かけ算の順序論争について（日本語版） - わさっきhb
「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という出題と，「しき」と「こたえ」を書く欄からなる．(略)問題文では5が先，3が後に出現しているが，学習した「かけ算の意味」をもとに，2つの数をひっくり返して「3×5」と書かないといけない，というのが「かけ算の順序」の基本的な考え方である．
上記と同じ意図の出題事例を，最新のものから順に紹介していきます。
2024年：改訂新版 まるごと授業 算数 2年(下)
② ふくろが 3まい あります。
りんごが 5こ ずつ 入って います。りんごは ぜんぶで 何こ ありますか。
(p.34)
B型の文章問題の際に，文章の通りに3×5と立式する児童は必ずいる。「1あたりの数」は何かを見つけることが，文章問題を解く上で最も重要となる。
(同)
同じタイプの文章問題が，p.51およびp.75にも載っています。いずれも，「1あたりの数」を赤丸で，「いくつ分」になる数を赤の四角で囲っています。
関連：喜楽研の板書本の，かけ算の最初の単元
2023年：算数教科書
教科書展示会にて閲覧する機会を得まして，令和5年3月15日検定済で，令和6年度より使用される算数教科書（見本）では，各社とも複数の文章題が掲載されているのを確認しました．出題例は，以下よりご覧ください．
2023年：東京新聞
現在小学3年の娘が2年だったとき、算数テストで「車が6台。1台に5人乗ると何人乗れるか」という設問があった。娘の書いた式は「6×5」だった。「6台の車に1人ずつ乗せていくから6人で、それを5回繰り返す」と考えたからだが、バツが付けられた。
2023年：教材研究×算数
毎日行ったほうがいい教材研究としては，明日教える教科書の問題を，子供の立場で実際に自分で書きながら解いてみることがあります。
解きながら，自分はこのように思考して，問題を解決しようとしているということを考えるのです。メタ認知です。自分にとってわからないことはないか。ごまかしていることはないか。点検します。
第2学年のかけ算の単元で「2人がそれぞれ4本ずつ鉛筆を持っています。鉛筆は何本ですか。式と答えを書きましょう」という問題があるとします。きっと「2×4と4×2。どっちの式がいいのかな。4×2だよね。4本ずつ2つ分だから」のように頭の中で考えることでしょう。これが大切です。
（p.6．執筆者は笠井健一）
2023年：上級算数習熟プリント 小学2年生
④ せんべいを 8まい 買いました。1まい 5円でした。何円 はらいましたか。
(p.85)
上記は「5のだん」です。2のだん(p.89)，3のだん(p.93)，4のだん(p.97)，6のだん(p.101)，7のだん(p.105)，8のだん(p.109)，9のだん(p.113)，いろいろな もんだい(p.128)の各ページ最後の文章題も該当します。
2022年：算数の学校ができるまで ふつうの学校が挑んだ授業改革
2年生「かけ算(2)」13/13時間
[本時のねらい]文章問題をもとに、かけられる数とかける数を適切に区別して立式できる。、
[見方・考え方]《見方くん》既習事項の一つ分に着目して、図を用いて立式する。
[問題]おさらが4まいあります。1つのおさらにはりんごが5このっています。りんごはぜんぶでいくつありますか?
[めあて]4×5? 5×4? かけられる数はどっち?
