- 坂井武司: 算数教育における割合についての数理構造に関する研究, 博士論文, 甲南大学大学院 自然科学研究科 (2015). http://doi.org/10.14990/00001621
https://nrid.nii.ac.jp/ja/nrid/1000030609342/とhttps://www.kyoto-wu.ac.jp/club/voice/seminar-report/rhnb30000000gbss.htmlによると，現職は京都女子大学発達教育学部の教授で，上記博士論文による学位取得より前から大学教員（鳴門教育大学准教授）であることが分かります。令和2年度・平成27年度のいずれの算数教科書においても，編集者に氏名は見つかりませんでした。
この博士論文の特色として，2点を挙げることができます。割合の指導において，「割合」「比較量」「基準量」そして「1倍」という，4項で構成された「比の関係図」を採用しています。次の形です(p.169)．
この図はp.22の図1-29にも出現します。前のページで文献[165]を引用しており，坂井氏は最終著者です。
授業展開の中で，この図が活用されているのは，p.181です．
また第13時・第14時の指導(pp.370-373)においては，「5000円で仕入れたセーターに2割増しの定価を付けました。売れないので，定価の2割引きで売ることにしました。値引きをした売り値はいくらでしょう」を出題し*1，比の関係図を2つ，描かせます。授業展開の中で(p.372)，左の図でくらべる量に位置する「定価（□円）」と，右の図でもとにする量に位置する「定価（□円）」を線で結んでいます。
もう一つの特色として，第3章を中心に，証明図を用いた推論過程の分析がなされていることです。例えばpp.73-74では，「くじを1本引くという試行」に関する定理を7つ，証明しています。またpp.101-110やpp.119-121では，「児童の考え方」に証明図を当てはめています。ただしこれは理論的検討であり，小学校の授業で使用されているわけではありません。
ざっと読んでから，2つの問題意識が思い浮かび，機械検索も行いながら確認していきました。一つは，吉田甫氏による「割合モデル」のことです。当ブログでは一昨年に言及した件です。
博士論文では，1.6節（割合指導の課題）に(2)（図的表現）を設け，p.22に8つの図を載せています。
この中に，「割合モデル」の図と類似するものは，見当たりません。
博士論文のPDFで「吉田」を検索して，ヒットするのは[186]ですが別人・別内容です。といったわけで，「割合モデル」は言及されていませんでした。
もう一つの問題意識は，「Aのp倍はB」といった数量表現の妥当性です。博士論文内の授業例から，語句を取り出すか作ってみると，「20mの2倍は40m」「40mの0.5倍は20m」「125人の□倍は75人」「12kgは，60kgの□%」と表せます。式は順に，20×2＝40，40×0.5＝20，125×□＝75，60×△＝12*2です。
A，p，Bといった文字を使用して，割合を定義したり，先行研究を整理したりするのが，pp.7-8に見られます。またそれらの英字を使うことなく，考察の章のp.198に，「割合，比較量，基準量を含む様々な文章表現を「○○の～倍が△△です」という短い文に書き換えることにより，割合，比較量，基準量を捉え，1倍を位置付けた比の関係図にそれらを表し，図に基づいて立式する指導を行った。」という文が書かれています。この博士論文で記された授業実践においては，「○○の～倍が△△」，言い換えると「Aのp倍はB」は，割合理解のための有用なツールであったと，解釈することができます。
ところでp.22の8つの図と，本文とを読んでいきまして，「4マス関係表」「2本の数直線の図」の取り上げ方がフェアでないように感じました。図1-23や図1-26では，4つの数値を並べただけですが，実際の授業では，BとA，1とpの間に矢印と「×数」「÷数」を添えて，演算決定に活用しています。図1-29に見られる，「B」「p倍」「A」をつなぐのと同等のものは，4マス関係表や二重数直線でも使われているわけです。例えば『板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 算数 小学校5年下』のp.113では，百分率を含む第3用法の文章題について，次のように「×0.3」「÷0.3」を取り入れ，図や表にしています。
*1:https://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2020/08/08/004414で取り上げた大問5と同種の問題と言えます。
*2:△＝12÷60＝0.2を得てから，0.2を20%に置き換えることで，「12kgは，60kgの20%」と言えます。
