刊行物やWebの情報より知ることのできる，かけ算の「順序」について，整理します。Twitter のハッシュタグ 「#掛算」つきのツイートがおすすめです。https://twitter.com/hashtag/%E6%8E%9B%E7%AE%97?src=hash より読めます。
1. かけ算の「順序」は3種類
小学校の算数に見られる，かけ算の指導や出題において，「順序」や「順番」には，大きく分けて3つのとらえ方があります。《計算の順序》《被乗数と乗数の順序》《順序論争》です。結合法則 や交換法則といった，かけ算の式の《計算の順序》です。例えば7×25×4＝（7×25）×4＝175×4＝700として求めるのでは，暗算にせよ筆算にせよ，間違えやすいものです。そこで7×25×4＝7×（25×4）＝7×100＝700とすれば，7を含むかけ算は，筆算が不要になり，楽して答えが得られます。結合法則 を表した式です。交換法則はa×b＝b×aです。バツ 印がつけられる件です。《順序論争》と呼びましょう。
ここまで，《計算の順序》《被乗数と乗数の順序》《順序論争》とラベリングしたものの，これらの3つは，ずいぶんと絡み合っています。
Anghileri, J. and Johnson, D. C.: Arithmetic Operations on Whole Numbers: Multiplication and Division. In Post, T.R. (Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8, Longman Higher Education, Allyn and Bacon, pp.146-189 (1988). [asin:0205110762]
キャンディの話は，2014年に図をつくっていました（4×3と3×4 - わさっき ）。朝日新聞 の記事，そして同年の遠山啓による科学朝日がよく知られていますが，1960年代にも論争があったと指摘をするのは佐藤俊太郎です（『算数・数学教育 つれづれ草』p.46）。
昭和40年（1965年）ごろ，「5円の品3個の代金の立式は，3×5ではダメなのか」の論争が大阪や神戸から湧き起こった。それは海外で教育を受けた子どもが日本に帰国して授業に臨むと，上記問題の正答は，5×3のみで，3×5はダメという指導に遭遇した。そこで，帰国した子どもの親から担任教師に対する反発が起こり，問題化していった。
上記は，《被乗数と乗数の順序》と《順序論争》を結びつけた文章となっています。それと，この解説では，昭和44年の『小学校指導書 算数編』以降，平成20年の『小学校学習指導要領解説 算数編』まで，5×3と3×5の両方を正答としています。
《計算の順序》《被乗数と乗数の順序》《順序論争》のすべてが入った記述は，森毅 「次元を異にする3種の乗法」で読むことができます。『数の現象学 』（ちくま学芸文庫 ）pp.66-67より，引用します。
小学校の先生が，次の問題を出した．
なお，「日本とヨーロッパでは違う」に限れば，中島健 三が以下の文献で同様のことを示しています。
「かけられる数×かける数」は日本のほか，韓国や台湾でも採用されており，それに基づく《順序論争》の事例も見ることができます。
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ところで，「交換法則はそのうちに習う真理」を別の観点でみるなら，「交換法則を学習しないうちは，a×bを正解としb×aを不正解とするような採点や指導があってもいいのではないか」という問題意識となります。
乗法の場面、「1ふくろにミカンが3こずつ入っています。5ふくろでは、ミカンは何こでしょう。」は、3×5と立式される。立式は、「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」とまとめられ、それぞれ被乗数、乗数という。(略)乗法では、数の位置ではなく、数が意味する内容に注目して、どの数が1つ分の数であるか、いくつ分はどの数かをしっかりと読み取ることが大切である。第2学年や第3学年では、読み取った数を、「1つ分の数×いくつ分＝全体の数」と表現できることが重要であり、逆に、この立式ができているかで、数の読み取りができているかを判断できる。しかし、高学年になり、乗法では交換法則が成り立つことや外国での立式を知り、数の意味をしっかり理解できていれば、必ずしも第2学年で学んだ順序で立式することを強制しなくてもよい。