(立式すると、4×5と5×4に分かれる)
T《見通しさん》 分かれたね。意味を考えるとどっちだろう。
C《見通しさん》 図をかいたらわかりそう。
(略)
[まとめ] 5こが四つ分だから、一つ分は5こで、5×4。図で考えるとわかりやすい。一つ分が5こだから、かけられる数は5で5×4になる。
(p.198)
補足：
- 上記の[...]は原文では箱囲みです．《見方くん》は同書のp.169，《見通しさん》はp.172に登場する絵を，1文字分に縮小表示させたものです．
- 上記引用の原文は縦書きですが，横書きによるめあて・問題・しき・図・まとめはp.199の上部にあります．
2022年：東京都算数教育研究会 学力実態調査
令和3年度 第2学年 大問5
子どもが 3人 います。みかんを 1人に 4こずつ ふくろに 入れて くばります。くばる みかんは ぜんぶで 何こ いるか かんがえます。
(1) もんだいに 合う 図を えらび きごうを かきましょう。
(2) くばる みかんの 数を もとめる しきを かきましょう。
補足：(1) 都算研 データ室TOPには，「R3年度」へのリンクはありません．【全学年一括】の「R2年度」のリンク先はエラーとなり，【各学年別】のR2年度・R1年度のリンク先は，H30年度のものと同一です．(2)「2019年：東京都算数教育研究会 学力実態調査」とは，大問番号および(1)の問題文と図が異なっています．
2022年：全国算数授業研究会月報284号
(2)「いくつ分」→「1つ分の数」の順に数値が出てくる問題場面について考えるようにする
今、教室に5人います。おり紙を1人に6まいずつくばります。おり紙はぜんぶで何まいいりますか。
(p.1879)
2022年：大学数学の教則
模範解答意識を過度に高めると，次の記事のような驚きの教育が展開されてしまう．
突然ですが問題です．8人に鉛筆をあげます．1人に6本ずつあげるには全部で何本いるでしょう．「8×6＝48」と答えた方，小学校のテストではバツになるかも知れません．（ニュースQ³「小学校のかけ算 えっ? 順序が違うと『バツ』」朝日新聞13版-37面(2013.1.25)）
[演習2] 上の記事の全文を読んでから，次の二つの判定をそれぞれ正当化せよ．
- 「6×8＝48」のみが○で「8×6＝48」は×である．
- 「6×8＝48」も「8×6＝48」も○である．
(p.242)
補足：
- 演習2の解答は，pp.490-491にあります．
- 「小学校のかけ算 えっ? 順序が違うと『バツ』」の，朝日新聞サイトのURLはhttp://digital.asahi.com/articles/TKY201301240620.htmlですが，現在はPage Not Foundと出ます．Wayback Machineの該当ページは，「会員登録のご案内」となり本文が読めません．かわりに以下から本文と画像を見ることができます．
2021年：新しい算数授業研究2021年12月号
![新しい算数研究 2021年 12 月号 [雑誌]](https://m.media-amazon.com/images/I/51ZF0NiedfL._SL500_.jpg "新しい算数研究 2021年 12 月号 [雑誌]")
次のような2つの文章題を見比べてみよう．
問題2
1箱にお菓子が3個ずつ入っています．
4箱では，お菓子は何個になりますか．問題3
お菓子の箱が4箱あります．
1箱にお菓子が3個ずつ入っています．
お菓子は全部で何個ありますか．よく見る授業では，1箱をまとまりとみて3×4と表現できる見方・考え方の学習指導が行われる．しかし，それでもなお問題3を4×3と立式する子どもは少なくない．そのような子どもの中には，文章題の数値を出てきた順番にかけてしまう場合も多い．そこで，子どもが問題3のような場面の数量関係を的確に捉えられるよう，場面を絵図で表したり，3×4と4×3と表現できる問題づくりを行ったりする，授業実践がなされる．(略)
(p.18)
しかし，次のような問題に直面した時に，子どもたちの戸惑う様子が見られた．
おかしのはこが3はこあります．
1つのはこには，おかしが5こずつ入っています．おかしは，ぜんぶで何こありますか．これは，「いくつ分」が先，「一つ分」が後に示された問題で，単元の後半で登場する．この問題は，一つ分の数が何かを理解していれば，難しくないように思える．けれども，これまでに子どもたちが出合う問題は，「一つ分」が先で，出てくる数字の順番に立式をするという問題が多いため，問題場面をイメージし，一つ分の数を考えるという意識が薄くなっているのではないかと考えた．
(p.20)
上の2つの引用について，題目・著者・ページは次のとおりです．
- 加藤久恵: 低学年における幼児教育と関連した資質・能力ベースの単元をいかに設計するか, pp.16-19.
- 木村友香: 挿絵から考えるかけ算―第2学年「かけ算(1)」―, pp.20-23.
2021年：子どもの算数、なんでそうなる?
小学校で，3×5とするところを5×3と書いてペケになることがある，という話がある。
たとえばこんな問題を考えてみよう。[1] 5枚のお皿それぞれにダンゴが3個ずつのっています。ダンゴは全部で何個ありますか?
