、この立式ができているかで、数の読み取りができているかを判断できる。(p.92)

Mayer (1992)によれば，スキーマ的知識には，例えば「面積の問題は，面積＝縦×横という公式に基づく」のように，式についての知識が含まれる。「一あたり量がいくつ分」というかけ算の文章題で言えば，スキーマ的知識は「一あたり量がいくつ分というかけ算の問題は，全体量＝一あたり量×いくつ分という式に基づく」のように表現できる。(p.59)

*1:より正確には「（この袋の中のレモンの数については）一つ分の数は4」です。

*2:4＋3＋2＋1＋8＋0＝18として求めることはできます。4年で習う正方形の面積の公式（一辺×一辺＝面積）は，「正方形があって，その一辺の長さが分かっているとき，一辺×一辺という式を立てて，その面積をかけ算で求めることができる」と言えます。ここから，「一辺の長さが分からないと面積は求められない」と主張するわけにもいきません。「正方形は長方形のなかま」あるいは「正方形はひし形のなかま」と見なして，縦×横（または横×縦）や，対角線×対角線÷2の公式を使用し，面積を求めるのであれば，「一辺の長さ」を認識する必要はないのです。

*3:いずれも，https://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2017/07/11/062026からの抜粋です。