13cmのソフトキャンディー - かけ算の順序の昔話

　はじめに，「13÷2」の式で表すことのできる文章題を，2パターンに分けて3つずつ，例示します。

13÷2＝6.5で求められるもの
- 13cmの紐を，2人で同じ長さに分けると，1人分の長さはどれだけになりますか。
- 13cmの紐は，2cmの紐の何倍の長さですか。
- 13個のおはじきは，2個のおはじきの何倍ですか。
13÷2＝6あまり1で求められるもの
- 13個のおはじきを，2個ずつ袋に入れると，2個入りのおはじきは何袋できますか。
- 13個のおはじきを，2人で同じ数ずつに分けると，1人分は何個になりますか。
- 13cmの紐を，2cmずつ切り取っていくと，2cmの紐はいくつできますか。

　「等分除か包含除か」「被乗数・乗数が分離量か連続量か」では，これらの区別は説明できません。商が有理数になってもよい場合には，あまりがなく，商が整数でなければならない場合に，あまりが生じます。「商が連続量か分離量か」と書くことができます。

全国算数授業研究大会
ご参会の先生方ありがとうございました。
子どもたちと楽しく授業でき、パネルも仲間に盛り上げていただきました！
子どもとの授業づくりと算数教育の実践研究の両方を大事にできたことがよかったです。精進します！#全国算数授業研究大会 #全国算数授業研究会 pic.twitter.com/GNYlQBJwi3
— 田中英海(ひでみ).算究 (@HSanqyou) August 7, 2023

　「全国算数授業研究大会」で検索することで，開催要領を知ることができました。

【2023/8/5,6開催】全国算数授業研究大会 - 全国算数授業研究会公式HP

　なお，研究大会の「2023年(略)」のリンク先は，本記事執筆時点では，2022年と同じになっています．
　板書の画像から，読み取れることを，書いていきます。「13÷2＝6あまり1になるお話はどっち？」を中央上段に書き出して，2つの文章題（模造紙に，事前に書いてあったものと思われます）を貼り出しています。それぞれ以下の通りです。

13cmのソフトキャンディーを
2cmずつ切りとっていくと
2cmのキャンディーはいくつできますか。

13cmのソフトキャンディーを
2人で同じ長さに分けると
一人分の長さはどれだけになりますか。

　「2cmずつ」のほうが，「13÷2＝6あまり1」の式になります。問題文の下に，この式と，13cmを2cmずつ切り分けるテープ図，そして「2cmのキャンディは6こ」「2×6＝12」という，言葉と式があります。かけ算の結果は12であって13ではありません。差の1は，「あまり1cm」として，赤チョークで書かれています。
　それに対し，「2人で同じ長さに」のほうも，すぐ下に「13÷2＝6あまり1」の式を書いていますが，その右には，黄色のチョークによる，雲形の吹き出しで「？」が，添えられています。テープ図では，13cmを，一人は6cm，もう一人も6cm，取って，「あまったのこりのキャンディー1cm」を赤字にしており，そこから右上に，オレンジ色のチョークで矢印を伸ばして，「なんか図がへん？」と示しています。
　「あまりの1cmも分けられる!?」が，黒板の右上に書かれ，テープ図で展開していきます。「1cmを $\displaystyle\frac12$ ，半分にわける?」に対し，その長さは「5mm」です。「1人分は，13cmの $\displaystyle\frac12$ 」であり，答えは「6cm5mm」です。板書の右下は「13÷2＝6あまり1　式がおかしい!」がオレンジ色のチョークで書かれています。
　結局のところ，「2人で同じ長さに」を含む文章題について，式は13÷2＝6あまり1ではない，というわけです。
　この投稿を，当日（2023年8月7日）に目にし，ブックマークしていました。今，読み直すと，内容に違和感がありました。
　2つのわり算について，式（上記では13÷2）は同じだけれど，計算して，商とあまりが異なることについては，教科書より事例を把握しています。

7.5÷2は?
算数で連続量 (2019.05)（出題例2: 7.5mのロープ）

　そこで紹介した一対の文章題について，式で表すと，一方が「7.5÷2＝3.75」，他方が「7.5÷2＝3あまり1.5」となります。
　ただし，「7.5」を，「7」といった（2でわり切れない）整数値に置き換えても，同様の結果となります。7mのロープを2等分すると，1本分の長さは3.5mであり，あまりは発生しません。7mのロープを2mずつに切ると，2mのロープは3本できて，1mあまります。ここで，「等分除だとあまりがなく，包含除だとあまりが出る」と，認識するわけにはいきません。『小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編』p.192では，「整数を整数で割って商が小数になる場合も含めるものとする」に関して「6Lを4等分する場面と6mは4mの何倍かを求める場面」を例示しており，「6mは4mの何倍か」は，割り進むことのできる包含除です。
　比較を通じて，気づくことができました。明記されていないけれども，「13÷2＝6あまり1になるお話はどっち？」を含むこの公開授業は，3年生向けだったのでした。
　3年生向けであって4年生向けでない状況証拠としては，掲示された2つの文章題の右上にそれぞれ「とり算」「わけ算」が添えられていること*1，そして，「2人で同じ長さに分けると」に対する計算として「13÷2＝6.5」という割り進みが見られないことを，挙げることができます。
　割り進みが使えないのに加えて，乗法と除法の関係が十分に利用できないことになります。実際，「2cmずつ」の文章題に対するかけ算の式は，板書では2×6＝12ですが，4年で学ぶ「被除数，除数，商及び余りの間の関係」の式*2に当てはめると，「2×6＋1＝13」と表せます。「2人で同じ長さに」のほうは，「6.5×2＝13」です*3。
　3年の学習となると，以下の2つの文章題では，ともに式は「13÷2＝6あまり1」となります。