(p.78)
2021年：学びなおす算数
「6人の子どもに、1人4個ずつみかんを与えたい。みかんはいくつあればよいでしょうか?」という問題について、6×4＝24と解答した小学生の子どもが、「答えの24個はマルだったが、式の6×4にはペケがつけられ4×6となおされていた」という記事が掲載されたのは1972年1月26日の朝日新聞朝刊でした。
納得できない親は、「6×4」の論拠をまとめ、学校だけでなく、大阪府教育委員会や当時の文部省にも提出したそうです。
(p.42)
2020年：20代で知っておきたい算数授業のつくり方
もう一つ別の話題を。第2学年の「かけ算」の学習でのことである。
5つのグループに
3本ずつ花をくばります。
花はぜんぶで何本でしょう。「どんな式になるでしょう?」
(略)
「はい。5×3です!」
しかし，子どもの答えを聞いて，にっこりしていた先生の表情は瞬時に曇った。自信をもって発表したその子は，先生のその表情を見ると一気に元気がなくなってしまった。
(p.36)
関連：花はぜんぶで何本でしょう
2020年：進研ゼミ小学講座 2年生
おかしの はこが 6はこ あります。1はこに 8こ 入っています。おかしは ぜんぶで 何こでしょう。
*1
1つ分の 数に 気を つけて，しきを 書いて 答えましょう。あめを 1人に 2こずつ
5人に くばります。
あめは ぜんぶで
何こ いるでしょう。子どもが 2人 います。
あめを 1人に 5こずつ
くばります。あめは ぜんぶで
何こ いるでしょう。
2020年：「しかけ」でつくる算数の深い学び
問題 鉛筆を2人に5本ずつ配ります。鉛筆は全部で何本いりますか。
T せーので式を言いましょう。
C1 5×2 C2 2×5
(p.53)
2020年：深い学びを支える算数教科書の数学的背景
第二に，子どもの解法をより的確に評価できることです。例えば，「3人の友達にみかんを4こずつあげます。みかんは全部でいくついりますか」という問題に対して，田中さんは4×3＝12，鈴木さんは3×4＝12と立式して答えたとします。これを“みかん4こが3人分必要”だから鈴木さんは誤っていると断じることも，演算の交換法則を式解釈に持ち込んで3×4＝4×3だからどちらも正しいと断じることも早計です。「式が何を表しているか」を当人が自覚し，式と具体（みかんや友達の数）の対応を言葉や図を用いて説明できれば本来何も問題ありません。「4×3ならマルで，3×4ならバツ」と形式的に処するのは上策ではないのです。欧米文化圏による乗数被乗数の反転等を例に出すまでもなく，式表現は多義的です。導入期には既定型に沿うべしという公教育の性格は大事ですが，あくまで個々の式表現を解釈し合う手間を省くべく式表現を便宜として社会的に約束していることに留意すべきです。それこそが構成主義です。その後，具体と対応させずとも抽象数で形式処理できる式の簡便さを知りつつ，その反対に，式表現だけでは多様な考え方が必ずしも伝え難い状況にあれば，図や表を用いて思考を補えばよいのです。
（pp.11-12．執筆者は小原豊）
2020年：『小学算数 基礎ドリル』シリーズ
15 整数のかけ算を使う問題
[2] 3人に，おりがみを21まいずつくばりました。
おりがみは，全部で何まいありましたか。
[3] 子どもが長いすにすわります。長いすは9こあって，1つの長いすに4人ずつすわります。
子どもは何人いますか。
[4] 同じ大きさのコップが15こあります。1つのコップに2dLずつジュースを入れます。
ジュースは全部で何Lいりますか。
2019年：学校に入り込むニセ科学
ニセ科学ではないが、学校にはびこる悪しき慣例に、かけ算の順序強制というのがある。
問題「子どもが6人います。一人にあめを7こずつくばります。あめは何こいりますか」
この問題に「しき6×7＝42、こたえ42こ」と答えると、「こたえ」は○だが、「しき」は×にされることがある。「しき」の正解は「7×6」であり、「6×7」は誤りとされてしまう。
これがかけ算順序強制の典型例である。
2019年：東京都算数教育研究会 学力実態調査
第2学年 大問3
子どもが 3人 います。みかんを 1人に 4こずつ ふくろに 入れて くばります。くばる みかんは ぜんぶで 何こ いるか かんがえます。
(1) もんだいに 合う 図を えらびましょう。きごうで かきましょう。
(2) くばる みかんの 数を もとめる しきを かきましょう。
2019年：進研ゼミ小学講座 2年生
問題 おさらが4さらあります。りんごを1さらに2こずつくばります。りんごは全部で何個いるでしょう。
正しい式○ 2×4＝8
間違えた式× 4×2＝8
2019年：小学校指導法 算数 改訂第2版