とはいえ最後の文が，著者の伝えたかったことであると読むのは不自然です。その一つ前，「第2学年や」から始まる文を，メインの主張と見るべきでしょう。
東京工業大学 教授の森村英典が，p.283にて以下の通り記しています。
小学校では，例えば乗算における被乗数と乗数の区別や順序をやかまし く指導することすらあると聞く。交換法則を九九を通して教えたあとではその種の厳密さは有害とさえ思われるのであるが，とにかくそのような指導に馴れている教師・生徒の双方にとって，例えば，ヒストグラム を作るにも，階級幅を“適当に”定めるごとに異なった結果になり，そのいずれがよいとは断定しかねるという性格は全く数学らしからぬものと映るものも無理はない。
2011年刊行の『かけ算には順序があるのか』の影響を受けてか，その後，数学者らが解説記事や著書の挿話などを通じて，批判を記しています。一松信，松本幸夫，黒木玄，志村五郎，野崎昭弘，小林道正，大栗博司，長岡亮介 の著作を読んできました。出典や抜粋などは，以下よりご覧ください。
《順序論争》で批判的，すなわちりんごの問題に5×3を正解とする人々のなかで，結合法則 を考慮する人を，ほとんど見かけません。結合法則 の説明に使われています。その場合，「かけ算では，じゅんじょをかえてかけても，答えは同じになります。」（学校図書 ），「多くの数をかけるときには，計算するじゅんじょをかえても，答えは同じです。」（啓林館），「3つの数をかけるときは，計算するじゅんじょをかえてかけても，答えは同じになります。」（日本文教出版 ）といった表現になります。交換法則のまとめ方では，どうやら「じゅんじょ」は出現しません。結合法則 は，「計算のきまり」の一つとなります。同様の他のきまりには，加法の結合法則 や，乗除先行があります。乗除先行は，例えば3＋2×3を求めるときに活用します。この場合，2×3を先に計算し，3＋2×3＝3＋6＝9としないといけません。3＋2を先に計算して，3＋2×3＝5×3＝15と書いたら，バツ にされます。結合法則 はかけ算ばかりのとき，乗除先行は加減と乗除が混在しているとき，と適用の場面は異なりますが，因数や項の入れ替えや展開をすることなく，どこから計算すればよいかのヒントを与えるという点で共通しています。結合法則 について，2つの文献を紹介します。一つは1904年に刊行された高木貞治 『新式算術講義』です。
そこでは，自然数 を対象とする加法の諸性質を確認したあと，a×1＝aとa×b＝a＋a＋a＋…＋aにより乗法を定義し，「加法に対する分配の法則」「組み合はせの法則」「交換の法則」を証明しています。現在では順に「分配法則」「結合法則 」「交換法則」と呼ばれている性質です。後二者では以下のとおり，どちらにも「順序」という言葉を使用して，説明しています。
a,b,nなる三個の数に順次乗法を施こすとき因数の順序は積に影響することなきこと加法の場合に於けると同趣なり，之を組み合はせの法則といふ．此法則はnが1なる場合にも成立すべきこと明なり．
これと同時期に刊行された本で，かけ算の定義のあと，交換法則を先に取り上げているものもあります。
そこでは，"The sum of b numbers each of which is a is called the product of a by b"として積を定義し，表記には「a×b」「a・b」「ab」を載せています。ただし，現在の視点で見ると，aが被乗数，bが乗数ですが，multiplicand/multiplierといった，二者を区別する用語はこの本に見当たりません。結合法則 ，分配法則の順で，加法の性質を用いて別々に示しています。「多くの数をかけるとき」の話に，orderの語を見つけることができました(p.8)。
The commutative, associative, and distributive laws for sums of any number of terms and products of any number of factors follow immediately from I-V. Thus the product of the factors a, b, c, d, taken in any two orders, is the same, since the one order can be transformed into the other by successive interchanges of consecutive letters.
