かけ算の順序の昔話

算数教育について気楽に書いていきます。

等分除は乗法の逆

　題目の「等分除と包含除の統合」を少し変えて，「包含除と等分除を統合的に捉える」とすると，『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』（以下，解説）のp.146で書かれています。包含除と等分除の得失比較や，□の位置などについて，解説と，紀要とで，同じことを述べているように見えます。
　実践的研究というのは，教科書比較*1や文献に基づく検討をした上で，授業を構成して実施したというものです。「残された課題」の中に，興味深い指摘がなされていました(p.31)。

　また，二つは，児童たちのいう「逆」の意味についてである。児童たちは，等分除の段階から除法は乗法の逆であるといってはいたが，それには様々な意味があった。少なくとも，式を読む方向，確かめ算，答えを求める方法，具体的操作という意味で「逆」ということばを用いていた。乗法的構造だけでなく加法的構造にも当てはまることであるが，児童たちの乗除や加減が「逆」の関係にあるということの理解のため，これらの違いを吟味し，その理解のための道筋を明らかにする必要があろう。

　「式を読む方向」という語句は，p.28に出現するのですが，p.27の，以下の内容で，より具体的に示しています。

　これらのことから，何か気づくことがないか児童に問いかけたところ，「分けるときには，かけ算をしてからわり算をすればいい」（児童MY），「3の段の答えから式ができる」（児童KK），「1×3＝3ってした答えを一番最初にもっていって÷に変えたらわり算になる」（児童TK）という意見が出た。つまり，乗法の式を逆方向から（右から）読むと，例えば5×3＝15であれば，右からみると，15，3，5という数字が並ぶので，「15÷3＝5」となるという意味で，乗法と除法は「逆」であると考えた。

　かけ算の式「5×3＝15」から，話を始めると，こうです。3つの数を取り出して逆に並べたら，「15　3　5」で，正しい式になるよう記号を当てはめると，「15÷3＝5」になります。反対にわり算の式「15÷3＝5」からとするのでも，3つの数を逆に並べて「5　3　15」としてから，正しい式になるよう記号を当てはめれば，「5×3＝15」が得られます。
　著者としては予想していなかった反応と思われます。
　このような逆の見方は，形式的操作（形式処理）を行ったのだ，と考えることも可能に見えます。第3学年で学ぶことが可能な形式的操作は，「12を120にするように，数の後ろに0をつけると，10倍になる」です（0を除く整数に対して成立します*2）。中学数学では「絶対値は，マイナスがついていたら取り除き，なければそのままの数」というのが思いつきます。いずれも，その操作でなぜうまくいくかは，「除法」「10倍」「絶対値」の意味に戻ることで説明ができます。
　乗法と等分除の関係は，例えば「a×b＝c ⇔ c÷b＝a」と表せます。ここで，a，b，cは具体的な数値のほか，□になることもあります。この同値関係について，小学校での学習にあたっては，2つの式が同じ状況を表すことを，1つまたは少数の対象で確認するという，いわば帰納的な考えを通じて認めていきます。「a×b＝c」と「c÷b＝a」の式で表される状況に関しては，乗法・除法それぞれの「演算の意味」のほか，「式の意味*3」，そして授業において教師がコーディネータの役割を果たして子どもたちに発表や理解を促すことも不可欠です。

*1:「平成22年検定済み」(p.23)とのこと。メインブログのhttps://takehikom.hateblo.jp/entry/20140626/1403730091で取りまとめたものより一つ前となります。

*2:1.2のうしろに0をつけても「1.20」で，10倍になりません。また小学校算数なので，十進位取り記数法を念頭に置いていますが，2進法でも16進法でも，整数の後ろに0をつけると「10倍」になると言えます。

*3:解説のつかない小学校学習指導要領では「式を読み取ったりすること」と表記されます。乗法はhttps://w3id.org/jp-cos/8250223131200000，除法はhttps://w3id.org/jp-cos/8250233141200000です。