- 守屋誠司(編著): 小学校指導法 算数 改訂第2版, 玉川大学出版部 (2019). [isbn:9784472405761]
2. 「子どもが7人います。1人に4こずつアメをくばります。アメはみんなで何こいりますか。」という問題に対して，7×4＝28 答え28こ，と解答した小学校2年生の子がいた。この解答をどのように解釈して，どのような対応をしたらよいか，乗法の意味と関連させてまとめなさい。
(p.86)
少し表記は異なっていますが，2011年の『小学校指導法 算数』と同じ内容です．乗法（かけ算）の記述(pp.81-83)も同様です．
2019年：算数教科書
教科書展示会にて閲覧する機会を得まして，平成31年3月5日検定済で，令和2年度より使用される算数の教科書では，各社とも複数の文章題が掲載されているのを確認しました．2年の教科書の出題例は，以下よりご覧ください．
2019年：これだけは知っておきたい 小学校教師のための算数と数学15講
「皿が全部で4まいあります。1まいの皿にりんごが3個ずつのっています。全部でりんごはいくつあるでしょう。かけ算の式を用いて答えなさい。」
このかけ算の問題に対して，次のように児童が解答した。
さらが4枚あり，それぞれに3個ずつリンゴがのっているから
4×3＝12
答え：りんごは全部で12個ある
(p.11)
2018年：算数障害の理解と指導法
1. 家族4人にあめを5個ずつ配ります。あめは何個必要ですか。
2. 2人がけのイスが8個あります。全部で何人の人が座れるでしょうか。
(p.11)
2018年：日本一楽しい算数ドリル うんこ算数ドリル 小学2年生 文章題
2 今日の おきゃくさんは 6人でした。1人に 1まいずつ 6人 みんなに サインを 書くと，何まい 書く ことに なりますか。
● しきを 書いて 答えを もとめましょう。
(p.83)
1枚ずつを
6人に 書くから，
しきは……。
(同上)
式を6×1と書いていたら，文章に出てくる数字の順番に式を書いてしまった場合が考えられます。
1人に1枚ずつが「1つ分の数」，6人が「いくつ分」であることを捉えさせ，式の意味をしっかり理解させましょう。
(答えとアドバイス p.21)
2018年：「わり算」を仲間とともに学び合う授業
かけ算の意味については「同じ数を何回もたすとき」という累加としか考えていなかった。例えば「あめの入ったふくろが7つあって，1ふくろにあめが5こずつ入っています。あめはみんなでなんこあるでしょう」の問題では「みんなでどれだけだからたし算」なので「7＋1＋5」としたり，かけ算らしいと考えると「7×5」と出てきた順に書いたり，という実態だった。(略)「4人の子どもがいて1人に3こずつあめをあげるのに用意するあめは？」は《3こ／人×4こ＝？こ》と立式するように教えた。
(p.127)
2018年：小学校算数『学び合い』を成功させる課題プリント集2年生
❷ 長いすが7つあります。1つに8人ずつすわれます。ぜんぶで何人すわれますか。しきと答えをかきましょう。
(p.93)
❷ ケーキを4はこかいました。どのはこにも，ケーキは9こ入っています。ケーキはぜんぶで何こありますか。しきと答えを書きましょう。
(p.95)
2017年：日々のクラスが豊かになる「味噌汁・ご飯」授業 算数科編
長いすが8つあります。1つの長いすに7人ずつすわります。みんなで何人すわれますか。
この問題は，かけ算の基本的な考え方である「1つ分の数×いくつ文＝ぜんぶの数」のうち，「いくつ分」に当たる「8つ」が先に，「1つ分の数」に当たる「7人」が後にきている。従って，算数の苦手なこの多くが，正解の「7×8」ではなく，「8×7」と，立式してしまうことが考えられる。その対策として，
- 教科書p.48で出てくる前に，かけ算すべての段において，先生問題として，問題文で「いくつ分」が「1つ分の数」より先に出てくる問題を解かせる。
- 「1つ分」の多岐にわたる表現を，模造紙にまとめて掲示する。
という手立てを考え，実際に指導することができた。
このおかげで，本学級30名の本単元テストの平均点は，50点満点で，思考46.2点（92.4%），技能48.5点（97%），知識46.3点（92.6%）と，3領域とも90%を超えることができたのである。
(p.59)
しかし，学習が進むと3の段で突然このような問題が出てくる。
「子どもが8人います。あめを1人に3個ずつくばると，全部でなんこいりますか。」
先ほど述べたように，子供たちは，見た目に騙されるので，8×3と立式する子が出てしまう。これは，子供たちはいつの間にかパターンで解く癖がついてしまい，「1つ分の数×いくつ分」というかけ算の決まりを忘れ，「はじめの数×後ろの数」という自己流で解いたことが原因だと考えられる。
