変わり方調べの4×10と10×4 - かけ算の順序の昔話

[青山2024] 青山尚司: 式や数値の意味を問い，表現方法の行き来を促す, 算数授業研究, 東洋館出版社, No.153, p.7 (2024).

東洋館出版社

　2段組の左カラム中央は，「2 表現されたものの意味を問う」の見出し，そして図のあと，「4年生の「変わり方調べ」に，上のような階段の形の周りの長さを求める題材がある。」から始まる文章で，課題説明がなされています。「10段の場合の周りの長さの求め方」を促すと，「4×10」と「10×4」の式が引き出され，それぞれの「意味を問う」という展開になっています。
　図は，https://www.mext.go.jp/content/20211102-mxt_kyoiku02-100002607_04.pdf#page=236にあるものと，類似していますが，「1だん」から「4だん」までの形状があるほか，「2だん」以降の図形は外周のみで，内部に縦横の線がありません*1。
　この「変わり方調べ」の件は，以前に図を作っていました。

図の作り直し～段数と周りの長さの関係

　比較すると，上記ページの求め方①の図*2が，[青山2024]には見当たりません。「1段増えると4cm長くなり、1段のときは4cmだから」に関して，[青山2024]の右カラム，板書画像から読み取れる「0だんで0cmから＋4が10こ」には，なるほどと思いました。
　もう一つ，照合すべき情報があります。「変わり方調べ」は，3年前の算数授業研究で，筑波の算数の他の教師（田中英海氏）が取り上げていました。

（1つ分）×（いくつ分）＝（全体）で解釈できない式を認められるのか～「変わり方調べ」の授業事例

　読み比べることで，上記ページでは【段×4＝まわりの長さ】，小学校学習指導要領解説の「段数×4＝周りの長さ」として書かれている，言葉の式が，[青山2024]には入っていないことに気づきました。言葉の式をつくれば，それに当てはめて10段でも1000段でも，周りの長さを求めることができるのですが，[青山2024]で報告された授業は，「段数×4」か「4×段数」かではなく，子どもたちにとってなじみのある「4×10」と「10×4」を引き出して，それぞれ，なぜその式で表せるのかを発表させていました。
　[青山2024]の最後の段落は，以下の通り，かけ算の順序の「イエス・バット」*3の形でした。

　乗法は被乗数と乗数を反対にしても積は変わらない。しかし，「4×10」と「10×4」では，子どもたちが働かせた見方・考え方が異なっている。表現方法の行き来を促しながら，式を丁寧に読むことは，その式を立てた友達の見方・考え方を全員で共有する深い学びにつながるのである。

*1:https://takehikom.hateblo.jp/entry/20180426/1524691332の「GIFアニメーション」も，外周のみですが，[青山2024]の「1だん」から「4だん」までの図は、1段（単位正方形）の一辺の長さは1cmで，「4だん」の幅と高さは「1だん」の4倍になっています。左カラム下と右カラム下の，10段の図は，掲載の都合で，1段分の長さが短く，矢印も少し分かりにくいです。

*2:https://www.mext.go.jp/content/20211102-mxt_kyoiku02-100002607_04.pdf#page=237の「図で「＋4」を説明する」の件も，実質的に同じです。