「隣り合う文字の交換を繰り返すことで，他の順序に変換できる」について，例えばabcd＝bacd＝bcad＝bcda＝cbda＝cdba＝dcbaを考えることができます。それぞれの等号が成立するのは，乗法の交換法則と結合法則 によります。
Greer, B.: Multiplication and Division as Models of Situations, Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, National Council of Teachers of Mathematics (1992). [isbn:1593115989] かけ算・わり算でモデル化される場面 - わさっき
小原豊: 小学校児童による有理数 の乗法における乗数効果 の分析, 鳴門教育大学 研究紀要, Vol.22, pp.206-215 (2007). https://ci.nii.ac.jp/naid/110006184927 乗数効果 - わさっき
Vergnaud, G.: Multiplicative Structures, Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol.2, pp.141-161 (1988). [isbn:0873532651] かけ算と構造 - わさっき
小原の文献では，〈乗数と被乗数が区別される文脈〉と〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉の存在が前提となっています。かけ算の導入時に学習するタイプの場面について，GreerとVergnaudの文献には，ともに，asymmetryという単語が出現します。
2. 現行および次期の学習指導要領から見た「順序」
教科書検定 や教育課程の基準となる，学習指導要領で，「順序」はどうなっているのかを見ておきます。
「算数(1)」「算数(2)」をダウンロードして開き，検索したところ，「大小や順序」「順序数」「順序よく」といった，本記事の内容に関係ない言葉も多い中，当たらずとも遠からずな記述として，次の2点が見つかります。一つは，第2学年では加法の交換法則・結合法則 を挙げる中での「幾つかの数をまとめたり，順序を変えて計算したりする場合がある」という文です。もう一つは，第4学年にある「計算の順序についてのきまり」です。wikipedia:かけ算の順序問題 で次のように記載しました。最後の文献[15]は，上で取り上げた『小学校指導法 算数』のことです。
学習指導要領は「教育課程の標準」「各教科で教える内容」を定めたものであり、例示として片方の順序を示しているところはあっても、その片方の順序でのみ式を書くことを要請する文は存在せず、他方の順序を不正解とすることもない。学習指導要領・学習指導要領解説に基づき教材や授業、テストとして具体化されていく中で、特定の順序が選択される。そのとき、逆の順序に書かれた式を正解とするか不正解とするかは様々である[15]。
小学校では2020年より実施となる，新しい学習指導要領が今年3月に公示されました。そして6月21日に，以下より総則および各教科の解説のPDFファイルがダウンロードできるようになりました。
ここでも，算数は(1)と(2)に分かれています。各リンクのURLには年月日が含まれており，頻繁に改訂されています。本記事執筆時点では，算数のPDFのURLには「2017/07/25」が含まれており，以下「2017/07/25版」と書きます。
（ア）乗法が用いられる場合とその意味英語圏 などでは順序が日本と逆になっている場合があることに注意して，外国籍の児童の指導に当たるようにする。
このうち「「１皿に５個ずつ入ったみかんの４皿分の個数」を表す場合，一つ分の大きさである５を先に書き５×４と記す」は，現行の解説にない，踏み込んだ記述であり，《被乗数と乗数の順序》についての見解を示したようにも読めます。ツイッター などで見かける言葉で言い直すと，「順序強制」です。
「５個のまとまり」の４皿分を加法で表現する場合，５＋５＋５＋５と表現することができる。また，各々の皿から１個ずつ数えると，１回の操作で４個数えることができ，全てのみかんを数えるために５回の操作が必要であることから，４＋４＋４＋４＋４という表現も可能ではある。しかし，５個のまとまりをそのまま書き表す方が自然である。そこで，「１皿に５個ずつ入ったみかんの４皿分の個数」を乗法を用いて表そうとして，一つ分の大きさである５を先に書く場合５×４と表す。このように乗法は，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な表現とも捉えることができる。言い換えると，（一つ分の大きさ）×（幾つ分）＝（幾つ分かに当たる大きさ）と捉えることができる。
「一つ分の大きさである５を先に書く場合５×４と表す」と「一つ分に当たる大きさを先に，倍を表す数を後に表す場合」により，この（バージョンの）解説では，「かけられる数×かける数」はかけ算の式の一つの書き方であり，他の書き方を拒絶するものではない，と解釈することができます。この改訂には，7月10日に東京新聞 で，同月13日に中日新聞 で掲載された「掛け算の順序論争再燃」が背景にあると思われます。以下より前文のみ読めていましたが現在はデッドリンク です。
http://www.tokyo-np.co.jp/article/tokuho/list/CK2017071002000116.html これについて，東京新聞 の記事の複製を得ることができました。「5×3、3×5のどちらの順序が正しいとも言えない」や「三つの角が違う二等辺三角形 がある」は算数・数学の表記として不適切なのに加えて，批判の立場にある人々が実名である一方で肯定派の氏名が見当たらないのは，残念に思いました。
なお、海外在住経験の長い児童などへの指導に当たっては，「４×100ｍリレー」のように，表す順序を日本と逆にする言語圏があることに留意する。
さらに続く以下の段落は，立式と交換法則との切り離しが意図された記述となっており，《被乗数と乗数の順序》および《順序論争》に関連します。
ここで述べた被乗数と乗数の順序は，「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大きさを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方，乗法の計算の結果を求める場合には，交換法則を必要に応じて活用し，被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。