(p.101)
2017年：小学校学習指導要領解説算数編
数量の関係に着目し，計算の意味や計算の仕方を考えること
乗法における数量の関係に着目し，児童が自ら乗法の意味について考えたり，乗法九九を構成したりしながらそれらを身に付けていくことが大切である。例えば，「4皿に3個ずつみかんが乗っている」場面を式に表す際，乗法の意味に基づいて3×4と表すことを考えることがある。
(p.117)
2016年：視覚化と動作化を取り入れたユニバーサルデザインの授業づくり
- 宇野友美, 佐藤愼二: かけ算学習における効果的な指導法―視覚化と動作化を取り入れたユニバーサルデザインの授業づくりを通して―, 植草学園短期大学研究紀要, No.17, pp.55-68 (2016). http://id.nii.ac.jp/1512/00000224/
ケーキが5つあります。1こずつのせると，いちごは何こいりますか。
(p.61)
表3 評価テスト問題（平成25年12月5日実施 対象児童28名）
１ １はこ ３こ入りの ドーナツ ５はこ分では、何こに なりますか。
２ １まい９円の 画用紙を ６まい 買います。何円に なりますか。
３ ８チームで やきゅうの しあいをします。１チームは ９人です。みんなで 何人 いますか。
４ 長いすが ６つあります。１つのいすに ４人 すわります。みんなで 何人 すわれますか。
５ 三りん車が ５台 あります。１台の タイヤの数は ３つです。タイヤの数は ぜんぶで いくつですか。
６ かぶと虫が ８ぴき います。１ぴきの 足の数は ６本です。足の数はぜんぶで何本ですか。〈全体〉基準量が先に示された問題では正答率は94.6％であった。基準量が後に示された問題になると正答率は67.8％に下がった。しかし同じく基準量が後に示された問題でもキャラクターを使うと89.2％に上がった。このことから、「基準量」と「いくつ分」をイメージする際に各段のキャラクターを活用した視覚化が児童の思考の手助けになっているが示唆された。
(pp.64-65)
関連：「いちご」のかけ算
2015年：0の段のかけ算の学習援助
- 梶原郁郎: 0の段のかけ算の学習援助―授業内容の構想とその効果―, 教授学習心理学研究, Vol.11, No.2, pp.66-76 (2015). https://doi.org/10.20629/japtl.11.2_66
【一時間目の事前事後質問の内容】
(1) 自動車が2台あります。自動車1台にタイヤは4つ，ついています。タイヤの数は全部でいくつでしょう。この［問題］の式は，次のどれだと思いますか。
①［ ］2×4
②［ ］4×2
③［ ］2×4，4×2，どっちでもよい。
(p.72)
2015年：算数教科書
教科書展示会にて閲覧する機会を得まして，平成26年2月28日検定済で，平成27年度より使用される算数の教科書では，いずれにも複数の文章題が掲載されているのを確認しました．該当ページや出題例は，平成27年度算数教科書読み比べ（2）〜かけ算の出題をご覧ください．2年以外については同（4）です．
2015年：計算力調査
◎ 6つのはこに，ケーキが8こずつはいっています。ケーキはぜんぶでなんこあるでしょう。
式の正答率は62.8%，答の正答率は83.8%です．3年生にも同じ出題があり，式の正答率は29.9%となっています．
関連：1つぶんの数×いくつ分の順序で書かれている式のみを正解とする採点方針が稀?
2014年：算数科 授業づくりの基礎・基本
チューリップがたくさんありました。
子どもが7人います。
そこで，このチューリップを3本ずつくばったら，ちょうどなくなりました。
チューリップは何本あったのでしょう。すると，必ず文章に登場する数の順に式を書く（ア）のような子が現れる。
（ア）7×3 （イ）3×7
こんな二つの式が登場して議論になる。こんなときは，図が生きる。チューリップを●で表す。「3本ずつ配る」というところを□で囲んでいくところがポイントだ(図番号および図は省略)。
このような図を介して，式の約束にそって，「3×7」と書くことを思い出させるのがいいだろう。文章に登場する数のままに式を書いていくのではなく，その意味をしっかり受けとめて書くことを確認したい。
もしも，「7×3」の式に意味をこじつけようとするならば，まずは7人の人に1本ずつチューリップを配り，次のもう1本ずつを配り，さらに3度目として1本ずつを配ると，都合3回で配り終わるので，1回に配る数をひとかたまりと考えて，「7×3」とできる。このように説明できる子がいれば，それはそれでたいしたものである。だが，素直に問題を読めば，「3本ずつ配る」と書いてあるので，さきのように解釈すべきであろう。
(p.60)