図にしてみました。「4皿に3個ずつみかんが乗っている」も，『小学校学習指導要領解説算数編』の第2学年のところに記載されています。
式を読み取る指導に際しては，例えば，３×５の式から，「プリンが３個ずつ入ったパックが５パックあります。プリンは全部で何個ありますか。」という問題をつくることができる。このとき，上で述べた被乗数と乗数の順序が，この場面の表現において本質的な役割を果たしていることに注意が必要である。「プリンが５個ずつ入ったパックが３パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」という場面との対置によって，被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童に気付かせたい。
2011年に出版された中に，「被乗数と乗数の順序」を明記しているものがありました。中原忠男(編著)『新しい学びを拓く算数科授業の理論と実践』です。
出現するのはp.113です。執筆者は清水紀宏で，
日本文教出版 の
平成27年 度版『小学算数』の著作者に名前が載っています。
乗法の数学的定義についても，集合の要素の数という観点からの定義と，順序という観点からの定義がある。
「算数科では」から始まる段落は，新しい学習指導要領および解説の記述にも適合します。時系列としては，2008年（平成20年）に現行の『小学校学習指導要領解説算数編』が公開され，それをもとに『新しい学びを拓く算数科授業の理論と実践』で解説が入り，「意味がある」が「本質的な役割を果たしている」や「約束が必要である」に置き換えられて，2017年6月，新しい学習指導要領に基づく『小学校学習指導要領解説算数編』に記載された，という流れを見ることができます。
Chapin, S. H., O'Connor, C. and Anderson, N. C.: Classroom Discussions―Using Math Talk to Help Students Learn, Grades K-6, Second Edition, Math Solutions (2009). [isbn:1935099019]
その本のp.4には，先生が"Eddie says that order does matter"と言うシーンがあります。ただし乗法の交換法則の学習ということもあり，"the answer is the same no matter which number goes first."や"I don't think it matters what order the numbers are in."のように，否定語を含む文の中にも出現します。https://books.google.co.jp/books?id=2NX4I6mekq8C&pg=PA3 より，授業の状況をかいつまんで説明します。かけられる数・かける数の順序を変えても同じ答えになるのはなぜかを討論していく中で，2つの意見が出ました。Eddieの意見は，2×5は「5つの袋にリンゴが2つずつ」，5×2は「5つの袋にリンゴが2つずつ」を表し，順序に意味があるという主張になります。それに対しTiffany は，それら2つの場面は別だけれど，答え（リンゴの総数）は同じであり，順序は重要ではないと主張します。Tiffany に対し，先生は"And Tiffany , are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?"（それでティファニー さん，2つの数式はそれぞれ，別の場面を表すのに使えないっていうの?）という質問を入れて確認しています。原文ではcan'tが斜体字になっています。「a×bでもb×aでもいい」は，先生の持つねらいでも，クラスで共有したい内容でもないことが伺えます。
5枚の皿に2個ずつりんごがあるときの総数は，2×5で表される
5枚の皿に2個ずつりんごがあるときの総数は，5×2で表される
次に，「どの さらにも りんごが 5こずつ のって います。そのような さらが 2まい あります。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という問題を考えます。そうすると，次の2つの命題を真とすることになります。
5個ずつ2枚の皿にりんごがあるときの総数は，5×2で表される
5個ずつ2枚の皿にりんごがあるときの総数は，2×5で表される
ここで「5×2」の式を含む命題に着目し，りんごや皿を取り払って整理すると，次の2つが得られます。
5×2という式は，「5つずつが2つ」を表す
5×2という式は，「2つずつが5つ」を表す
さらに5や2といった具体的な値も，文字に置き換えて記述できますが，比較・検討にあたってはこの2つの命題で十分です。ここから言えるのは，《順序論争》の批判に賛成するなら，5×2という式が，「5つずつが2つ」と「2つずつが5つ」の両方の意味になってしまうことを，受け入れないといけないということです。
「5×2という式は，「5つずつが2つ」を表す」は，認める
「5×2という式は，「2つずつが5つ」を表す」は，認めない
「2×5という式は，「2つずつが5つ」を表す」は，認める
「2×5という式は，「5つずつが2つ」を表す」は，認めない
これらは，次期の『小学校学習指導要領解説算数編』に記載された，「(略)という場面との対置によって，被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童に気付かせたい」「乗法による表現は(略)表現として簡潔性がある」と適合します。https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/text/shou_current/sansu/files/web_s_sansu_gakuryoku1.pdf より読めるのは，「えんぴつを 1人に 2本ずつ，5人に くばります」と「えんぴつを 2人に 5本ずつ くばります」です。
上で，「数の意味をしっかり理解できていれば、必ずしも第2学年で学んだ順序で立式することを強制しなくてもよい」と引用した文と，関わりのある記述が，新しい『小学校学習指導要領解説算数編』に入っています。段数×４＝周りの長さ ではその具体的な記述と，平成16年検定済み教科書，そして比較的最近の算数指導例を取り上げました。
